Euler Implizit mit Newton Verfahren

04.05.2011, 18:17	Der Kaiser	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler Implizit mit Newton Verfahren Hallo, es geht um die Programmierung des impliziten Euler Verfahrens in Kombination mit dem Newton Verfahren. Bei der Programmierung habe ich aber Schwierigkeiten, weil ich sowas vorher noch nie gemacht habe. Deswegen schreibe ich hier mal auf, was ich bisher gemacht habe, was meine Gedanken und Ansätze sind und wo es hapert und bitte euch, mir dabei zu helfen. Gegeben ist die DGL $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} = cos(x(t)) \end{eqnarray}$ mit der AB: $\begin{eqnarray} x(t=0) = 0 \end{eqnarray}$ Die Iterationsvorschrift für das Euler-Rückwärtsverfahren lautet ja allgemein: $\begin{eqnarray} x_{k+1} = x_{k} + hg(x_{k+1}, t_{k+1}) \end{eqnarray}$ Für die o.g. Funktion habe ich dann die Iterationsvorschrift $\begin{eqnarray} x_{k+1} = x_{k} + hcos(x_{k+1}) ) \end{eqnarray}$ Diese Funktion ist nun aber nicht nach $\begin{eqnarray} x_{k+1} \end{eqnarray}$ auflösbar, deswegen muss ich das Newton-Verfahren benutzen, um den Punkt $\begin{eqnarray} x_{k+1} \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Die Iterationsvorschrift für das Newton Verfahren lautet dann bei mir für das Beispiel: $\begin{eqnarray} x_{k+1} = x_{k} - \frac{x_{k} + hcos(x_{k})}{-hsin(x_{k})} \end{eqnarray}$ wobei ich mir hier überhaupt nicht sicher bin. Als Abbruchkriterium des Newton-Verfahren habe ich gesagt, dass $\begin{eqnarray} \| x_{k+1} - x_{k} - hcos(x_{k+1}) \| < tol = 10^{-8} \end{eqnarray}$ Als Schrittweite habe ich der Einfachheit halber erstmal h=1 gewählt Um das Ganze nun zum Laufen zu bringen, brauche ich doch nun 2 Startwerte, die ich definieren muss, oder? Einmal $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ , um im ersten Schritt das Abbruchkriterium berechnen zu können. Aber was sind gute Startwerte? In einem anderen Thread hier im Forum habe ich gelesen, dass man für den ersten Startwert das explizite Euler-Verfahren nutzen kann, also: $\begin{eqnarray} x_{0} = x(t=0) + hcos(x(t=0)) = 0 + 1cos(0) = 1 \end{eqnarray}$ Diesen Punkt setzt ich dann in die Newton-Vorschrift aus Punkt 2 ein und erhalte $\begin{eqnarray} x_{1} = 2,83 \end{eqnarray}$ Mit diesen beiden Punkten würde ich doch jetzt erstmal das "richtige" $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ mittels Newton berechnen lassen? Das wäre doch dann meine erste Lösung, also für $\begin{eqnarray} x(t=1) \end{eqnarray*}$ . Dann müsste ich noch mit der Zeitvariablen rumspielen, aber soweit bin ich noch nicht gekommen, weil es schon an den anderen o.g. Punkten scheitert. Wäre toll, wenn jemand hier mal drüberguckt und mir sagt, wo meine Fehler sind. Vielen Dank!
04.05.2011, 21:04	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Euler Implizit mit Newton Verfahren Du hast richtig erfasst, dass das iterative Newton-Verfahren innerhalb jedes Einzelnen Euler-Schrittes ablaufen muss. Zur Erklärung genügt die Beschreibung, wie du vom Anfangswert $\begin{eqnarray} x_0=x(0) \end{eqnarray}$ zum Wert $\begin{eqnarray} x_1=x(h) \end{eqnarray}$ kommst. Das erlaubt mir eine einfachere Notation. Die Gl. unter 1. lautet jetzt $\begin{eqnarray} x_1=x_0+h\cos x_1. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ist gesucht. Die Funktion mit $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ als Nullstelle ist dann $\begin{eqnarray} \varphi(z)=x_0+h\cos z - z. \end{eqnarray}$ Jetzt suchst du mit dem dir bekannten Newton-Verfahren die Nullstelle $\begin{eqnarray} z=x_1 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \varphi(z) \end{eqnarray}$ . Als erste Schätzung verwendest du am besten $\begin{eqnarray} x_0, \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ wird sich nur wenig von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ unterscheiden. Jetzt kannst du $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ zum neuen Anfangswert "degradieren" und sinngemäß weitermachen. Das von dir bearbeitete implizite Euler-Verfahren ist übrigens numerisch sehr stabil, so dass du (je nach DGl.) u.U. statt einer instabilen richtigen Lösung eine scheinbar stabile erhalten kannst. Edit In diesem Lehrbuch ist übrigens in Abschn. 15.7 ein Anwendungsfall durchgespielt samt einem kleinen Matlab-Programm dazu.
04.05.2011, 22:37	Der Kaiser	Auf diesen Beitrag antworten »
Göttlich! Danke für die schnelle Antwort. Bei mir ist da wohl einiges bei der Newton Iteration komplett in die Hose gegangen. Und ich war zu sehr auf die allgemeine Schreibweise aus der Vorlesung eingeschossen, weshalb ich da immer Fehler produziert habe. Jedenfalls kann ich nun Werte berechnen, die sogar in etwa dem Verlauf der analytischen Lösung entsprechen. (siehe Anhang) (Ich hoffe, dies ist richtig - weiß nicht, wie ichs überprüfen könnte.) Danke, deine Ausführungen habe mir wesentlich zum Verständnis geholfen!
04.05.2011, 22:51	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einer kleineren Schrittweite sollten die numerisch gerechneten Werte nach Augenmaß genau auf der analytischen Lösungskurve liegen.
05.05.2011, 11:40	Der Kaiser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das werde ich heute in Angriff nehmen.

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