Logik / Quantoren

07.05.2011, 17:19

Pascal95

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Logik / Quantoren

Hallo,

ist es richtig, dass aus $\begin{eqnarray*} \forall x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \exists x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ folgt?

Das ist nämlich meine Vermutung.

Belegen könnte ich sie, indem ich definiere: $\begin{eqnarray*} M:= \emptyset \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \forall x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ stets wahr und $\begin{eqnarray*} \exists x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ immer falsch, da solch ein Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das irgendeine Eigenschaft $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erfüllen soll, gar nicht existieren kann.

Vielen Dank und ich hoffe, dass ich mit meiner Vermutung recht habe.

07.05.2011, 17:22

YogSothoth

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RE: Logik / Quantoren
absolut richtig

07.05.2011, 17:25

Pascal95

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Moin,

vielen Dank.

07.05.2011, 21:45

pseudo-nym

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Das ist falsch, aber Glückwunsch du hast erfolgreich das Konzept "Logik für Mathematiker" in die Knie gezwungen.

Das Problem ist, dass du die Allaussage falsch auswertest.
$\begin{eqnarray*} \forall x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \wedge A(x) \end{eqnarray*}$ .

Einen solchen Ausdruck wertet man folgendermaßen aus:
Man wählt sich eine nicht-leere(!) Menge U und nennt sie das Universum (/den Individuenbereich).
Nun nimmt man sich ein $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ und wertet den Ausdruck $\begin{eqnarray*} a \in M \wedge A(a) \end{eqnarray*}$ aus.
Dies tut man für alle a aus U und genau dann wenn die Formeln alle wahr sind sagt man, dass $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \wedge A(x) \end{eqnarray*}$ wahr ist.

In deinem Fall ist nun M leer und somit $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ immer falsch und damit auch der ganze Ausdruck $\begin{eqnarray*} a \in M \wedge A(a) \end{eqnarray*}$ . Da U nicht leer ist, ist somit $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \wedge A(x) \end{eqnarray*}$ falsch.

07.05.2011, 21:57

kiste

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Was ist den das für eine komische Begründung pseudo-nym?
Dann wäre ja jede Aussage der Form $\begin{eqnarray*} \forall x\in M: A(x) \end{eqnarray*}$ falsch, weil man einfach ein größeres Universum als M wählt.

Vielmehr bedeutet $\begin{eqnarray*} \forall x\in M : A(x) \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \Rightarrow A(x) \end{eqnarray*}$

07.05.2011, 22:00

Pascal95

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Das ist jetzt ein interessantes Gepsräch...
Ich werde mich nun ein bisschen raushalten und schauen, was die Mathematik sagen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.05.2011, 22:17

YogSothoth

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Wenn ich die Begründung richtig verstehe würde ja somit auch für eine Menge $\begin{eqnarray*} M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ stets gelten:
$\begin{eqnarray*} \emptyset\not\subseteq M \end{eqnarray*}$ , da für Mengen $\begin{eqnarray*} N,M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N\subseteq M \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass
$\begin{eqnarray*} \forall x\in N: x\in M \end{eqnarray*}$
Nach der Begründung ist dies für die leere Menge nicht erfüllt.
Korrigiere mich bitte wenn ich das falsch sehe

07.05.2011, 22:23

pseudo-nym

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Oh, das war der falsche Junktor. Also nochmal.

$\begin{eqnarray*} \forall x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \rightarrow A(x) \end{eqnarray*}$ .

Einen solchen Ausdruck wertet man folgendermaßen aus:
Man wählt sich eine nicht-leere(!) Menge U und nennt sie das Universum (/den Individuenbereich).
Nun nimmt man sich ein $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ und wertet den Ausdruck $\begin{eqnarray*} a \in M \rightarrow A(a) \end{eqnarray*}$ aus.
Dies tut man für alle a aus U und genau dann wenn die Formeln alle wahr sind sagt man, dass $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \rightarrow A(x) \end{eqnarray*}$ wahr ist.

$\begin{eqnarray*} \exists x \in M: A(x) :\Leftrightarrow \exists x: x \in M \rightarrow A(x) \end{eqnarray*}$ ist genau dann wahr wenn man ein a aus der nichtleeren Menge U finden kann, sodass $\begin{eqnarray*} a \in M \rightarrow A(a) \end{eqnarray*}$ wahr ist. Falls M leer ist, ist dies immer wahr und falls nicht folgt das aus der obigen Beschreibung von $\begin{eqnarray*} \forall x: x \in M \rightarrow A(x) \end{eqnarray*}$ .

07.05.2011, 22:28

Pascal95

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Wenn du mit $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ das meinst, was ich unter $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ verstehe, hatte ich doch recht.

Dann dann gilt ja, dass etwas Falsches $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ etwas Falsches oder Richtiges $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ impliziert. Und das ist immer richtig. (meiner Meinung nach)

Sehe ich das jetzt richtig?

07.05.2011, 22:30

kiste

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Ich hab mir noch überlegt ob ich es gleich erwähne. Dann halt jetzt.
$\begin{eqnarray*} \exists x\in M: A(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists x: x\in M \land A(x) \end{eqnarray*}$ !

07.05.2011, 22:33

Pascal95

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} \exists x\in M: A(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \exists x: x\in M \land A(x) \end{eqnarray*}$

Das ist mir eigentlich klar.
Denn der Existenzquantor gibt ja an, dass etwas existiert und dann die Bedingung $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ...
Oder meintest du das irgendwie anders...

07.05.2011, 22:50

pseudo-nym

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Ah, jetzt sehe ich das Problem. Wo nimmst du denn du die Definitionen her, kiste.
Ich glaube dir nämlich schon, dass die so sind, aber ich kann die nirgendwo in meinen Unterlagen finden.

@Pascal95:
Also mittlerweile möchte ich meinen Einwand zurückziehen. Der beruhte auf der Tatsache, dass aus $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ folgt, dies überträgt sich allerdings nicht auf die Quantoren die du benutzt.

07.05.2011, 22:55

Pascal95

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Hmm , ich bin verwirrt...
Wie meinst du das, pseudo-nym?

verwirrt

Zitat:

Der beruhte auf der Tatsache, dass aus $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ folgt, dies überträgt sich allerdings nicht auf die Quantoren die du benutzt.

verwirrt

07.05.2011, 22:58

kiste

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Wo nimmst du denn du die Definitionen her, kiste.

Gedächtnis leider nur. Hab in meinem Logikbuch gerade nachgeschaut, das spricht diese Problematik jedoch nicht an.

07.05.2011, 23:01

pseudo-nym

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Nun aus $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ , aber aus
$\begin{eqnarray*} \forall x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} \exists x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$

07.05.2011, 23:05

Pascal95

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Sorry, aber das ist mir nicht klar...

Was ist für dich hier $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?
Ist das eine unabhängige Aussage (Tautologie bzw. eine Aussage, die immer falsch ist)?
Dann wäre das einigermaßen klar verwirrt

verwirrt

07.05.2011, 23:08

pseudo-nym

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A ist eine beliebige Formel, also sowas wie $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x + y \leq 0 \end{eqnarray*}$

07.05.2011, 23:11

Pascal95

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Hmm, und was nimmt man hier als Grundmenge an?
$\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ , was für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind denn hier gemeint. Alle? Alle von was?
Das ist mir noch nicht ganz klar, was dann z.B. $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ genau (wo wir gerade so genau sind) bedeutet...

07.05.2011, 23:17

pseudo-nym

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Das ist genau eine der speziellen Betrachtungsweisen der Logik. Um $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ auswerten zu können, muss man (u.a) erst ein Universum wählen.

Nun gilt aber egal in welchem Universum, dass $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ logisch zu $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ führt.

Man sagt dann $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ zur Konsequenz und schreibt. $\begin{eqnarray*} \forall x : A \models \exists x : A \end{eqnarray*}$ . Dies ist dann unabhängig von einem speziellen Universum.

07.05.2011, 23:18

Pascal95

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...und auch unabhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (?)

07.05.2011, 23:19

pseudo-nym

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Kommt darauf an, was du jetzt mit unabhängig meinst.

07.05.2011, 23:20

Pascal95

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Dass es egal ist, wie man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählt und $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ immer gilt.

Weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Denn dann würde man $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ schreiben... (?)

07.05.2011, 23:23

pseudo-nym

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A kann auch x als freie Variable enthalten, wenn es das ist was du meinst.

07.05.2011, 23:25

Pascal95

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Ich meine, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist, die einen Wahrheitswert zurückliefert, der sich nicht ändert, wenn man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ändert.

$\begin{eqnarray*} A(0) = A(1) \end{eqnarray*}$ könnte man auch schreiben, wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ heißen würde...

07.05.2011, 23:42

pseudo-nym

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A ist keine solche Funktion, aber bevor wir uns hier verzetteln:

Wenn du genauer wissen willst, wie man Aussagen präzise formuliert und untersucht, solltest du dir die Logik genauer anschauen.

Für deine urspüngliche Frage gilt allerdings: Tatsächlich folgt aus $\begin{eqnarray*} \forall x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \exists x \in M: A(x) \end{eqnarray*}$ .
Es gibt sehr ähnliche Formeln bei denen das gilt. Deswegen war ich dagegen.

07.05.2011, 23:50

Pascal95

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Ok, danke bis jetzt.

Ist es aber möglich, dass du mir $\begin{eqnarray*} \forall x : A \Rightarrow \exists x:A \end{eqnarray*}$ ein bisschen erklärst?

Du meintest, man müsse dazu erst ein Universum wählen.
Leider finde ich im Zusammenhang Prädikantenlogik / Universum nicht wirklich etwas, das ich verstehe, außer dass ein Universum so etwas wie eine Grundmenge ist.
Kannst du mir dazu vielleicht eine Internetseite / ein Buch empfehlen?

08.05.2011, 17:12

pseudo-nym

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Der Grund warum du mit den Suchbegriffen Universum und Prädikatenlogik nicht so viel findest, ist weil man normalerweise nicht nur ein Universum, sondern gleich eine ganze Interpretation wählt. Von der redet man dann meistens in solch einem Kontext.

Solche Sachen werden in jedem Grundlagenwerk zur Logik behandelt:
Ebbinghaus, Flum, Thomas, Einführung in die mathematische Logik, Darmstadt 1978
van Dalen, Logic and Structure. Berlin 1980
Shoenfield, Mathematical Logic. Reading 1967
Rautenberg, Einführung in die Mathematische Logik, Vieweg 1996
Hinman, Fundamentals Of Mathematical Logic

Sind ein paar solcher Werke. Allerdings würde ich dir empfehlen, dir erst gute Grundlagen vergleichbar zu den Anfängervorlesungen draufzuschaffen, da alle Logikbücher, die ich bisher gesehen habe, diese vorraussetzen.

Was $\begin{eqnarray*} \forall x : A \models \exists x : A \end{eqnarray*}$ angeht, habe ich eigentlich schon alles Interssante gesagt. Egal welches Universum du wählst, aus $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ folgt immer $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ . Somit kann man sagen: $\begin{eqnarray*} \forall x : A \end{eqnarray*}$ hat unabhängig vom Universum $\begin{eqnarray*} \exists x : A \end{eqnarray*}$ zur Folge.

08.05.2011, 21:23

Pascal95

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Ok, danke sehr...
Die Logik finde ich auch sehr interessant und bin glücklich, zu wissen, dass dies in meinem ersten Post angesprochene eben nicht stets gilt.
Richtig ist also:
$\begin{eqnarray*} \forall x \in M:A(x) \not \Rightarrow \exists x\in M: A(x) \end{eqnarray*}$ .

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall x \in M:A(x) \quad \Longleftrightarrow \quad x \in M \Rightarrow A(x) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \exists x\in M: A(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \exists x: x\in M \land A(x) \end{eqnarray*}$
(Das kann man doch so sagen(?))

Das andere hast du mir auch gut näher gebracht.

Danke sehr.

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