explizite darstellung einer Folge

09.12.2006, 11:36

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

explizite darstellung einer Folge

Ich habe rekursi dargestellte Folgen und soll versuchen daraus eine explizite anzugeben.

Ich habs mal versucht aber weiß nicht obs stimmt.

a) $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2+a_n \end{eqnarray*}$

Ich hab für die explizite darstellung raus: $\begin{eqnarray*} a_n=2(n-1)+1 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2*a_n \end{eqnarray*}$

Ich hab für die explizite Darstellung raus: $\begin{eqnarray*} a_n=2^{n-1} \end{eqnarray*}$

c) Bei dieser Aufgabe habe ich irgendwie keinen Ansatz.

$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$

Könntet ihr mir sagen ob die ersten beiden stimmen und für einen Tipp bei c wäre ich auch dankbar.

09.12.2006, 11:49

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

a) und b) sind richtig. Bei c) musst du eigentlich nur die ersten Folgenglieder berechnen, dir wird ziemlich bald etwas auffallen.

09.12.2006, 12:04

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre ja.

$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_2=2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_4=2 \end{eqnarray*}$

Wie gebe ich das bloß als eine explizite Folge an?

09.12.2006, 12:18

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{1}{2}&n\text{ ungerade}\\2&n\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

09.12.2006, 12:28

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß wirklich nicht wie ich darauf kommen soll mir ist klar dass bei n ungerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und bei n gerade $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Aber dies als Folge darzustellen fällt mir schwer, denn es darf ja kein anderes ergebnis außer $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

09.12.2006, 12:30

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt(2)
$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{1}{2}&n\text{ ungerade}\\2&n\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist die Folge.

Anzeige

09.12.2006, 12:30

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich?

Und die ist auch explizit?

Edit: Das ist nämlich ein ziemlich neues Themenbereich für mich.

Edit2: @sqrt2 Könntest du mir das evtl noch mal bestätigen ob das schon die explizite Darstellung war?

09.12.2006, 12:44

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Folgenglieder musst du in dieser Darstellung ausrechnen, wenn du $\begin{eqnarray*} a_{4242} \end{eqnarray*}$ bestimmen möchtest?

09.12.2006, 12:45

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Frage nicht ganz?

Meine Aufgabe ist es nur eine explizite Darstellung aus der rekursiven zu machen

09.12.2006, 12:48

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine explizite Darstellung zeichnet es aus, dass man jedes beliebige Folgenglied direkt berechnen kann, ohne andere finden zu müssen.

09.12.2006, 12:49

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dessen bin ich mir bewusst aber wie soll ich sie denn nun angeben mir fällt da nichts ein.

09.12.2006, 12:50

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's wenn du meine Frage von oben beantwortest?

09.12.2006, 12:51

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich würde mal sagen ich muss 4242 folgenglieder ausrechnen?

Wie gesagt ich bin überhaupt noch nicht vertraut mit diesem thema

09.12.2006, 12:53

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Musti
Ja ich würde mal sagen ich muss 4242 folgenglieder ausrechnen?

Falsch. (Es sei denn natürlich, du musst alle Zahlen bis 4242 abzählen, um festzustellen, ob sie gerade oder ungerade ist...)

09.12.2006, 12:57

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist dann die Antwort?

09.12.2006, 12:59

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Aha-Erlebnis scheint sich bei dir ja so gar nicht einstellen zu wollen...

Eine explizite Darstellung ist eine solche, mit der man jedes Folgenglied direkt berechnen kann. In der Darstellung, die ich dir gegeben habe, kann man jedes Folgenglied direkt berechnen. Also?

09.12.2006, 13:09

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt(2)
$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{1}{2}&n\text{ ungerade}\\2&n\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Also heißt diese Folge, dass ich egal welche ungerade Zahl ich einsetze 1/2 rauskommt und egal welche gerade Zahl ich einsetze 2 rauskommt?

09.12.2006, 13:17

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Das lang ersehnte Aha-Erlebnis! Freude

Freude

09.12.2006, 13:18

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt2

Du wirst es nicht glauben aber ich habe in diesem Moment ein Aha erlebnis. Big Laugh

Big Laugh

Lang lebe die Psychologie Big Laugh

Big Laugh

Jetzt verstehe ich deine explizite Darstellung!

Danke Freude

Freude

09.12.2006, 18:07

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: explizite darstellung einer Folge
So ich müsste da nochmal aus einer rekursiven folge eine explizite angeben.

Und zwar:

$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_2=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir die Folgenglieder so angucke bekomme ich das raus:

$\begin{eqnarray*} a_3=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_4=3 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_5=3 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_6=7 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_7=7 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_8=15 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_9=15 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{10}=31 \end{eqnarray*}$

Nur ich weiß nicht wie ich das als explizite Folge angeben soll?

Kann mir da jemand helfen?

09.12.2006, 18:12

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Was Du da definiert hast (aber irgendwie falsch ausgerechnet) ist die Fibonacci-Folge.

09.12.2006, 18:18

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt richtig wäre

$\begin{eqnarray*} a_3=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_4=2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_5=3 \end{eqnarray*}$ ; a $\begin{eqnarray*} _6=5 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_7=8 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_8=13 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_9=21 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{10}=34 \end{eqnarray*}$

Aber was hat das mit der Fibonacci Folge auf sich, und wie kann ich die explizite Folge bestimmen?

09.12.2006, 18:35

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eine, wie man mit Hilfe der Linearen Algebra darauf käme, wüsste ich jetzt auch, aber da du im Schulmathematik-Forum postest, ist das doch eher weniger etwas für dich.

Was für Verfahren kennst du, um explizite Darstellungen zu finden?

09.12.2006, 18:44

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich befasse mich grade neu mit dem Thema habe ne kleine Einführung zu diesem Thema gelesen und bearbeite grade mal die erste Seite zu diesem Thema im Buch und da steht die Aufgabe.

Deswegen kenn ich sehr wenige Verfahren um explizite Darstellungen zu finden.

09.12.2006, 18:56

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Und zwar welche?

09.12.2006, 19:00

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Hört sich jetzt bestimmt dumm Hammer

Hammer

an aber mein bisheriges Verfahren explizite Folgen zu bestimmen war indem ich mir die Folgenglieder angeguckt habe und daraus eine Beziehung herstellen will diese aber bei der Aufgabe nicht kann.

09.12.2006, 19:10

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja eine legitime Sache... (Theoretisch muss man die Formel dann auch noch beweisen, aber das war bisher ja trivial.)

Schau mal hier, da findest du eine Herleitung mit Darstellung, wie man darauf kommen kann.

09.12.2006, 19:28

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2)

Auf der Seite 6 der Herleitung verstehe ich nicht wie man auf

$\begin{eqnarray*} q_1=\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q_2=\frac{1- \sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

09.12.2006, 19:45

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind gerade die Lösungen von $\begin{eqnarray*} q^2-q-1=0 \end{eqnarray*}$ .

09.12.2006, 19:48

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welcher Formel hat die das denn gelöst?

Mit der p-q-Formel?

Denn ich krieg da was anderes raus wenn ich die p-q-Formel anwende

09.12.2006, 19:53

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann machst du was falsch.

$\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

09.12.2006, 19:55

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt ich hab da was falsch gemacht!

Ok ich guck mir das mal weiter an scheint sehr interessant zu sein!

09.12.2006, 23:16

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2)

Auf Seite 6 verstehe ich nicht wie man auf die resultierenden Gleichungssysteme kommt, so dasss die Randwertbedingungen erfüllt werden?

10.12.2006, 00:55

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, zunächst werden die Bedingungen einfach eingesetzt, aus $\begin{eqnarray*} I(1)=1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass man n auf 1 setzt und die linke Seite ebenfalls auf 1, analog mit $\begin{eqnarray*} I(2)=1 \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichungssysteme haben keine Lösung (das hieße auch, dass es sich wirklich um eine geometrische Folge handelt, was ja nicht der Fall ist).

Was man macht, ist einfach einen neuen Ansatz, man sieht, ob es denn mit Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ funktioniert. (Wenn $\begin{eqnarray*} I_1(n+1)=I_1(n)+I_1(n-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2(n+1)=I_2(n)+I_2(n-1) \end{eqnarray*}$ , dann ist auch (Multiplikation und Addition der Gleichungen) $\begin{eqnarray*} \lambda I_1(n+1)+\mu I_2(n+1)=\lambda I_1(n) + \mu I_2(n)+\lambda I_1(n-1)+\mu I_2(n-1) \end{eqnarray*}$ , das nennt man dann einfach $\begin{eqnarray*} I(n) \end{eqnarray*}$ ). Siehe da -- dann hat das entsprechende Gleichungssystem eine Lösung.

10.12.2006, 11:24

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2)
Ja danke Wink

Wink

nun weiß ich wie man die explizite Darstellung dieser Folge angibt wobei ich finde das es sehr kompliziert war! Big Laugh

Big Laugh

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »