Logik

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PnO Auf diesen Beitrag antworten »
Logik
Hallo



Das bedeutet doch soviel wie: Für jedes n, Element der natürlichen Zahlen, existiert ein m, das ebenfalls Element der natürlichen zahlen ist.
Was ist aber dann nicht versteh, ist wieso m>n sein soll.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, nach deinem ersten Satz muß es ja noch weitergehen. Der Doppelpunkt bedeutet sozusagen "für die gilt".
Für alle natürlichen Zahlen n gibt es eine natürliche Zahl m (soweit warst du schon), für die gilt m > n.

"Gibt es eine" hat den Sinn von "gibt es mindestens eine". Es kann also auch mehrere geben (und tut es auch).
Was bedeutet denn das anders ausgedrückt: Welche natürliche Zahl ich auch betrachte, es gibt immer ... ??? Oder noch anders: Es gibt keine ... ???

Im Gegensatz dazu gilt der Fall m < n nicht immer. Wenn z. B. n = 3 wäre, könnte m 2, 1 oder 0 sein. Wenn n = 0 ist, gibt es aber keine natürliche zahl, die kleiner als 0 ist!
Formelll Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet genauer so viel wie:

Für jedes m, Element der natürlichen Zahlen, existiert ein kleineres n, das ebenfalls Element der natürlichen Zahlen ist.

Bedeutet, dass es immer eine kleinere natürliche Zahl gibt als eine Zahl m;
und eine größere natürliche Zahl als die Zahl n.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Laß das mal mit der "kleineren Zahl". Wie gesagt, gibt es ja nicht immer eine kleinere natürliche Zahl und in dem Satz wird auch von n aus gegangen: Für jedes n gibt es ein m ... .
Aber ich formuliere das Ende deines letzten Satzes mal etwas um:
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine noch größere natürliche Zahl.

Was heißt denn das für die Menge der natürlichen Zahlen: Es gibt keine ... ??
Denn: Wie groß eine natürliche Zahl, die ich betrachte, auch sein mag, es gibt immer eine noch größere.
PnO Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine unendlich große natürliche Zahl? Eine Aufgabe hab ich aber noch, die ich nicht ganz verstehe.



Der Bindestrich soll für eine Negation stehen. Genau hier liegt das problem, ich weiß nicht, welche Aussage die Klammer verneint ergibt. Muss man dann einfach nur das "Kleiner" Zeichen umdrehen oder wie verneint man die Klammer?

Danke für eure Hilfe.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob das nicht inhaltlich dasselbe bedeutet. Ich habe so angefangen:
Es gibt eine natürliche Zahl n, für die die folgende Aussage nicht gilt: ...
 
 
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

a)

b)

Wir formen die Negation aus b) um zu .

Allgemein ist in der Prädikatenlogik die Negation des Allquantors "" der Existenzquantor "" und vom Prädikat "" ist die Negation "". Das kleiner-als-Zeichen wird also nicht einfach nur "umgedreht"!

Dies setzen wir wieder in b) ein und erhalten:

b')

b') ist zwar auch eine wahre Aussage, aber a) und b') (bzw. b)) sind nicht gleich!

Auf welche natürliche Zahl würde denn diese Aussage zutreffen?

Wie könnte man b') natürlichsprachig ausdrücken?

Zitat:
Original vonPnO
Es gibt keine unendlich große natürliche Zahl?


So drückt man das nicht aus! Besser ist "es gibt keine größte Zahl ".
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Oira-Oira
a)


sieht das so nicht schöner und lesbarer aus?

a.)

b.)....
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Zitat:
Original von Roman Oira-Oira
a)


sieht das so nicht schöner und lesbarer aus?

a.)

b.)....


Nein, für mich nicht! Reine Geschmacksache!

Diese Form der Quantoren habe ich zuletzt vor ca. 30 Jahren beim Abi verwendet.

Und überhaupt: Hilft uns das hier inhaltlich weiter?
Ich werde nicht weiter darauf eingehen!
PnO Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe.

Dann habe ich nur noch eine Aufgabe hier. Ich soll mittels Umformungen beweisen:



Mit einer Wahrheitstafel konnte ich das beweisen, aber welche Regeln nutzt man, um das rechnerisch zu beweisen.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst doch bestimmt die Regeln, die in einer Booleschen Algebra gelten? Falls nicht, so empfehle ich dir zunächst diesen Link: Wiki - Boolesche Algebra - Regeln.

Und nun probiere dich mal an der Umformung. Wenn du stecken bleibst,kannst du ja wieder nachfragen.

Hinweis: Genau wie der Arithmetik gibt es hier nicht einen eindeutig richtigen Weg der Umformung. Es gibt verschiedene Wege, die sich in Länge, Eleganz, etc. unterscheiden können. Deshalb kann ich dir auch nicht sagen, welche Regeln du im einzelnen (bzw. als erstes) anwenden sollst.

PS: Warum meldest du dich nicht an? Dann wirst du automatisch per Mail informiert, wenn neue Antworten in deinem Thread angekommen sind.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens: mich würde immer noch interessieren, wie du meine Fragen zur vorhergehenden Aufgabe beantworten würdest:

Zitat:

Auf welche natürliche Zahl würde denn diese Aussage zutreffen?
Wie könnte man b') natürlichsprachig ausdrücken?


Das wäre ein guter Test, um zu sehen, ob du die Aussagen wirklich verstanden hast!
PnO Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Oira-Oira
Auf welche natürliche Zahl würde denn diese Aussage zutreffen?
Wie könnte man b') natürlichsprachig ausdrücken?


Na auf alle natürlichen Zahlen, oder nicht, ist doch eine wahne Aussage.

"Für min. eine nat. Zahl n gibt es min. eine nat. Zahl m, für die gilt: m ist größer gleich n."

Das trifft doch auf alle Zahlen zu. Nehmen wir z.B. n=1, dann gibt es dazu m=1 und m=2...
Ich glaube, ich habs doch noch nicht so ganz kapiert Big Laugh

Bei der anderen Aufgabe komme ich auch nicht gerade mit großer Geschwindigkeit weiter Big Laugh





Diese Negationen stören irgendwie, kannst du mir vielleicht nur mit dem nächsten Schritt helfen, bitte.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PnO
Zitat:
Original von Roman Oira-Oira
Auf welche natürliche Zahl würde denn diese Aussage zutreffen?
Wie könnte man b') natürlichsprachig ausdrücken?


Na auf alle natürlichen Zahlen, oder nicht, ist doch eine wahne Aussage.

"Für min. eine nat. Zahl n gibt es min. eine nat. Zahl m, für die gilt: m ist größer gleich n."

Das trifft doch auf alle Zahlen zu. Nehmen wir z.B. n=1, dann gibt es dazu m=1 und m=2...
Ich glaube, ich habs doch noch nicht so ganz kapiert Big Laugh



Doch, Du hast Recht mit dem, wie Du b') interpretierst!
Ich hatte irrtümlich eine andere Formel im Kopf, als ich dir die o.g. Fragen gestellt habe.

Die Umformung von b) in b') bringt tatsächlich nicht viel, um b) zu interpretieren!

Schauen wir doch mal, was b*) bedeuten könnte, wobei b*) aus b) ohne die Negation entsteht:



b*) natürlichsprachig interpretiert also:

"es gibt eine nat. Zahl n, so daß für alle beliebigen nat. Zahlen m gilt, n ist größer als m"
"n ist größer als alle anderen beliebigen nat. Zahlen m"
"n ist die größte nat. Zahl"
"es gibt eine größte nat. Zahl".

b*) ist natürlich eine falsche Aussage und außerdem die Negation von a) - sieht man einmal davon ab, daß a) hier mit ">" formuliert wurde! a) könnte aber auch mit ">=" formuliert werden.

Beachte aber, daß b) - im Gegensatz zu b*) - nicht die Negation von a) ist.

Nach der Umformung von b) zu b') haben wir schon gesehen, daß b') anscheinend nichts besonderes aussagt. Eben nichts anderes als "es gibt eine nat. Zahl, zu der es eine andere nat. Zahl gibt, die größer als diese ist".

b) direkt natürlichsprachig formuliert bringt auch nichts besonders aufregenderes als: "es gibt eine nat. Zahl n, für die die Aussage, daß sie größer als alle anderen nat. Zahlen ist, falsch ist".

Anders ausgedrückt sagt b) also: "es gibt eine nat. Zahl, die nicht die größte nat. Zahl ist". Toll!

a) sagt aber aus, daß es überhaupt keine größte natürliche Zahl gibt.

Die für die natürlichen Zahlen wesentlichen Aussagen sind hier aber a) bzw. b*).

PS: Antwort zur Umformung der aussagenlogischen Formeln folgt später.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PnO




Diese Negationen stören irgendwie, kannst du mir vielleicht nur mit dem nächsten Schritt helfen, bitte.


So, jetzt können wir hiermit weitermachen! Oder hast du noch Fragen zu der Quantorenaufgabe?

Einen ersten Schritt hast du ja schon gemacht. Nur die Schreibweise ist nicht korrekt. Du willst ja erst beweisen (durch Äquivalenzumformungen), daß die erste Zeile stimmt, daß also gilt:



Das wäre die korrekte Schreibweise - mit dem Äquivalenzzeichen "". Dieses wird benutzt, um eine (Meta-)aussage über gegebene Aussagen zu machen, und bedeutet, daß bei allen Belegungen der Aussagevariablen A und B mit wahr bzw. falsch beide Aussagen immer den gleichen Wert annehmen. Das Gleichheitszeichen hat hier nichts zu suchen!

Du hast dich mit deinem ersten Schritt also entschieden, mit der rechten Aussage zu beginnen, um durch Äquivalenzumformungen die linke Aussage zu erreichen, und hast eine der de Morganschen Regeln angewandt, also:

1.

2.


Als nächstes würde ich vorschlagen, eines der Distributivgesetze anzuwenden.

Also, du bist dran!

Hinweis: Insgesamt kann der komplette Beweis in 4 bis 5 Schritten erledigt werden!

Und benutze bitte auch die Numerierung für die einzelnen Schritte, die ich oben bereits mit 1. und 2. begonnen habe!
PnO Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage zu den Quantoren habe ich noch. Die Aussage:



ergibt ja



ist doch eine wahre Aussage, die besagt: Es gibt min. eine nat. Zahl n für alle nat. Zahlen m, für die gilt, dass m größer gleich n ist. Das bestätigt eigentlich wieder, dass es keine größte natürliche Zahl gibt. Stimmt das?



1.

2.

3.

Eine Menge geschnitten mit dem Komplement ergibt doch eine leere Menge.

4.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PnO
...
3.

Eine Menge geschnitten mit dem Komplement ergibt doch eine leere Menge.

4.


Zunächst: Die Äquivalenzumformung ist korrekt! Eventuell hätte man - wegen der Deutlichkeit - von 2. zu 3. zweimal das Distributivgesetz anwenden können, aber das soll jetzt hier egal sein. Es wird ja alles klar!

Zu deiner Begründung des letzten Schritts: Wenn du jetzt A und B als Mengen und "" bzw. als Mengendurchschnitt bzw. Vereinigung interpretierst, dann hast du Recht.

In der Aussagenlogik wäre das dann, wie es hier gemeint ist, und dies dann verknüpft mit dem Rest der Aussage

Aber wir müssen hier weder über die Mengenalgebra noch über die Aussagenlogik argumentieren. Die Boolesche Algebra, die ja eine algebraische Struktur ist (ein "distributiver, komplementärer Verband"), die alle Systeme dieser Struktur verallgemeinert (Mengenalgebra, Aussagenlogik und vieles mehr), stellt genau diese Regeln axiomatisch auf (siehe auch hier: Boolesche Algebra - Definition).
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PnO
Eine Frage zu den Quantoren habe ich noch. Die Aussage:



ergibt ja



ist doch eine wahre Aussage, die besagt: Es gibt min. eine nat. Zahl n für alle nat. Zahlen m, für die gilt, dass m größer gleich n ist. Das bestätigt eigentlich wieder, dass es keine größte natürliche Zahl gibt. Stimmt das?


Zunächst ein Hinweis, um keine Mißverständnisse aufkommen zulassen! Dir ist doch klar, daß diese Formel bisher in diesem Thread noch nicht vorgekommen ist!?!

Wir hatten eine ähnlich aussehende Formel, wir hatten sie mit b) bezeichnet, bei der die gesamte Teilformel (incl. Allquantor) hinter dem Existenzquantor negiert war.

Bei dieser neuen Formel ist jedoch nur das Prädikat "<" negiert. Diese Formel drückt etwas ganz anderes aus als b).

Deine Umformung zu dem nicht-negierten Prädikat ">=" ist korrekt. Und es stimmt auch, daß die Aussage wahr ist.

Deine Interpretation ist jedoch falsch, obwohl du die Formel natürlichsprachig eigentlich korrekt beschrieben hast. Sie sagtnicht aus, das es keine größte natürliche Zahl gibt, sondern etwas ganz anderes.

Na ja, etwas schief hört sich deine Formulierung vielleicht doch an - ich gebe es mal in meinen Worten wieder. Große Unterschiede gibt es jedoch nicht! Aber versuche, die folgende Beschreibung einmal genau zu verstehen:

"Es gibt eine natürliche Zahl n, für die gilt, daß alle natürlichen Zahlen größer oder gleich dieserZahl sind"

"Es gibt eine natürliche Zahl n, die kleiner oder gleich als alle natürlichen Zahlen ist".

Gib doch mal eine Zahl an, für die das gilt!
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eigentlich einen Grund dafür, daß du nicht registriert / angemeldet bist?
Das würde hier einiges (insbesondere für dich) vereinfachen. Du würdest automatisch per Mail informiert, wenn du neue Antworten bekommst. Wir könnten sehen, ob du überhaupt zur Zeit im Board unterwegs bist. Außerdem ist es nur bei angemeldeten Usern möglich, persönliche Nachrichten auszutauschen.

Gruß Roman
PnO Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Oira-Oira

"Es gibt eine natürliche Zahl n, für die gilt, daß alle natürlichen Zahlen größer oder gleich dieserZahl sind"

"Es gibt eine natürliche Zahl n, die kleiner oder gleich als alle natürlichen Zahlen ist".

Gib doch mal eine Zahl an, für die das gilt!


Zunächst einmal muss ich dir wirklich sehr danken, danke für deine Geduld.
Zu deiner Frage, ich glaube du meinst n=1, oder?

Und zu deiner anderen Frage, ich werde mich demnächst anmelden, nur wie du erkennst bin ich noch etwas im Stress auch wenn eine Anmeldung wohl 3 minuten dauern würde Big Laugh

Nochmals vielen Dank für deine Hilfe!
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PnO
Zu deiner Frage, ich glaube du meinst n=1, oder?


99 von 100 Punkten!

Ich meine natürlich die 0, die ja wohl durchaus eine natürliche Zahl ist, oder?

(An die Schlauköpfe, die jetzt meinen, daß sei Definitionssache: Ist es nicht! 0 ist eine natürliche Zahl! Definitionssache ist höchstens, ob 0 zu gezählt wird oder nicht. Augenzwinkern )
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