Automorphismengruppe [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe [ÜAB]
Zitat:
(a) Aut(G) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym(G)


Was aus den Definitionen klar ist: . Da beides Gruppen sind, folgt dann nicht auch sofort . verwirrt Oder soll ich hier noch begründen, dass Aut(G) eine Gruppe ist? Die Verknüpfung ist assoziativ, wir haben ein Einslement und da mit auch die Umkehrabbildung ein Automorphismus von G, somit also auch inverse Elemente.

Zitat:
(b) Die Endomorphismen einer zyklischen Gruppe G sind genau die Abbildungen.


Ein Endomorphismus von G ist durch das Bild eines erzeugenden Elementes g von G eindeutig bestimmt. Als Bild kommen (da Endomorpismus) ja nur Elemente aus G in Frage und die sind von der Gestalt . Somit sind genau obige Abbildungen die Endomorphismen von G.

Zitat:
(c) ist eine abelsche Gruppe der Ordnung , für alle n aus IN


Es ist eine zyklische Gruppe mit erzeugenden Elementen. Somit haben wir - siehe vorherige Argumentation - genau Elemente in . Automorphismen sind insbesondere auch Endomorphismen. Kann ich also die Kommutativität durch (b) und den Rechenregeln für Potenzen begründen?

Zitat:
(d) ist nicht für alle n zyklisch.


Klassische Einladung für die Angabe eines Beispiels. Insgesamt kann man zeigen, dass gilt . Somit wäre die Frage, wann ist eine prime Restkassenguppe nicht zyklisch. Mit dem Wissen aus anderen Threads (was, wenn n eine Primzahl ist), würde ich folgendes Beispiel versuchen.




Zitat:
(e)


Wohl ein beliebtes Beispiel um zu zeigen, dass im Falle einer nichtzyklischen Gruppe die Ordnung der Automorphismengruppe die der Gruppe übersteigen kann. Die Gültigkeit habe ich hier schon mal gezeigt Aut(N) [PFA]
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe [ÜAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
(a) Aut(G) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sym(G)

Was aus den Definitionen klar ist: . Da beides Gruppen sind, folgt dann nicht auch sofort .

Ja. Ich glaube nicht, dass hier nochmal gezeigt werden soll, dass Verknüpfungen von Homomorphismen Homomorphismen sind usw.

Zitat:

Zitat:
(b) Die Endomorphismen einer zyklischen Gruppe G sind genau die Abbildungen.


Ein Endomorphismus von G ist durch das Bild eines erzeugenden Elementes g von G eindeutig bestimmt. Als Bild kommen (da Endomorpismus) ja nur Elemente aus G in Frage und die sind von der Gestalt . Somit sind genau obige Abbildungen die Endomorphismen von G.

Es geht hieraus noch nicht ganz hervor warum jedes Element x auf x^a abgebildet wird, wenn das für einen Erzeuger gilt. Auch fehlt noch der einfache Beweis, dass jede Abbildung der Form ein End. ist.

Zitat:

Zitat:
(c) ist eine abelsche Gruppe der Ordnung , für alle n aus IN


Es ist eine zyklische Gruppe mit erzeugenden Elementen. Somit haben wir - siehe vorherige Argumentation - genau Elemente in . Automorphismen sind insbesondere auch Endomorphismen. Kann ich also die Kommutativität durch (b) und den Rechenregeln für Potenzen begründen?

Ja, alle Endomorphismen kommutieren miteinander, was aus folgt.

Zitat:

Zitat:
(d) ist nicht für alle n zyklisch.


Klassische Einladung für die Angabe eines Beispiels. Insgesamt kann man zeigen, dass gilt . Somit wäre die Frage, wann ist eine prime Restkassenguppe nicht zyklisch. Mit dem Wissen aus anderen Threads (was, wenn n eine Primzahl ist), würde ich folgendes Beispiel versuchen.

Das Beispiel stimmt, aber warum sagst du 'prime Restklassengruppe'?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe [ÜAB]
Ok, dann notiere ich mir zu dieser Aufgabe doch lieber gleich den "ganzen Beweis", damit ist dann auch die von dir angesprochene "Lücke" beseitigt.

Karpfinger Meyberg - S. 68, 69

Daher stammt auch meine Wortwahl "prime Restklassengruppe"
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, die Bezeichnung kannte ich nicht. Wahrscheinlich bezieht sich das 'prim' dann darauf, dass es die Menge der Restklassen von Zahlen ist, die relativ prim (=teilerfremd) zur Ordnung n sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nehme ich auch an und nicht n ist eine Primzahl. Augenzwinkern
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