Stetigkeit im topologischen Raum

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Zweitsemester Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit im topologischen Raum
Meine Frage:
Habe diese Woche eine Aufgabenstellung bekommen, die mir echte Probleme macht. Haben letzte Woche mit topologischen Grundlagen angefangen und ich weiß nicht wirklich wie ich die Aufgabe lösen soll.
Aufgabenstellung lautet:

Sei ein topologischer Raum, eine Abbildung.

Zeigen Sie: ist stetig alle sind stetig.

Meine Ideen:
Ich dachte daran über das Epsilon-Delta-Kriterium zu gehen, hab dann aber gemerkt, dass ich ja mit X nur einen topologischen und keinen metrischen Raum habe.
Habe es dann mit der Definition für Stetigkeit in topologischen Räumen versucht (Prosa: Die Urbilder aller offenen Mengen sind wieder offen) da kam ich aber auch nicht weit, da ich ja nicht weiß mit welcher Topologie X versehen ist... Und selbst wenn ich es wüsste hätte ich keine Ahnung wie ich es über diese Definition beweisen soll.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen, wäre super!
Hab das Thema jetzt 4 Stunden gehört, zig neue Definitionen gelernt und weiß jetzt nichts damit anzufangen.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir als erstes mal zwischen welchen Räumen die abbilden.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab mich mal registriert, sonst klappt das mit dem antworten nicht so gut Augenzwinkern

Naja, es sollte so sein, dass

Seh aber noch nicht wie mir das weiterhilft
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß Doppelposts sind unerwünscht, aber editieren kann ich jetzt nicht mehr, mir kam jedoch eine Idee für den Beweis der Hinrichtung, den ich gerne posten würde. Vielleicht passt er, vielleicht kann man ne Idee draus ziehen...



Sei . Identifiziere mit .

Da stetig und gilt: offen.

Ebenfalls gilt jedoch nach Wahl von : offen stetig
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Identifiziere mit

Das Wort identifiziere kenne ich nur in dem Sinne, dass du in deinem Fall eine Bijektion zwischen der Menge aller U und der aller U_n kontruieren willst mittels der du dann jedem U genau ein U_n zuordnen kannst. Da du aber keine solche Abbildung angibst, weiß ich nicht was du meinst.
Dazu kommt ein formaler Fehler. Wenn die aus U sind, dann ist , was im Allgemeinen nicht gleich ist. Deine U_n sind alle leer.

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Da stetig und gilt: offen.

Das ist nur deswegen richtig weil die leere Menge immer offen ist. Falls du mit U_n etwas anderes meintest, musst du erst zeigen, dass U_n offen ist.

Den Rest deines Argumentes verstehe ich nicht. Versuche U_n richtig zu formulieren.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, meinte natürlich , sonst macht das mit dem Urbild keinen Sinn.

Und sollte eigentlich sein, wobei .

Mit identifizieren meinte ich, dass ich eine Menge von Vektoren im finden kann, für die aus U ist. Das Urbild aller dieser Vektoren sollte dann gleich sein... Dachte ich zumindest. Oh und ich merke gerade, dass ich mich auch hier verschrieben hab.

Korrektur: :

Nur dass wir jetzt nicht von verschiedenen Dingen reden: Mit "zeigen, dass U_m offen ist" meinst du, dass ich zeigen muss, dass U_m ein Element der Topologie ist, mit der ich R^m versehe, oder? Oder meinst du ich muss zeigen, dass für jeden Punkt der Teilmenge eine Umgebung existiert, die noch in U_m liegt?
Wenn du mit offen meinst, dass meine Teilmenge in der Topologie auf R^m enthalten sein muss, kann ich dann nicht P(x) (Potenzmenge, falls du eine andere Bezeichnung kennen solltest) als Topologie annehmen? Dann wäre die Frage ob die Teilmenge offen ist schon geklärt. Denn es ist ja nicht wirklich eine Topologie genannt mit der R^m versehen ist.


Sollte ich auf der falschen Fährte sein sag Bescheid Augenzwinkern Bin für jede Idee offen!


Tut mir im Übrigen leid wegen den vielen Tipfehlern. War auf dem Sprung, wollte aber noch die Antwort reinstellen Hammer Werd das nächste mal besser aufpassen!
 
 
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Deine neue Definition von ist nicht sinnvoll, da i als freie Variable auftaucht. Möglich wären:

.

Was ich aber eigentlich mit meinem Hinweis ganz am Anfang erreichen wollte, ist dass du die Definition von Stetigkeit in deine Aufgabenstellung einsetzt.

Zitat:
Nur dass wir jetzt nicht von verschiedenen Dingen reden: Mit "zeigen, dass U_m offen ist" meinst du, dass ich zeigen muss, dass U_m ein Element der Topologie ist, mit der ich R^m versehe, oder? Oder meinst du ich muss zeigen, dass für jeden Punkt der Teilmenge eine Umgebung existiert, die noch in U_m liegt?


Ich meine ersteres. Mit geeigneten Topologien sind die beiden Dinge sogar das selbe.

Zitat:
Wenn du mit offen meinst, dass meine Teilmenge in der Topologie auf R^m enthalten sein muss, kann ich dann nicht P(x) (Potenzmenge, falls du eine andere Bezeichnung kennen solltest) als Topologie annehmen? Dann wäre die Frage ob die Teilmenge offen ist schon geklärt. Denn es ist ja nicht wirklich eine Topologie genannt mit der R^m versehen ist.


Du sollst die gegebene Aussage unabhängig von den Topologien auf X und zeigen.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich wohl nicht erwähnt habe, ich wähle ein fest, ich will ja die Stetigkeit für eine spezielle Funktion zeigen. D.h. das i dass ich dann in der Definition von verwende ist fix und keine freie Variable.

Wie soll ich die Definition von Stetigkeit einsetzen? Und vor allem wo, an welcher Stelle?

Aber wenn ich die Topologien nicht kenne, wie kann ich dann sagen, dass eine Menge offen ist?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie soll ich die Definition von Stetigkeit einsetzen? Und vor allem wo, an welcher Stelle?


" ist stetig alle sind stetig."
Ersetze hier den Begriff stetig durch die Definition von Stetigkeit zwischen topologischen Räumen.

Zitat:
Aber wenn ich die Topologien nicht kenne, wie kann ich dann sagen, dass eine Menge offen ist?


Festzustellen ob eine beliebige Menge offen ist, ist unter diesen Umständen kaum möglich, aber auch gar nicht notwendig. Beim Nachweis von Stetigkeit kann man sich ja einfach eine offene Menge vorgeben und muss dann zeigen, dass das Urbild dieser Menge stetig ist.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn du das meinst. Seh noch nicht wie der Nachweis ohne das klappt.

offen offen offen offen.

Wir haben in der Vorlesung die Eigenschaft, dass eine Teilmenge offen ist nur so definiert, dass die Teilmenge dann ein Element der Topologie ist. Deswegen weiß ich noch nicht wie wir um die genaue Topologie kommen...
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Die generelle Vorgehensweise (am Beispiel der Hinrichtung) ist folgende.
Nimm dir ein offenes und versuche zu zeigen, dass offen ist. Dabei darfst du verwenden, dass offen ist falls U offen ist.

Um die Vorraussetzung anwenden zu können brauchst du Zusammenhang zwischen den Topologien auf und der auf

Ist in deiner Aufgabenstellung außerdem erwähnt welche Topologie auf den Wertebereichen der gegeben ist?

Wenn man nämlich die falschen Topologien nimmt verliert die zu zeigende Aussage ihre Gültigkeit. Wählt man etwa , fasst die Wertebereiche von als die x-, bzw. y-Achse mit den Teilraumtopologien auf, so kann man folgendes konstruieren.
Wähle



f ist unstetig, aber sowohl als auch sind stetig.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vorgehensweise hab ich soweit schon verstanden, mein Problem ist es eben nur, den Zusammenhang zwischen den Topologien auf und der auf herzustellen. Denn ich muss ja zeigen, dass die offene Teilmenge irgendwie mit einer offenen Teilmenge in zusammenhängt und deswegen dann das Urbild von auch offen sein muss.

In der Aufgabenstellung steht nur, was ich hier auch geschrieben habe. Hab es exakt übernommen.
In der Vorlesung hatten wir nur, dass wir den immer mit der Standardtopologie versehen.

Versteh dein Beispiel nicht wirklich. Das Fäng schon bei der Definition von an. Ist eine Menge, die wiederum aus Mengen besteht? Warum taucht in der Definition von der Menge selbst wieder auf?

Und warum gilt nicht mehr ?

Eventuell kann ich das Beispiel einfach vergessen, aber würd es schon gern verstehen...
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich bei der Definition von X verschrieben und das jetzt korrigiert.

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
In der Vorlesung hatten wir nur, dass wir den immer mit der Standardtopologie versehen.

Das ist genau der Zusammenhang wir brauchen.

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Versteh dein Beispiel nicht wirklich. Das Fäng schon bei der Definition von an. Ist eine Menge, die wiederum aus Mengen besteht?
[...]
Und warum gilt nicht mehr ?


Streng genommen können nur Abbildungen zwischen topologischen Räumen stetig sein. Und ein topologischer Raum ist ein Dupel aus einer Menge und einer Topologie über dieser Menge. Da ihr aber scheinbar immer die Standardtopologie auf nehmt, schreibt ihr abkürzend
anstatt
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, jetzt versteh ich die Notation. Ja klar, für einen topologischen Raum braucht man immer eine Topologie neben der Menge.
D.h. du hast in deinem Beispiel mit der Klumpentopologie (so nannten wir das) versehen.

Versteh nur noch nicht ganz warum stetig sind und nicht.

Und ich weiß immer noch nicht, wie ich den Zusammenhang zwischen den Topologien auf und herstelle. Hast du da nen Tip für mich?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu sehen, dass f unstetig ist musst du nur die Definition nachprüfen. Da der Wertebereich nur endlich viele offene Mengen hat, ist das nicht schwer.

Zitat:

Und ich weiß immer noch nicht, wie ich den Zusammenhang zwischen den Topologien auf und herstelle.


Ein Schritt wäre zu zeigen, dass wenn eine Menge offen ist, so sind ihre eindimensionalen Projektionen offen in .
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir grade ein wenig Gedanken gemacht über den Nachweis, dass die Projektionen offener Mengen vom R^m in R wieder offene Mengen liefert und bin z folgendem Ergebnis gekommen:

Sei offen.

Z.Z.: offen.

Sei beliebig. Z.Z.:

Nach Definition von mit

Da offen

Wähle nun , denn in sind u.a. Vektoren enthalten, für die gilt.

Deswegen sind die Projektionen offener Mengen vom in den auch wieder offen.


Hoffe das passt so in etwa. Ganz schon übel wenn man denkt, dass das hier ne Aufgabe auf dem ersten Übungsblatt in diesem Semester ist. Mir scheint es als wollte man uns verscheuchen... Die Aufgabe hat es meiner Meinung nach nämlich ganz schön in sich!
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Anfangen tust du gut, aber den letzen Teil muss man noch etwas zurechtbiegen.

Ich nehme an, dass du meinst, aber ist keine Teilmenge von , deswegen ist das falsch.
(Außerdem haben wir hier nirgendwo eine Vektorraumstruktur. Von Vektoren zu reden ist da eher unsinnig)

Überlege dir einfach wie das Bild eines offenen Balles unter einer Projektion aussieht.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich nehme an, dass du meinst, [...]

Auf welche Stelle beziehst du dich mit deiner Annahme?

Ich hab meine Benennung wohl unglücklich gewählt. Ich meine eigentlich den Kreis in um. Also müsste es heißen .

Ja das mit dem Vektorraum stimmt schon. Neige dazu Dinge falsch zu benennen.
Naja wenn ich einen offenen Ball im in den projeziere sollte eine offene Menge rauskommen.

verwirrt Wenn ich doch z.B. eine offene Kugel im nehme und die auf projeziere, dann bekomm ich ein offenes Intervall, das als "Länge" eigentlich den Durchschnitt des Kreises in haben sollte.

Wenn ich damit total falsch liege oder du was anderes meintest sag Bescheid
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
verwirrt Wenn ich doch z.B. eine offene Kugel im nehme und die auf projeziere, dann bekomm ich ein offenes Intervall, das als "Länge" eigentlich den Durchschnitt des Kreises in haben sollte.


"Ja", das Bild eines offenen Balles ist ein offenes Intervall, dessen Durchmesser dem Durchmesser des Balles entspricht.

Mit dieser Erkenntnis solltest jetzt in der Lage sein, die Rückrichtung deiner Aufgabe zu lösen.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass das wenigstens schon mal stimmt.


Ok, für die Rückrichtung muss ich ja zeigen dass gilt:
offen: offen.

Zeige zunächst: offen offen.

Beweis:

Wähle bel. .

Sei nun .

Da offen und aufgrund der Definition von gilt: offen.

Weiterhin gilt: .

Nach Voraussetzung gilt auch, offen als Schnitt von endlich vielen Mengen offenen Mengen offen.


Hoffe die Ideen sind nicht zu verwirrend. Weiß an der Stelle wo ich von U offen auf U_i offen schließen muss nicht genau wie ich das formal richtig mache... Eventuell passt es schon so wie es dort steht.

Und für die Hinrichtung weiß ich es jetzt noch immer nicht so genau.

Trotzdem schon mal vielen Dank für deine Anstrengungen mir das näher zu bringen!
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, von der Idee her ist das schon okay, die Feinheiten kannste später noch ausarbeiten.

Für die Hinrichtung musst du eigentlich nur den eben beschrittenen Weg geeignet umkehren.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann versuch ich das doch direkt mal:

Für die Hinrichtung muss ich zeigen:

offen: offen.


Zeige zunächst: offen offen.

Wähle

Zu jedem s.d. .

Sei nun , wobei

offen.

Ok, und jetzt komm ich nicht weiter. Wie zeige ich jetzt, dass das Urbild von offen sein muss? Versteh da noch nicht ganz den Zusammenhang zur Stetigkeit von . Denn die Mächtigkeit der Menge sollte doch größer sein, als die von oder täusche ich mich da gewaltig?

Denn was erstere Menge enthält, sind all die Elemente von , deren Bild eine Koordinate in hat, ganz gleich ob die restlichen Koordinaten in den entsprechenden Intervallen liegen.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es mit einem (kleinen Schreibfehler) doch schon bemerkt:
Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Weiterhin gilt: .


Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Denn die Mächtigkeit der Menge sollte doch größer sein, als die von oder täusche ich mich da gewaltig?

Die Tatsache, dass eine Menge eine andere echt enthält impliziert nicht, dass sie mächtiger ist.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh immer noch nicht so ganz auf was du hinaus willst.
Wie kann ich es nutzen, dass das Urbild von U gleich dem Schnitt der Urbilder von U_i ist?

Und wo hab ich nen Schreibfehler? Müsste es beim Schnitt heißen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle für ein beliebig und sonst .

In deiner urspünglichen Version hast du den Index i beim rechten f vergessen.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich dann auch noch gemerkt wo mein Schreibfehler war.

Danke, ich glaub ich hab den Beweis jetzt soweit verstanden. Sowohl Hin- als auch Rückrichtung!
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