Äquivalenzrelation -> Beweis

04.05.2011, 13:12

EpoX2603

Äquivalenzrelation -> Beweis

Meine Frage:
Ich habe einen Übungsaufgabe bekommen die da lautet:

Seien A eine Menge und idA = { (x,x) | x?A }. Zeigen Sie, daß idA eine
Äquivalenzrelation auf A ist. Wie sehen die zugehörigen Äquivalenzklassen
aus?

Nun ist das Problem, dass ich mich furchtbar schwer tu mit einem formalen Beweis.

Ich weis, das eine Äquivalenzrelation reflexiv (xRx), symmetrisch (xRy => yRx) und transitiv (xRy ? yRz => xRz) sein muss.

Rein von der Logik her, wobei ich diese Relation nicht so ganz durchblick:

Ich bin am verzweifeln und möchte net am Anfang schon auf der Strecke bleiben, aber Mathe besteht nur aus Beweisen z.Z. und das Formell und allg. gültig auszuführen bereitet mir gewaltige Probleme, da ich das vorher so noch nie irgendwo machen musste ... und nicht mal im Ansatz ein Vorstellung davon habe.

Ich wäre auch für einen Buchtip dankbar um mir das selbst zu erarbeiten, leider kann ich aber nicht beurteilen welche Bücher gut sind für komplette neueinsteiger, weil andernfalls kann ich mir auch das Script durchlesen und nix verstehen.

Danke schonmal

Pascal

Meine Ideen:
{(x,x) | x ? A} bedeutet doch das in dieser Relation jedem x, xzugeordnet wird ?!?!? Nur leider blick ich das ab da nicht. Beim beweis der Reflexivität fängts an, mir erscheint es zwar logisch, das wenn x x zugeordnet wird xRx gilt, aber wie kann ich das formal darstellen :o(.

zweites Problem:
Symmetrie: xRy => yRx
ich dachte x würde nur x zugeordnet wie kann man dann xRy beweisen o.O ?

drittens:
Transitivität: xRy ? yRz => xRz
da tut sich mir die selbe Frage wie oben auf ...

04.05.2011, 13:56

klarsoweit

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RE: Äquivalenzrelation -> Beweis

Zitat:

Original von EpoX2603
{(x,x) | x ? A} bedeutet doch das in dieser Relation jedem x, xzugeordnet wird ?!?!?

Steht da wirklich "x ? A" ?

04.05.2011, 14:14

EpoX2603

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Nein das war ein "Element Zeichen" und das bei Transitivität war ein "Mathematisches Und" ...

MFG

04.05.2011, 16:09

Mulder

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RE: Äquivalenzrelation -> Beweis
Du musst dir diese Relation $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}A \end{eqnarray*}$ als eine Teilmenge des kartesischen Produktes der (in diesem Fall eben beiden gleichen) Mengen $\begin{eqnarray*} A \times A \end{eqnarray*}$ vorstellen. Da werden Tupel gebildet, in denen beide Komponenten gleich sind. Ist $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (a,a) \in \mathrm{id}A \end{eqnarray*}$ . Ein Tupel der Form $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ kann nicht in $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}A \end{eqnarray*}$ liegen, auch wenn $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ beide in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen.

Diese Menge kannst du nun einfach auf die drei Kriterien untersuchen. Um mal ein Beispiel zu geben (das in diesem Fall höchst simpel ist): Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}A \end{eqnarray*}$ reflexiv, denn natürlich ist $\begin{eqnarray*} a \sim_{\mathrm{id}A} a \quad \forall a \in A \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} (a,a) \in \mathrm{id} A \end{eqnarray*}$ ist. Es reicht, das so zu schreiben (hattest du ja eigentlich schon gemacht).

Da wird übrigens nichts "zugeordnet", wir haben hier eine Relation vorliegen und keine Abbildung.

04.05.2011, 16:22

EpoX2603

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Ok, danke für den hinweis, mit "zuordnen" jetzt frage ich mich aber wie ich die Symmetrie beweisen soll wenn xRy => yRx das ist doch dann auch wahr, da x =y oder seh ich da jetzt was falsch ?

Und bei Transitivität ... vl könnte man das anhand eines Zahlenbsp veranschaulichen.

MFG

04.05.2011, 16:29

Mulder

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Zitat:

Original von EpoX2603
Ok, danke für den hinweis, mit "zuordnen" jetzt frage ich mich aber wie ich die Symmetrie beweisen soll wenn xRy => yRx das ist doch dann auch wahr, da x =y oder seh ich da jetzt was falsch ?

Ist richtig. Es ist wirklich so stinkeinfach.

Zitat:

Original von EpoX2603
Und bei Transitivität ... vl könnte man das anhand eines Zahlenbsp veranschaulichen.

Nein, das musst du schon allgemein zeigen. Nur irgendein Beispiel reicht da nicht. Mal ganz abgesehen davon, dass du doch überhaupt nichts über die Menge A weißt. Wer sagt denn, dass das unbedingt Zahlen sein müssen? Und selbst wenn es Zahlen wären, wüsstest du immer noch nicht, welche Zahlen genau drin liegen.

04.05.2011, 16:34

EpoX2603

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Nein das meinte ich nicht :-)!

Vl Könnte man es mir anhand eines Bsp zeigen, aber wenn ich so darüber nachdenke sollte doch x = y = z, so rein theoretisch wenn ich auf Refl. und Symm. schaue ... nun fehlt mir nur die formelle "Ausführung" für den Mathe Prof. mit der ich mich so schwer tue, ich habe leider nicht mal eine Idee, das darzustellen, nein nicht aus faulheit :S sondern aufgrund von Unwissenheit, selbst bei so einem "simplen" Beispiel ... =( ich verzweifle noch ...

Es hapert ja nicht am "verstehen" aber eben an der für den "prof" korrekten Ausführung.

04.05.2011, 16:36

Mulder

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Diese inhaltlich wahrlich nicht sonderlich schweren Aufgaben sind ja eben genau dafür da, auch das formale zu üben. Deine Idee mit dem x=y=z ist schon richtig. Das musst du nun eben noch sauber umsetzen. Probier das doch mal, hier im Forum kostet dich ein erster Fehlversuch keine Punkte.

04.05.2011, 16:38

EpoX2603

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Ok ich hab gerade Vorlesung, aber werde mich so gg 17:30 dran setzen und meine Ergebnisse dann nochmal posten, soweit schonmal danke, ich war schon am verzweifeln ob das das richtige für mich is :-)

04.05.2011, 18:09

EpoX2603

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Ich bin nun bei
$\begin{eqnarray*} Refl: (x,x) \in AxA => (x,x)\in id_{A} \end{eqnarray*}$

Und:

$\begin{eqnarray*} Symm: (x_{1},x_{2}) \in id_{A} => x_{1} \in id_{A} \wedge x_{2} \in id_{A} => (x_{2},x_{1}) \in id_{A} \end{eqnarray*}$

Kann man das so lassen ? Ich weis ja nicht, ob das so geht ach mann <.<

Nur bei Transitivität finde ich keinen Ansatz keinen Anfang ich meine wo soll ich da ansetzen ... ich kann doch net annehmen, das x,y und z alle gleich sind oder o.O ?

MFG

04.05.2011, 18:16

Mulder

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Zur Reflexiität siehe oben, das habe ich doch schon geschrieben. Du folgerst da sehr eigenartig.

Zitat:

Original von EpoX2603
$\begin{eqnarray*} Symm: (x_{1},x_{2}) \in id_{A} => x_{1} \in id_{A} \wedge x_{2} \in id_{A} => (x_{2},x_{1}) \in id_{A} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch begründet, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , nicht in $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}A \end{eqnarray*}$ , darin liegen doch nur Tupel.

Zitat:

Original von EpoX2603
Nur bei Transitivität finde ich keinen Ansatz keinen Anfang ich meine wo soll ich da ansetzen ... ich kann doch net annehmen, das x,y und z alle gleich sind oder o.O ?

Seien $\begin{eqnarray*} (x,y) \text{ und } (y,z) \in \mathrm{id}A \end{eqnarray*}$ . Dann ... ?

04.05.2011, 18:43

EpoX2603

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Geb auf <.< vl doch net das für mich ich hatte in bisher knappen 2 monaten mathe seit neue themen kamen net einen richtigen "Aha" Effekt ... ich find netmal ansätze verstehs net naja ... trotzdem danke

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