"Rechenregel" für Körperadjunktion

04.05.2011, 12:15

Hamsterchen

"Rechenregel" für Körperadjunktion

Hallo,
wie kann man zeigen, dass wenn K,L Körper sind und S,T Teilmengen von L, dass dann gilt
(K(S))(T)=K(S n T)=(K(T))(S) [wobei n=vereinigt]?
Hab leider keinen Ansatz, wie man das mathematisch zeigen kann, wir haben nur aufgeschrieben, dass K(S) der Schnitt aller Teilkörper von L ist, die K und S enthalten.

LG
Hamsterchen

04.05.2011, 14:06

Reksilat

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RE: "Rechenregel" für Körperadjunktion
Hallo Hamsterchen,

Als Symbol für die Vereinigung würde ich eher u oder v empfehlen. Hammer

Am sinnvollsten ist aber \cup.
Siehe Formeleditor

Letztlich ist nur die erste Gleichheit zu zeigen, die zweite ergibt sich aus Symmetriegründen.
Für die Gleichheit zeigt man eben gegenseitige Inklusion. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (K(S))(T)\subseteq K(S\cup T) \end{eqnarray*}$ ist, beweist man, dass $\begin{eqnarray*} K(S\cup T) \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist, der $\begin{eqnarray*} K(S) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ enthält.
Andersrum geht es ähnlich.

Gruß,
Reksilat.

04.05.2011, 15:24

Hamsterchen

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Hallo Reksilat,
ja das vereinigt hab ich irgendwie verpeilt ^^ heute is net so mein tag xD

Also danke für deine Starthilfe, werde mich bald mal dransetzen.

LG
Hamsterchen

04.05.2011, 16:34

Hamsterchen

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so hallo nochmal,
hab mir jetzt die aufgabe nochmal angeschaut.

Also dass $\begin{eqnarray*} K(S\cup T) \end{eqnarray*}$ Teilkörper von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist, ist ja schon laut Def. so. Und er enthält nach Def. ja auch die Mengen $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} K(S) \end{eqnarray*}$ ist jetzt aber auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} K(S\cup T) \end{eqnarray*}$ ,da $\begin{eqnarray*} K(S) \end{eqnarray*}$ nach Def. der kleinste Teilkörper von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält, also ist das ja wohl auch in dem kl. TK von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ enthält.

Wie kann man das mathematisch schön aufschreiben? Und wie genau geht die andere Richtung?
Muss man da auch einfach nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} K(S) \end{eqnarray*}$ ein TK von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} (K(S)(T) \end{eqnarray*}$ ein TK von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist und dass nach Def. $\begin{eqnarray*} K(S) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält und dann enthält $\begin{eqnarray*} (K(S)(T) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ??? Also irgendwie ist das komisch ^^

LG
Hamsterchen

04.05.2011, 16:42

Reksilat

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Für mich sieht das so aus, als hättest Du alles sehr gut verstanden. Freude

Beim Aufschreiben musst Du eben darauf achten, dass Du auch deutlich herausarbeitest, was genau zu zeigen ist.
Bei der zweiten Inklusion wäre das eben $\begin{eqnarray*} K\subseteq (K(S))(T) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\cup S\subseteq (K(S))(T) \end{eqnarray*}$

04.05.2011, 17:00

Hamsterchen

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Ok vielen Dank für deine Hilfe

könntest du mir vielleicht noch bei dieser Aufgabe helfen:

Sei der Primkörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\in L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq -b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^2,b^2\in K \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} K(a,b)=K(a+b) \end{eqnarray*}$ . Da weiß ich auch schon wieder nicht weiter verwirrt

LG
Hamsterchen

04.05.2011, 22:55

Reksilat

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Na die eine Inklusion sollte doch klar sein.
Und für die andere musst Du eben zeigen, dass sich a und b aus den Elementen aus K sowie a+b mit Hilfe der erlaubten Körperoperationen (also Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) erzeugen lassen.

Vielleicht siehst Du es leichter, wenn Du einfach mal versuchst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2\in\mathbb{Q}(\sqrt 2+\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ ist.
Ist ein wenig rumrechnerei. Einfach mal auspropbieren.

Gruß,
Reksilat.

PS: Bitte für neue Fragen einen neuen Thread eröffnen. Ich fühle mich sonst verpflichtet hier weiterzuhelfen, selbst wenn ich keine Lust dazu haben sollte. Augenzwinkern

05.05.2011, 07:59

Hamsterchen

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danke für deine antwort reksilat und ich werde dann wenn wieder sowas sein sollte einen neuen thread eröffnen. und du brauchst dich nicht verpflichtet zu fühlen, ist ja sowieso alles freiwillig hier =)

also ich werde mir da gleich bissl gedanken dazu machen, grad bin ich noch zu müde ;P

lg
Hamsterchen

05.05.2011, 12:43

Hamsterchen

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hi nochmal,
also kann ich das so schreiben? :

1. da K(a,b) a und b enthält, enthält es (weil körper) auch a+b

2. (a+b) ist in K(a+b), also auch (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. 2ab kann ja nicht 0 sein, weil a /= -b. deshalb ist a*b auch in K(a+b) und damit ist dann a in K(a+b) und b auch.

geht das so???

05.05.2011, 15:58

Reksilat

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Zu 1: Ja.
Zu 2: Nein.
Es ist nicht ausgeschlossen, dass ab=0 ist (wobei dieser Fall sehr einfach ist und separat abgehandelt werden könnte). Allerdings kann man schließen, dass $\begin{eqnarray*} ab\in K \end{eqnarray*}$ ist (dazu musste eben vorausgesetzt werden, dass der Körper nicht Charakteristik 2 hat).
Allerdings folgt daraus nicht direkt, dass $\begin{eqnarray*} a\in K \end{eqnarray*}$ ist. Ich sehe es jedenfalls nicht.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2011, 18:11

Hamsterchen

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hmmm schade ^^
wie wäre es dann jetzt komplett richtig? ich hatte das übrigens verwechselt ^^ also irgendwie hatte ich im kopf, dass a^{-1} /= b und nicht -a /= b.... aber egal

lg
hamsterchen

05.05.2011, 18:23

Reksilat

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Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K(a+b) \end{eqnarray*}$ liegt.
Schau Dir doch nun mal $\begin{eqnarray*} (a+b)^3 \end{eqnarray*}$ an, welches ja auch in $\begin{eqnarray*} K(a+b) \end{eqnarray*}$ liegt.

05.05.2011, 18:27

Hamsterchen

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meinst du, dass $\begin{eqnarray*} a^3=a^2\cdot a \in K(a+b) \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} a^2 \in K(a+b) \end{eqnarray*}$ folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} a\in K(a+b) \end{eqnarray*}$ ???

05.05.2011, 18:28

Reksilat

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Nein!

05.05.2011, 18:33

Hamsterchen

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oh^^
ok was dann???

05.05.2011, 18:35

Reksilat

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Ich bin eigentlich der Meinung, dass ich bisher genug Ansätze gegeben habe. Wie gesagt: hier musst Du rumprobieren.

Ich werde Dir hier keine Komplettlösung bieten.

05.05.2011, 18:38

Hamsterchen

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ich weiß leider nicht so genau, worauf du hinauswillst. ich möchte ja auch keine lösung, sondern ich will es verstehen...

also du sagst $\begin{eqnarray*} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\in K(a+b) \end{eqnarray*}$ . So, und nun weiß ich nicht weiter. -.- tut mir ja wirklich leid dass ich manchmal so schwer von begriff bin...

05.05.2011, 18:46

Reksilat

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Zitat:

Original von Hamsterchen
also du sagst $\begin{eqnarray*} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\in K(a+b) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht drin weil ich es sage, sondern es ist aus einem bestimmten Grund drin. Das ist Dir doch hoffentlich klar?

Und jetzt geht es eben darum, zu gucken, ob vielleicht schon einzelne Teile dieser Summe in K(a+b) sind. Wir müssen schließlich möglichst viele Elemente sammeln, so dass wir am Ende $\begin{eqnarray*} a,b\in K(a+b) \end{eqnarray*}$ folgern können.

05.05.2011, 19:02

Hamsterchen

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hi
mit dem "du sagst" meinte ich, dass du gesagt hast, dass man es daraus folgern kann. es liegt ja drin, weil es ein körper ist und da darf man ja malnehmen

also ich muss rausfinden, was in K(a+b) drin liegt.
mir fällt da nur auf, dass $\begin{eqnarray*} 3a^2b+3ab^2=(a+b)(3ab) \end{eqnarray*}$ gilt. kann man da was draus folgern???

05.05.2011, 19:24

Reksilat

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Prima!
Na klar kann man was daraus folgern, nämlich dass der andere Summand auch drin ist. (Ein Körper ist unter Addition und damit Subtraktion abgeschlossen.)

05.05.2011, 19:26

Hamsterchen

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ähm welcher andere summand? ^^

05.05.2011, 19:28

Reksilat

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Ich meinte $\begin{eqnarray*} a^3+b^3 \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man nun $\begin{eqnarray*} a\in K \end{eqnarray*}$ folgern.
Schau Dir vielleicht dazu noch mal das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} a=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ an.

05.05.2011, 19:40

Hamsterchen

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hmm also nochmal:
$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 \end{eqnarray*}$ ist drin, das ist klar.
Das ist aber auch $\begin{eqnarray*} a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+(a+b)(3ab)+b^3 \end{eqnarray*}$
so, in dem produkt $\begin{eqnarray*} (a+b)(3ab) \end{eqnarray*}$ gibts einmal $\begin{eqnarray*} (a+b) \end{eqnarray*}$ , das ist auf jeden fall drin. dann gibts noch $\begin{eqnarray*} (3ab) \end{eqnarray*}$ und das ist drin, weil?

05.05.2011, 19:44

Reksilat

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...weil wir oben schon gesehen haben, dass $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ drin ist.

05.05.2011, 20:23

Hamsterchen

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hi,
sry war eben duschen ^^

also ich dachte, was ich geschrieben hatte, war falsch. kannst du das bitte nochmal wiederholen wieso ab drin ist?
und nochmal sry dass ich manchmal eeeecht lange brauche -.-

lg

edit: ich gehe jetzt schlafen und werde morgen dann nochmal vorbei schauen. danke für deine hilfe und deine geduld ^^ wäre schön, wenn wir das noch fertig machen könnten, würde das gerne richtig verstehen.
gute nacht

05.05.2011, 22:46

Reksilat

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Na wenn $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2 \end{eqnarray*}$ drin ist und $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ drin sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} ab+ab \end{eqnarray*}$ drin.
In einem Körper der Charakteristik $\begin{eqnarray*} \neq 2 \end{eqnarray*}$ ist das aber gerade $\begin{eqnarray*} 2ab \end{eqnarray*}$ und man darf durch $\begin{eqnarray*} 2\in K \end{eqnarray*}$ dividieren.

06.05.2011, 12:07

Hamsterchen

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hi,
ok das verstehe ich dann. Dann folgt daraus, dass auch $\begin{eqnarray*} a^3+b^3 \in K(a+b) \end{eqnarray*}$ . Und dann gehts wie weiter?
mit deinem Beispiel wäre das ja dann: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^3+\sqrt{3}^3=2\sqrt{2}+3\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

06.05.2011, 12:39

Reksilat

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Irgendwie scheint es mir so, als hättest Du noch immer kein Gefühl dafür entwickelt, wie man in solchen Körpererweiterungen rumrechnet. Du hast doch ein Ziel bei Deinen Rechnungen und Du hast auch nach und nach viele Informationen gesammelt. Das jetzt zusammenzusetzen ist meiner Meinung nach so ein kleiner Schritt, dass ich ihn nicht auch noch verraten möchte.
Du musst die Idee hinter den bisherigen Schritten verinnerlichen und nicht alles immer nur isoliert sehen. Wir haben hier keinen Fahrplan, den wir nach und nach abhaken, sondern wir gehen eben auf ein Ziel zu und wenn Du das jetzt nicht siehst, dann habe ich auch nicht das Gefühl, als hättest Du den bisherigen Weg durchblickt.

Noch mal als Hinweis:

Zitat:

Und für die andere musst Du eben zeigen, dass sich a und b aus den Elementen aus K sowie a+b mit Hilfe der erlaubten Körperoperationen (also Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) erzeugen lassen.

06.05.2011, 17:42

Hamsterchen

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hi,
ja ich weiß, dass ich da grad net so durchblicke. is ja auch noch neu für mich.

also ich muss jetzt irgendeine kombination von den elementen aus $\begin{eqnarray*} K(a+b) \end{eqnarray*}$ finden, damit ich einmal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ rausbekomme?
Ich darf ja dann folgende Sachen +,-,*,/ nehmen: $\begin{eqnarray*} ab, (a+b), a^2, b^2, a^3+b^3 \end{eqnarray*}$ sehe ich das jetzt richtig???

06.05.2011, 21:09

Reksilat

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Ja, genau. Und natürlich alle Körperelemente wie zum Beispiel 1,-1 oder 2.
Und mit den Beispielwerten sieht man's auch ganz gut.

06.05.2011, 21:18

Hamsterchen

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also ich hab da schon viel rumprobiert aber iwie komm ich net drauf -.- bin net so gut in "sowas sehn"...
ansatz?^^

edit: mir is grad was eingefallen:
$\begin{eqnarray*} 2+(\sqrt{2}\sqrt{3})=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} a^2+(ab)=a(a+b) \end{eqnarray*}$
und da das erste drin ist und vom letzten der letzte teil drin ist, ist dann auch a drin???

07.05.2011, 13:36

Reksilat

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Sehr schön, das funktioniert. Freude

Wichtig ist, dass Du, wenn $\begin{eqnarray*} a(a+b)\in K(a+b) \end{eqnarray*}$ ist, den Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} (a+b)^{-1}\in K(a+b) \end{eqnarray*}$ multiplizieren kannst. Dies geht aber nur, wenn $\begin{eqnarray*} a+b\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, was allerdings durch die Voraussetzung sichergestellt wird.

Weiter solltest Du beim Aufschreiben darauf achten, die Herkunft der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ zu erwähnen, da diese ja nicht in jedem Körper enthalten ist. Nach Voraussetzung ist hier aber $\begin{eqnarray*} 2:=1+1 \end{eqnarray*}$ nicht die Null und man darf somit durch 2 dividieren.
Das Element $\begin{eqnarray*} 3:=1+1+1 \end{eqnarray*}$ kann hingegen auch Null sein, da muss man aufpassen. Für Deinen Beweis wirst Du das aber wohl nicht benötigen.

Meine Idee war übrigens:
Wenn $\begin{eqnarray*} 2\sqrt 2+3\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ drin ist und ebenso $\begin{eqnarray*} \sqrt 2+\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} 3\cdot (\sqrt 2+\sqrt 3)-(2\sqrt 2+3\sqrt 3)=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ drin.
Das lässt sich auch verallgemeinern, ist aber wohl etwas umständlicher als Dein Weg.

Gruß,
Reksilat.

07.05.2011, 14:17

Hamsterchen

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Vielen vielen Dank Reksilat,
du hast mir echt viel geholfen, auch natürlich für das Verständnis.
Und auch danke, dass du sooooo viel Geduld hattest =)

LG
Hamsterchen

07.05.2011, 15:12

Reksilat

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Gern geschehen. Ich freue mich ja auch, wenn es am Ende funktioniert. Es haben ja auch nicht alle so viel Ausdauer wie Du und manche kommen eben nicht so ganz damit klar, wenn ich sie alles selbst rechnen lasse. Augenzwinkern

In meinem letzten Beitrag hat übrigens bei meiner Alternatividee noch ein "=" gefehlt, das hab ich jetzt nachgetragen.

Schönes Wochenende noch,
Reksilat.

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