Wann liegen 3 komplexe Zahlen auf einer Geraden

05.05.2011, 01:55

toneesnightmare

Wann liegen 3 komplexe Zahlen auf einer Geraden

Meine Frage:
Hallo,
für $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ liegen auf einer
Gerade, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Und dies soll auch noch äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} cb^{*}-ca^{*}-ab^{*} \in \mathbb{R}. \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} z^{*} \end{eqnarray*}$ konjugiert bedeutet.

Meine Ideen:
Also für $\begin{eqnarray*} \frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ habe ich mir gedacht,
dass die Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ alle gleich sein müssen, damit sie auf einer Geraden liegen. Daher,
$\begin{eqnarray*} \frac {c-a}{b-a}=\frac{|c|*exp(i\phi)-|a|*exp(i\phi)}{|b|*exp(i\phi)-|a|*exp(i\phi)}=\frac{|c|-|a|}{|b|-|a|} \end{eqnarray*}$ Und dieser Quotient ist $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Aber bei er letzten Äquivalenz hackt es leider ein wenig...

05.05.2011, 09:34

Steffen Bühler

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RE: Wann liegen 3 komplexe Zahlen auf einer Geraden

Zitat:

Also für $\begin{eqnarray*} \frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ habe ich mir gedacht,
dass die Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ alle gleich sein müssen, damit sie auf einer Geraden liegen.

Hm. Schau Dir mal die Winkel von -1, 0 und 1 an.

Viele Grüße
Steffen

05.05.2011, 09:43

Hubert1965

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Falls die drei Winkel gleich sind, liegen sie natürlich auf einer Geraden, aber diese Gerade geht dann immer durch den Punkt 0, und die drei Punkt liegen auch alle auf derselben Seite vom Punkt 0 aus gesehen.

Aber auch i, 1+2i und 2+3i liegen auf einer Geraden, die geht aber nicht durch 0, und die drei Zahlen haben auch drei verschiedene Winkel.

Versuche, dir die Zahlen als Punkte auf der komplexen Zahlenebene vorzustellen. Dann entsprechen (c-a) und (b-a) zwei Vektoren, die in dieselbe Richtung zeigen. Das heißt, dass man den einen der beiden Vektoren erhalten kann, wenn man den anderen Vektor mit einem Skalar multipliziert.

Also:

$\begin{eqnarray*} (\vec{c}-\vec{a})=x\cdot(\vec{b}-\vec{a})\quad\quad x\in\mathbb R;\quad \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb V \end{eqnarray*}$

Umgemünzt auf komplexe Zahlen heißt das nichts anders als das:

$\begin{eqnarray*} (c-a)=x\cdot(b-a)\quad\quad x\in\mathbb R;\quad a,b,c\in\mathbb C \end{eqnarray*}$

05.05.2011, 13:01

toneesnightmare

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Stimmt! Ich habe nicht darauf geachtet , dass die Gerade auch wo anders in der Ebene liegen kann. Forum Kloppe

Aber wie bekomme ich das konjugierte hinein, für die zweite Äquivalenz?
Noch ein kleiner Kick in die richtige Richtung wäre nett.
Danke

05.05.2011, 17:10

Hubert1965

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Ich schreib die drei Zahlen mal komponentenweise auf:

$\begin{eqnarray*} a=R_a+I_a\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=R_b+I_b\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=R_c+I_c\cdot i \end{eqnarray*}$

Dann wird aus diesem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} cb^*-ca^*-ab^* \end{eqnarray*}$

dieser:

$\begin{eqnarray*} (R_c+I_c\cdot i) \cdot (R_b-I_b\cdot i) - (R_c+I_c\cdot i) \cdot (R_a-I_a\cdot i) - (R_a+I_a\cdot i) \cdot (R_b-I_b\cdot i) \end{eqnarray*}$

Das multiplizierst du aus, und setzt es in diese Gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} (c-a)=x\cdot(b-a) \end{eqnarray*}$

06.05.2011, 08:18

toneesnightmare

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Vielen Dank! Gott

06.05.2011, 08:46

Hubert1965

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Gern geschehen!

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