lineare Abbildung

05.05.2011, 16:21

ChronoTrigger

lineare Abbildung

Hallo,

diese Aufgabe bereitet mir Probleme.

Gibt es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} \phi(\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich vermute, dass ich hier eigentlich nur die Linearität ausnutzen muss, um das Ganze auf die Standardeinheitsvektoren zurückzuführen.

Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \phi(\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\phi(-2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =-2 \phi(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix})+2\phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für die anderen

$\begin{eqnarray*} \phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ) =\phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} )-\phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ) =3\phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt ist mir aber nicht klar, wie ich weiter vorgehen kann.

kann mir jemand einen tipp geben?

vielen dank schonmal im voraus.

05.05.2011, 16:30

Helferlein

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Schau Dir mal die drei Urbildvektoren an.
Die haben eine bestimmte Eigenschaft aus der sich die Antwort auf die Frage ergibt.

05.05.2011, 17:44

ChronoTrigger

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danke für den hinweis, aber ich sehe nicht, welche eigenschaft das sein könnte.

Ich kann die drei Urbildvektoren nicht zur $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ kombinieren, um zu sehen, ob sie auch auf die $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

kannst du mir vielleicht da noch einen weiteren tipp geben?

05.05.2011, 20:38

Helferlein

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Die drei Urbilder sind linear unabhängig.

06.05.2011, 14:33

ChronoTrigger

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ah, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.

weil die drei Urbildvektoren linear unabhängig sind und $\begin{eqnarray*} dim \mathbb R^3 = 3 \end{eqnarray*}$ ist, bilden sie eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Die Bildvektoren sind allerdings linear abhängig und somit keine Basis, also existiert keine solche lineare Abbildung.

08.05.2011, 12:01

stoney19

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Hänge gerade auch an der Aufgabe, komme aber nicht weiter.
Habe gezeigt dass die Urbildvektoren linear unabhängig (also eine Basis bilden) und die Bildvektoren linear abhängig sind.
Wieso existiert dann keine solche Abbildung? Und falls auch die Urbildvektoren linear abhängig wären, würde dann eine solche Abbildung existieren? Irgendwie peil ich das nicht. Danke schonmal

08.05.2011, 12:51

Mulder

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Zitat:

Original von stoney19
Wieso existiert dann keine solche Abbildung? Und falls auch die Urbildvektoren linear abhängig wären, würde dann eine solche Abbildung existieren? Irgendwie peil ich das nicht. Danke schonmal

Den letzten Beitrag von ChronoTrigger bitte vergessen, denn was da drin steht, ist vollkommen falsch. Warum sollten Basen auf Basen abgebildet werden?

Das sollte auch sofort klar sein, denn wenn das tatsächlich wahr wäre, dann könnte es ja überhaupt keine linearen Abbildungen von R^m in den R^n geben mit n<m, weil die Bilder einer Familie von Vektoren, die eine Basis des R^m bilden, aus Anzahlgründen niemals eine Basis des R^n sein könnten (Dimensionsvergleich). Das ist aber offensichtlich Humbug, denn natürlich gibt es solche Abbildungen.

Bei Aufgaben dieser Form, in der die Bilder einiger Vektoren gegeben sind, muss man prüfen, ob die Eigenschaften einer linaren Abbildung (additiv und homgen) eingehalten werden. Ein einfaches Beispiel für eine lineare Abbildung, die es nicht geben kann: Untersuche

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

mit den Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} F \left ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right ) = 1 \ \ , \ \ F \left ( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right ) = 2 \ \ , \ \ F \left ( \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \right ) = 3 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, F muss additiv und homogen sein. Nun ist aber ja

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also müsste auch

$\begin{eqnarray*} F \left ( \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \right ) = F \left ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray*}$

sein, was aber offensichtlich nicht der Fall ist (nachrechnen, benutze dabei eben die Eigenschaften einer linaren Abbildung). Man bildet also Linarekombinationen der gegebenen Vektoren, deren Bilder man kennt und untersucht, ob es da Probleme gibt. In der hier vorliegenden Aufgabe kann man sich das Nachrechnen aber sparen, bzw. es geht eben gar nicht, weil die gewählten Vektoren linear unabhängig sind.

Was bedeutet das nun?

08.05.2011, 13:14

stoney19

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Erstmal danke für die Antwort.
Hmm, ich habe da keine richtige Idee, kann nur raten:
Liegt das dadran, dass man die einzelnen Linearkombinationen nicht untersuchen kann, weil jeder Vektor nur auf eine einzige Art darstellbar ist?
Aber wenn das richtig ist, hab ich immer noch nicht wirklich verstanden wieso das dann zum Problem führt

08.05.2011, 14:35

Helferlein

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Ich erlaub mir noch einmal hier an die Frage von ChronoTrigger anzuknüpfen:
Dass die drei Vektoren eine Basis bilden ist richtig und wie Mulder ja auch schon geschrieben hat, hat die Tatsache, dass die Bilder keine Basis bilden nicht mit der Existenz der Abbildung zu tun.
Mir ging es eher um die Tatsache, dass eine lineare Abbildung durch Definition der Bilder einer Basis bereits eindeutig festgelegt ist.

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