transitive Wirkung/Stabilsator [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
transitive Wirkung/Stabilsator [ÜAB]
Zitat:
Sei G eine Gruppe, U eine Untergruppe von G und M die Menge aller Linksnebenklassen von U in G. Definiere



Zeige:

(a) ist eine transitive Wirkung von G auf M


So, also in der Sprache die wir immer genommen haben heißt das doch: "U operiert durch Linkstranslation transitiv auf M." An dieser Stelle eine Zwischenfrage: Was bedeutet der Audruck "transitive Untergruppe"??

Nach der Definition von muss laut Skript nur noch gezeigt werden, dass es sich um einen G-Hom handelt. Es ist



denn



Wie weißt man nun generell transitiv nach. Ist das äquivalent zu "es gibt nur eine Bahn", oder folgt die eine Bahn nur aus transitiv?

Ansonsten seien aU, bU aus M beliebig gegeben. Dann wähle und es gilt



und die Operation/Wirkung ist transitiv.

Ich denke wir stoppen hier, dann kommt (b).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Untergruppe U der symmetrischen Gruppe heißt transitive Untergruppe, wenn gilt , wenn also U auf M transitiv operiert. Du hast somit gezeigt: ist eine transitive Untergruppe von . Eine Gruppe operiert genau dann transitiv auf einer Menge, wenn es genau eine Bahn gibt.

Deine Beweise sind okay.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
(b)
Danke.

Zitat:
(b) Der Kern von ist


Also ich komme erst mal auf



Wundere mich nun, da bei mir "h" stehen bleibt und nicht "g". Klar sind es nur Buchstaben ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
(c)
Nebst (b) gibt es auch noch

Zitat:
(c) Ist G endlich und [G:U]=n, so ist die Ordnung der Faktorgruppe G/K ein Teiler von n! und ein Vielfaches von n.


Den ersten Teil würde ich mit dem Homomorphiesatz begründen. Es ist und mit |Sym(M)| = [G:U]!=n! folgt die Behauptung (mit Lagrange).

Aus (b) folgt und damit |K|<|U| und somit . Mit Lagrange und [G:U]=n folgt die Behauptung.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (b)
Zitat:
Original von tigerbine
Wundere mich nun, da bei mir "h" stehen bleibt und nicht "g". Klar sind es nur Buchstaben ...


Dein Beweis stimmt. Es ist doch egal, ob Du nun über alle oder quantifzierst.

Die erste Aussage in (c) hast Du auch richtig bewiesen. Aber warum möchtest Du im zweiten Punkt ? Im abelschen Fall etwa ist doch . Außerdem könntest Du noch explizit aufschreiben, wie Du den Satz von Lagrange eigentlich für das Teilbarkeitsargument verwendest.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (b)
Es war nur die Optik, die mich bei b gestört hat im ersten Moment

Aus (b) folgt und damit und somit . Mit Lagrange also

und

 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (b)
Zitat:
Original von tigerbine
Aus (b) folgt und damit und somit . Mit Lagrange also

und


Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (b)
Danke euch beiden. Wink
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