Dichte und Verteilungsfunktion zweier Zufallsvariablen

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NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte und Verteilungsfunktion zweier Zufallsvariablen
Meine Frage:
Seien unabhängige Zufallsvariablen gleicher Dichte
.

Seien und .
Was ist nun die Verteilung von (u,v)?

Meine Ideen:
Die Verteilungsfunktion von ist in dem Fall
. Haben also auch die gleiche Verteilungsfunktion?
Wie kann ich den Wert integrieren?
Wie berechnen ich die Verteilungsfunktion von u und v?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Symbolik ist mir nicht ganz vertraut, ich würde eher mit Indikatorfunktion



schreiben. Nun, deren gemeinsame Dichte ist wegen der Unabhängigkeit einfach das Produkt, also

,

was mit deiner Symbolik schon schwer unmissverständlich zu schreiben wäre...


Zur Berechnung der gemeinsamen Dichte von (U,V) bietet sich der Transformationssatz an - ich nehme stark an, dass der kürzlich bei euch behandelt wurde, ansonsten hätte es ja nicht diese Aufgabe gegeben? smile
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Nach einer Formel die ich gefunden habe gilt:

und
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das liefert dir aber nur die Einzelverteilungen von bzw. von . Ich hatte deine Frage oben so verstanden, dass du dich für die gemeinsame Verteilung des Vektors interessierst? Das ist ja etwas mehr Information, denn sind (im Gegensatz zu ) nicht unabhängig!
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, die gemeinsame verteilung von u,v wird dann berechnet mit Hilfe der gemeinsamen Dichtefunktion von u und v. Diese ist mir aber noch unbekannt.
Auch ist mir nicht so klar wie ich mit der Dichtefunktion umgehen soll, d.h. wie ich sie integrieren kann.
Wie sieht dann eine gemeinsame Dichtefunktion aus?
Woran erkenne ich bereits jetzt, dass u und v unabhängig sind?
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, habe deine erste Antwort nicht gelesen...
 
 
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Die gemeinsame Dichte von x_1 und x_2 ist mir klar, danke smile
Doch wie sieht sie aus wenn meine Zufallsvariablen nicht unabhängig sind?

Habe ich später die Verteilungen und
dann kann ich durch zeigen, dass u und v nicht unabhängig sind, oder?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NastyNat
Die gemeinsame Dichte von x_1 und x_2 ist mir klar, danke smile
Doch wie sieht sie aus wenn meine Zufallsvariablen nicht unabhängig sind?

Im Falle fehlender Unabhängigkeit von und brauchst du mehr Informationen über die gemeinsame Verteilung von als nur deren Randverteilungen (also die Einzelverteilungen von und ), um diese Aufgabe bewältigen zu können. Das kann z.B. direkt die Angabe eben jener gemeinsamen Dichte sein, die dann nicht mehr einfach das Produkt der Einzeldichten ist. Selbstverständlich ist es auch möglich, diese Dichte aus anderen Informationen über den Grad der Abhängigkeit zu gewinnen, aber das bloße Attribut "nicht unabhängig" reicht bei weitem nicht aus, das ist nahezu nichtssagend.

Aber eigentlich lenkst du ab: Wie weit bist du mit der Berechnung der Dichte über den Transformationssatz - darum solltest du dich zunächst kümmern, wenn du voran kommen willst!
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine hilfreichen Tipps.
Ich habe nun mit Hilfe des Transformationssatzes (den wir seltsamerweise nicht in der Stochastik-Vorlesung behandelt haben) die gemeinsame Dichte von (U,V) berechnet:

Transformiere:
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Bestimmung der gemeinsamen Verteilung muss ich nun einfach h integrieren?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NastyNat

Das ist leider falsch: Der Teil vor den Indikatorfunktionen stimmt zwar, aber in den Indikatorfunktionen hast du einfach bzw. durch bzw. ersetzt - warum das?

Du musst auch hier streng gemäß deiner Transformations- bzw. Rücktransformationsvorschrift vorgehen, richtig ist also

.

Mit ein wenig Nachdenken hinsichtlich des Trägers dieser Dichte kann man das ganze dann auch mit Indikatorfunktionen bzgl. schreiben:

.

Das ist nun bereits die Dichte der gemeinsamen Verteilung. Ob du nun tatsächlich auch noch die zugehörige Verteilungsfunktion ausrechnen musst, hängt von der genauen Wortwahl der Aufgabenstellung ab. Lautet diese tatsächlich nur wie oben genannt

Zitat:
Original von NastyNat
Was ist nun die Verteilung von (u,v)?

dann ist dem m.E. nach mit der Angabe der Dichte Genüge getan. Aber vielleicht herrschen bei euch da andere Ansichten. Augenzwinkern
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, stimmt, habe ich übersehen.
Zu prüfen wäre noch die Unabhängigkeit von u und v.
Deshalb dachte ich, dass es geschickt ist zu zeigen, dass die gemeinsame verteilung ungleich dem Produkt der Randverteilungen ist.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Einfacher als die Bestimmung der Verteilungsfunktion (da sind nämlich ganz schön viele Fälle zu betrachten) ist die Bestimmung der Randdichten. Denn die stetig verteilten sind genau dann unabhängig, falls für (Lebesgue-)fast alle die Beziehung



gilt. Und wenn man diese Randdichten hier berechnet, sieht man, dass (*) hier nicht gilt.
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