Oberflächen-Funktion

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DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächen-Funktion
Meine Frage:
Hallo zusammen,

Habe im Mathebuch (10. Kl. Gymn.) folgende Aufgabe:
Ein Quader mit quadratischer Grundfläche ist bis 1 cm unter dem oberen Rand mit einer Flüssigkeit gefüllt. Das Volumen dieser Flüssigkeit beträgt 1 l (= 1dm³). Nun soll man die Maße des Quaders bestimmen, bei denen er die kleinstmögliche Oberfläche hat.

Das muss doch ein ein Würfel sein. Oder etwa nicht??? smile

Meine Ideen:
...wenn es ein Würfel ist, dann gilt ja: x³ = 1 + x² * 0,1 , so und das ist eine kubische Gleichung, die wir nicht auflösen können...

es gilt ja auch: X² * h = 1 + 0,1x² ; h = 1/x² + 0,1

und wenn ich jetzt die Funktion für die Oberfläche aufstelle, dann kommt folgendes raus:

O(x) = 2x² + 4*hx = 2x² + 4/x + 0,1x ...und jetzt braucht man ja den absoluten Tiefpunkt des Graphen, also nehme ich die Ableitung, setze den Funktionsterm mit 0 gleich, und löse nach x auf... und auch hier wieder: entweder keine Ganzrationale Funktion oder (durch Erweiterung) eine kubische Gleichung, wieder nicht lösbar

O'(x) = 4x - 4/x² + 0,1 = 0
oder
0 = 4x³ + 0,1x² -4

Verfahren die ich beherrsche: quadratische Ergänzung, 1. Ableitung, Polynomdivision

hoffe ihr könnt mir Helfen smile
Dank im Voraus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Deine Gedankengänge kann ich teilweise nicht nachvollziehen.

Fest steht jedenfalls, dass du nicht von einem Würfel ausgehen darfst, vielmehr musst du mit den Formeln für den Quader rechnen.

Deine Oberflächenformel hast du so ja auch richtig für die HB aufgestellt.

Was mir fehlt, ist die NB, also eine vernünftige Gleichung für das Volumen des Quaders, in der deine gegebenen Punkte einfließen.

smile
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Die Formel für das Volumen ist ja:

quadratische Grundfläche * Höhe = 1dm³ + quadratische Grundfläche * 1cm

x² * h = 1 + x² * 0,1

und jetzt stelle ich die Gleichung für die Oberfläche(x) auf, in Abhängigkeit von h
...
löse also die Volumengleichung (oben) nach h auf und setze dann in die Formel ein:

O(x) = 2x² + 4hx

...was ist denn HB, NB ??? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
HB = Hauptbedingung, hier wird der Extremwert gesucht
NB = Nebenbedingung, dient dazu, Variablen der HB zu eliminieren.

Aber dies hier ist irgendwie seltsam:

Zitat:
quadratische Grundfläche * Höhe = 1dm³ + quadratische Grundfläche * 1cm
x² * h = 1 + x² * 0,1

Wo hast du die Höhe des Quaders? Wo berücksichtigst du, dass er bis 1 cm unter den Rand gefüllt ist?

Ich hätte gerne so etwas: 1000 cm³ = .....

smile

edit: Ok, inzwischen kann ich es nachvollziehen. Man kann den Sachverhalt auch so ausdrücken, wie du es getan hast. Freude

Dann forme deine Gleichung so um, dass du h = .... stehen hast.
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Ja hab ich, steht doch oben smile

h = 1/x² + 0,1

...wenn ich den rechten Term nun für h in die Funktionsgleichung für die Oberfläche einsetze, die Ableitung davon mache und diese mit 0 gleichsetze (um die Extremstelle des Tiefpunkts des Graphen zu finden, und somit den Wert für x für die kleinste Oberfläche)

... das gibt eine Gleichung, die man nicht nach x auflösen kann
ich habs auch mit Polynomdivision versucht, geht nicht! ...bin verzweifelt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Deine Gleichung für h stimmt, auch wenn ich mit cm arbeite, das sollte aber keinen Unterschied machen.

Wie lautet denn deine HB? Ohne deine Gleichungen zu kennen ist es schwer, Tipps zu geben.
 
 
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
also:

Gleichung für's Volumen:
V = x² * h = 1 + 0,1x² ; h = 1/x² + 0,1

Funktionsgleichung für die Oberfläche:

O(x) = 2x² + 4hx
= 2x² + 4* (1/x² + 0,1) * x
= 2x² + 4/x + 0,4x

da ich die kleinstmögliche Oberfläche suche, untersuche ich die Funktion auf Tiefpunkte.
Dazu leite ich die Funktion ab ( Nullstelle der Ableitungsfunktion = Extremstelle der Funktion)

O'(x) = 4x - 4/x² + 0,4

nun setze ich den Funktionsterm mit 0 gleich, da ich ja die Nullstellen suche

4x - 4/x² + 0,4 = 0 die Gleichung kann ich nicht nach x auflösen,
also mache ich daraus eine Ganzrationale Funktion

4x - 4/x² + 0,4 = 0 | * x²

4x³ + 0,4x² - 4 = 0

doch auch diese Gleichung kann ich nicht nach x auflösen, da es eine kubische Gleichung ist...

ich bin ratlos
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Die gute Nachricht: Du hast alles richtig gerechnet. Freude

Das Problem ist, dass du auch nicht mit der Polynomdivision weiterkommst. Ich habe die Gleichung lösen lassen und es kommt x = 9,6775...cm bzw. 0,96775... dm raus.

Du wirst ein Näherungsverfahren anwenden müssen.
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
hahahah smile

das Ergebnis ist für mich gar nicht das wichtige (ich hab's auch schon mit dem Grafiktaschenrechner gelöst)...

Bei der Aufgabe stand aber nicht dass man den GTR benutzen sollte, d.h. es muss auch rechnerisch zu lösen sein!

ABER WIE ???!!!! ich sitze schon seit Stunden an der ****** Aufgabe!

es muss einfach gehen...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Du hast ja praktisch: x³ + 0,1x² - 1 = 0

Das kannst du als Funktion ansehen und die Nullstelle berechnen.



Das muss z.B. mit dem Newton-Verfahren machen. Wenn du diese Näherungsverfahren nicht kennst, weiß ich nicht, wie du die Aufgabe lösen sollst. verwirrt
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
kannst du mir das Newtonverfahren erklären??
ist es kompliziert?? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Naja, einfach ist es nicht direkt. Und selber erklären möchte ich es nicht, das ist zu aufwendig. Da schicke ich dir lieber ein paar Links:

Hier kannst du dir die Rechnung protokollieren lassen.

Hier wird es auch gut erklärt.

Hier auch.

Aber wie gesagt: Eigentlich müsstet ihr diese Lösungsverfahren besprochen haben , bevor ihr solche Aufgaben bekommt.
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
erstmal vielen dank für deine Bemühungen, sulo smile

ich glaube dass mein Rechenweg falsch ist.

es ist nämlich so:
ich kann diese Gleichung ( O'(x) = 4x - 4/x² + 0,4 ) nach x umstellen. Und zwar folgendermaßen:

4x - 4/x² + 0,4 = 0 | + 4/x²

4x + 0,4 = 4/x² | -0,4

4x = 4/x² - 0,4 | /4


x = 1/x² - 0,1

und das kann nicht stimmen, denn ich habe die Höhe h des Quaders ja bereits definiert: h = 1/x² + 0,1

und da wir ja die kleinste Oberfläche suchen, muss es sich um einen Würfel handeln!
Dementsprechend muss h = x gelten, was aber nicht der Fall ist

ich raffs einfach nicht! smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
wenn´s denn ein würfel ist, sollte seine kantenlänge betragen, vermute ich

edit: cm Augenzwinkern
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
ja, das habe ich doch schon längst herausgefunden, mit dem GTR
...aber es muss 100% auch ohne gehen!!!

auch wenn es sich nicht um einen Würfel handelt, muss mein Rechenweg falsch sein, denn:

wenn für x gilt:

x = 1/x² - 0,1

und für h:

h = 1/x² + 0,1

dann folgt daraus:

h = x + 0,2

wenn ich das in meine Oberflächengleichung einsetze, die Ableitung mache, mit 0 gleichsetze und nach x auflöse kommt etwas ganz komisches raus smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
Zitat:
Original von DummStein
ja, das habe ich doch schon längst herausgefunden, mit dem GTR
...aber es muss 100% auch ohne gehen!!!


warum hast du es denn dann nicht hergemalt verwirrt
keiner von uns kann richtig gut hellsehen Augenzwinkern

nebenbei: ich habe keinen GTR
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
ich habe es nicht für nötig gehalten, es geht mir ja um den rechenweg...
es muss mit quadratischer Ergänzung/Polynomdivision/Ableitung (ohne GTR oder irgendwelche Hilfsmittel) zu schaffen sein

...die werden ja nicht so fies sein, unlösbare Aufgaben ins Buch zu stellen verwirrt

smile
DummStein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächen-Funktion
...also inzwischen kann ich alles nachvollziehen

mein rechenweg war von anfang an richtig smile Lehrer

ich weiß nicht warum, aber ich bin davon ausgegangen dass ein festgelegtes volumen vorrausgesetzt wird, d.h. dass das Volumen von dem 1cm-breiten Bereich nicht variieren kann... und deswegen bin ich von einem würfel ausgegangen Hammer

aber ohne technische Hilfsmittel kann ich die Gleichung trotzdem nicht lösen

also, wielen dank an alle die geantwortet haben, war alles richtig smile
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