natürliche Teiler

03.05.2011, 14:08

pegasus0583

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natürliche Teiler

Meine Frage:
Hallo zusammen. Hab da mal ne Frage und hoffe mir kann jemand weiter helfen.
Die Aufgabe lautet: Beschreiben Sie alle natürlichen Zahlen n, die genau 7 natürliche Teiler haben.
Nun meine Frage. Wie funktioniert das im allgemeinen? Oder eher gesagt was ist damit genau gemeint.

Meine Ideen:
Ich hab leider keine Idee da ich die Vorgehensweise nicht verstanden habe.
Wäre super wenn mir das einer an dieser Aufgabe konkret erklären könnte.

03.05.2011, 14:20

kiste

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Zeige doch zunächst einmal, dass die Zahl maximal 2 Primteiler haben kann. Der Rest ist dann halt Fallunterscheidung.

03.05.2011, 14:30

René Gruber

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Maximal 2 Primteiler? Eigentlich ja doch nur genau einer.

03.05.2011, 14:57

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Hmm ok aber so helft ihr mir leider nicht weiter.

03.05.2011, 15:35

kiste

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Zitat:

Original von René Gruber
Maximal 2 Primteiler? Eigentlich ja doch nur genau einer.

Ist immer noch durch 2 beschränkt Big Laugh

Big Laugh

Ich habe den Fall mit 2 Primteilern nicht untersucht, nur kurz geschaut dass 3 bereits zu viel sind.

edit: Die Information 1 Primteiler hilft doch enorm. Dann hat die Zahl doch die Form p^r. Du musst nur noch rausfinden was r ist.

03.05.2011, 15:48

René Gruber

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@kiste

Vermutlich hast du dann doch eine andere Begründung im Sinn wie ich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@pegasus0583

Na man macht sich ein paar Gedanken über die Teileranzahlfunktion, insbesondere anhand deren Darstellung

$\begin{eqnarray*} d(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1) \;\textrm{für}\; n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot\ldots\cdot p_r^{e_r} \end{eqnarray*}$ .

Wenn da $\begin{eqnarray*} d(n)=7 \end{eqnarray*}$ (d.h. eine Primzahl) herauskommen soll, gibt es nicht mehr viele Zerlegungen, wo das möglich ist

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03.05.2011, 16:04

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Ah ok das hilft mir weiter.
Wenn ich das also richtig verstanden habe sollte eine der Lösungen für die oben gestellte Aufgabe die 24 sein denn sie hat die Teiler 1,2,3,4,8,12,24 also 7 Stück.
Aber wie komme ich jetzt an alle natürliche Zahlen die genau diese Teiler anzahl hat? Ich kann ja nicht alle Zahlen durchgehen.

03.05.2011, 16:17

René Gruber

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RE: natürliche Teiler

Zitat:

Original von pegasus0583
Wenn ich das also richtig verstanden habe sollte eine der Lösungen für die oben gestellte Aufgabe die 24 sein denn sie hat die Teiler 1,2,3,4,8,12,24 also 7 Stück.

Nein, die Zahl $\begin{eqnarray*} 24=2^3\cdot 3^1 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} (3+1)\cdot (1+1)=8 \end{eqnarray*}$ natürliche Teiler - du hast in deiner Aufzählung den Teiler 6 vergessen. unglücklich

unglücklich

03.05.2011, 16:41

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Ok. Also wäre hier die Lösung die 7.
Da ich ja (0+1)+(0+1)*(0+1)*(0+1)*(0+1)*(0+1)*(6+1)=7 rechnen müsste oder

03.05.2011, 16:46

René Gruber

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Zitat:

Original von pegasus0583
Da ich ja (0+1)+(0+1)*(0+1)*(0+1)*(0+1)*(0+1)*(6+1)=7 rechnen müsste

Ich kann dir nicht folgen. unglücklich

unglücklich

Wenn d(n)=7 herauskommen soll, dann muss es Primzahlexponenten $\begin{eqnarray*} e_1,\ldots,e_r \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1) = 7 \end{eqnarray*}$

geben. Nun stehen links lauter Faktoren >2, rechts aber eine Primzahl. Was lässt sich daraus schließen?

03.05.2011, 16:53

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Achso sorry da sollte ein * stehen anstatt ein +.
Es kann nur die 7 sein da sie eine Primzahl ist und keine Zusammengesetzte Zahl ist.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe.
Ansosnten keine Ahnung ich steh total auf dem Schlauch.

03.05.2011, 17:09

René Gruber

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Genau: Also nur eine Primzahlpotenz (r=1), und für die dann $\begin{eqnarray*} e_1+1=7 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e_1=6 \end{eqnarray*}$ .

Damit kommen als Lösungen nur die Primzahlpotenzen $\begin{eqnarray*} n=p_1^6 \end{eqnarray*}$ in Frage, z.B. $\begin{eqnarray*} n=2^6=64 \end{eqnarray*}$ .

03.05.2011, 19:12

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Ok super ich glaub ich habs.
Nur mal zur Kontrolle wenn ich alle natürlichen Zahlen ermitteln soll die 6 natürliche Teiler haben wäre es dann wenn ich es richtig verstanden habe:

1.) $\begin{eqnarray*} dn = (2+1) * (1+1)<br /> \Rightarrow n=2^{2}*3^{1} =12 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} dn = (1+1) * (2+1)<br /> \Rightarrow n=2^{1}*3^{2} =18 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} dn=(5+1)=6<br /> \Rightarrow n=2^{5}=32 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt so.

03.05.2011, 19:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von pegasus0583
Nur mal zur Kontrolle wenn ich alle natürlichen Zahlen ermitteln soll die 6 natürliche Teiler haben

Verstehe ich das richtig: Du bist der Meinung, dass dafür nur die Zahlen 12, 18 und 32 in Frage kommen? Dann hast du wohl die Beiträge von Renè nicht gründlich genug gelesen.

EDIT: Langsam begreife ich dein Missverständnis. Du scheinst zu denken, dass $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ zwingend die erste Primzahl ist, also $\begin{eqnarray*} p_1=2 \end{eqnarray*}$ ? Weit gefehlt: $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ bezeichnet oben lediglich die kleinste Primzahl in der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , das kann jede beliebige Primzahl sein!

03.05.2011, 19:44

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Genau das hab ich nun wirklich gedacht.
Allerdings wie sollte man sonst noch die 6 zerlegen ausser in die Primfaktoren 2 und 3 und damit alle Möglichen Klammern konstruieren.
Ansonsten gäbe es ja unendlich viele Möglichkeiten.
Und die 7 und größere Zahlen kann ich in die Klammern ja nicht mehr einsetzen da sonst größere Zahlen als 6 herauskommen würden. Also gibt es doch nur diese drei Möglichkeiten oder.

03.05.2011, 19:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von pegasus0583
Allerdings wie sollte man sonst noch die 6 zerlegen ausser in die Primfaktoren 2 und 3 und damit alle Möglichen Klammern konstruieren.
Ansonsten gäbe es ja unendlich viele Möglichkeiten.

Gibt es ja auch! Z.B. hat

$\begin{eqnarray*} n = 5^1\cdot 13^2 = 845 \end{eqnarray*}$

ebenfalls genau 6 Teiler, usw.

D.h., es gibt zwar zu einer festen vorgegebenen Teileranzahl $\begin{eqnarray*} d(n) \end{eqnarray*}$ nur eine begrenzte Anzahl von passenden Exponententupeln $\begin{eqnarray*} (e_1,e_2,\ldots,e_r) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber die zugehörigen Basisprimzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots \end{eqnarray*}$ kannst du beliebig wählen!

04.05.2011, 06:36

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Ah ok jetzt hat es klick gemacht. So ist es mir ja möglich alle möglichen Primzahlen miteinander zu kombinieren. Und da es unendlich viele gibt ist es gar nicht möglich alle möglichen natürlichen Zahlen mit 6 Teilern herauszufinden.
Dann stellt sich mir aber jetzt noch die Frage wie man dies eingrenzen kann. Denn laut meiner Aufgabe soll ich ja alle natürlichen Zahlen aufschreiben die 6 natürliche Teiler besitzen.
Und bei der Aufgabe mit den 7 natürlichen Teilern könnte ich die Potenz 6 jeder Primzahl zuordnen.

04.05.2011, 08:59

René Gruber

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Zitat:

Original von pegasus0583
Und da es unendlich viele gibt ist es gar nicht möglich alle möglichen natürlichen Zahlen mit 6 Teilern herauszufinden.

Naja, das ist ja nun nichts Neues, dass eine Gleichung auch unendlich viele Lösungen haben kann und dass man diese Lösungsmenge dann trotzdem in geeigneter Form angeben kann - hier z.B. für $\begin{eqnarray*} d(n)=6 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L = \left\{ p^5 \bigm| p\in\mathbb{P} \right\} \cup \left\{ p^2q \bigm| p,q\in\mathbb{P},\; p\neq q \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von pegasus0583
Und bei der Aufgabe mit den 7 natürlichen Teilern könnte ich die Potenz 6 jeder Primzahl zuordnen.

Richtig.

04.05.2011, 09:07

pegasus0583

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RE: natürliche Teiler
Ok super danke. Jetzt hab ich es verstanden.
Danke an alle die die Geduld aufgebracht haben mir zu helfen.

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