Ideal |
05.05.2011, 09:41 | Zewa-Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ideal Hallo! In einem kommutativen Ring mit 1 gilt: das von a und b erzeugte Ideal lässt sich von einem einzelnen Element d erzeugen dann ist d größter gemeinsamer Teiler von a und b. Meine Ideen: Könnte mir jemand einen Ansatz bitte geben? Danke!!!! |
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05.05.2011, 10:54 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Wie schauen denn die Elemente aus, die in dem von a und b erzeugten Ideal liegen? |
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05.05.2011, 11:24 | Zewa Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Summe a+b Produkt ab ? |
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05.05.2011, 11:33 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Du sprichst in Rätseln.... Ideale werdet ihr doch in der Vorlesung besprochen haben. Das von a und b erzeugte Ideal I eines Ringes R ist . Nun sei J das Ideal, das von einem Element d erzeugt wird, wie schaut J aus? |
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05.05.2011, 12:03 | Zewa Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal ist d dann das Hauptideal? ich stehe ziemlich auf der Leitung. . . |
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05.05.2011, 12:19 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal (d) ist ein Hauptideal, jap, denn ein von einem Element erzeugtes Ideal nennen wir Hauptideal. Wie schaut (d) nun aus? Edit: aber "das Hauptideal" ist falsch, denn wir wissen ja nicht, wie viele Hauptideale unser Ring hat... |
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05.05.2011, 12:31 | Zewa Sofits | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal (d) = ({d}) Rd = {rd / r €R} dR = {dr / r €R} Da Ring mit 1 1) (d) = Ra 2) (d) = aR 3) (d) = {d1+. . . .+dn/n€N, ai € RDR} und da wir ja einen kommutative Ring sind, stimmen die drei Punkte überein |
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05.05.2011, 12:37 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Aus den Notationen werde ich nicht schlau, was ist Rd, was dR ? Du kannst auch gerne Latex benutzen.... Also es ist . Nun soll gezeigt werden: . Was fällt dir dazu ein (Welcher Satz/Lemma)? |
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05.05.2011, 13:00 | Zewa Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Leider Nein ;-( |
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05.05.2011, 13:17 | Zewa Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Rechtideal, Linksideal |
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05.05.2011, 13:44 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Da der Ring kommutativ ist brauchen wir uns über Rechts- und Linksideale keine Gedanken machen. Ein wenig mehr Initiative kann man aber verlangen. Wenn I=J ist, wie kann man dann d darstellen? |
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06.05.2011, 08:02 | Zewa Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Sei R kommutativer Ring mit 1, weiters a,b aus R Sei (a,b) das von a und b erzeugte Ideal Zeige: d = ggT(a,b) (a,b) : = { ra + sb / r,s aus R } Da d aus (a,b) -> d = ar +bs für gewisse r,a aus R a = r' d b= r '' d da (a,b) aus (d) -> d|a und d|b daher hat d gewünschte Darstellung und ist gemeinsamer Teiler von a und b |
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06.05.2011, 08:06 | Zewa Softis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal Stimmt das so? Bzw beinhaltet der erste Teil auch, dass jeder gemeinsame Teiler von a und b auch ein größter gemeinsamer Teiler ist? |
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06.05.2011, 11:09 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ideal
Okay, das ist soweit richtig, wir können d alsodarstellen als
Das ist weitestgehend auch korrekt. I wird von der Menge erzeugt, also müssen, wenn I=J gilt bereits a und b in J liegen, also existieren t,u aus R mit und . Wir haben also gezeigt, dass das Ideal von einem Teiler von a und b erzeugt wird, was noch fehlt ist die Argumentation, warum es der ggT sein muss. Das ist aber schon fast gezeigt, nur noch ein wenig argumentieren: Wir haben gezeigt, dass a und b Vielfache von d sein müssen, also dass d ein gemeinsamer Teiler von a und b ist. Sei nun c eine gemeinsamer Teiler der Elemente a und b, dann gilt: und . Nun sei (d) das kleinste Ideal, das a und b enthält, dann ist , und damit folgt, dass c d teilt, also c|d. Daraus kann man schließen, dass d der ggT(a,b) ist. |
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