Ideal

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Zewa-Softis Auf diesen Beitrag antworten »
Ideal
Meine Frage:
Hallo!

In einem kommutativen Ring mit 1 gilt: das von a und b erzeugte Ideal lässt sich von einem einzelnen Element d erzeugen
dann ist d größter gemeinsamer Teiler von a und b.



Meine Ideen:
Könnte mir jemand einen Ansatz bitte geben?
Danke!!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Wie schauen denn die Elemente aus, die in dem von a und b erzeugten Ideal liegen?
Zewa Softis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Summe a+b
Produkt ab
?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Du sprichst in Rätseln....

Ideale werdet ihr doch in der Vorlesung besprochen haben.

Das von a und b erzeugte Ideal I eines Ringes R ist .


Nun sei J das Ideal, das von einem Element d erzeugt wird, wie schaut J aus?
Zewa Softis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
ist d dann das Hauptideal?
ich stehe ziemlich auf der Leitung. . .
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
(d) ist ein Hauptideal, jap, denn ein von einem Element erzeugtes Ideal nennen wir Hauptideal.

Wie schaut (d) nun aus?

Edit: aber "das Hauptideal" ist falsch, denn wir wissen ja nicht, wie viele Hauptideale unser Ring hat...
 
 
Zewa Sofits Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
(d) = ({d})

Rd = {rd / r €R}
dR = {dr / r €R}

Da Ring mit 1
1) (d) = Ra
2) (d) = aR
3) (d) = {d1+. . . .+dn/n€N, ai € RDR}

und da wir ja einen kommutative Ring sind, stimmen die drei Punkte überein
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Aus den Notationen werde ich nicht schlau, was ist Rd, was dR ?

Du kannst auch gerne Latex benutzen....

Also es ist .

Nun soll gezeigt werden:

.

Was fällt dir dazu ein (Welcher Satz/Lemma)?
Zewa Softis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Leider Nein ;-(
Zewa Softis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Rechtideal, Linksideal
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Da der Ring kommutativ ist brauchen wir uns über Rechts- und Linksideale keine Gedanken machen.

Ein wenig mehr Initiative kann man aber verlangen.

Wenn I=J ist, wie kann man dann d darstellen?
Zewa Softis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Sei R kommutativer Ring mit 1, weiters a,b aus R
Sei (a,b) das von a und b erzeugte Ideal
Zeige: d = ggT(a,b)

(a,b) : = { ra + sb / r,s aus R }
Da d aus (a,b) -> d = ar +bs für gewisse r,a aus R

a = r' d
b= r '' d
da (a,b) aus (d)
-> d|a und d|b
daher hat d gewünschte Darstellung und ist gemeinsamer Teiler von a und b
Zewa Softis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Stimmt das so?
Bzw beinhaltet der erste Teil auch, dass jeder gemeinsame Teiler von a und b auch ein größter gemeinsamer Teiler ist?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal
Zitat:
Original von Zewa Softis


(a,b) : = { ra + sb / r,s aus R }
Da d aus (a,b) -> d = ar +bs für gewisse r,a aus R <----- ich hoffe du meinst hier s statt a.


Okay, das ist soweit richtig, wir können d alsodarstellen als

Zitat:
Original von Zewa Softis
a = r' d
b= r '' d
da (a,b) aus (d)
-> d|a und d|b
daher hat d gewünschte Darstellung und ist gemeinsamer Teiler von a und b

Das ist weitestgehend auch korrekt.

I wird von der Menge erzeugt, also müssen, wenn I=J gilt bereits a und b in J liegen, also existieren t,u aus R mit und .

Wir haben also gezeigt, dass das Ideal von einem Teiler von a und b erzeugt wird, was noch fehlt ist die Argumentation, warum es der ggT sein muss.

Das ist aber schon fast gezeigt, nur noch ein wenig argumentieren:

Wir haben gezeigt, dass a und b Vielfache von d sein müssen, also dass d ein gemeinsamer Teiler von a und b ist.

Sei nun c eine gemeinsamer Teiler der Elemente a und b, dann gilt:

und .

Nun sei (d) das kleinste Ideal, das a und b enthält, dann ist , und damit folgt, dass c d teilt, also c|d.

Daraus kann man schließen, dass d der ggT(a,b) ist.
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