Banachscher Fixpunktsatz

08.05.2011, 15:51

maru

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Banachscher Fixpunktsatz

Meine Frage:
Hi, könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen;

Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]->[a,b] \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare Fuktion.
Zeige: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine strikte kontraktion, wenn
$\begin{eqnarray*} |f'(x)|<1 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in [a,b]. \end{eqnarray*}$ Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion ist, so gilt für die Kontraktionskonstante $\begin{eqnarray*} k:k\leq || f'||_\infty . \end{eqnarray*}$

a)Zeige, dass die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 1/4+1/2sin(x)=x \end{eqnarray*}$ im intervall $\begin{eqnarray*} [0,pi/2] \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung hat. Bestimme die Lösung auf zwei Stellen genau.

b)Zeige, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+3=e^x \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty [ \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung hat. Bestimme die Lösung auf zwei Stellen genau.

Meine Ideen:
zu a) reicht das wenns ich so zeige?

$\begin{eqnarray*} 1/4+1/2sin(x)=x=sin(x)/2+1/4=x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöse. Ich bekomme dann einen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Wert, $\begin{eqnarray*} x=0.4815980.. \end{eqnarray*}$ . Dazu habe ich dann noch eine anschauliche Skizze der man entnehmen kann wo sich die beiden Funktionen schneiden. Da es die einzige Lösung im $\begin{eqnarray*} I:=[0,pi/2] \end{eqnarray*}$ ist, ist diese somit bestimmt.

08.05.2011, 16:02

Airblader

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Und wie hast du das nach x aufgelöst? Das geht mit herkömmlichen Methoden nämlich nicht.

Kleiner Tipp: Ihr nehmt den Fixpunktsatz nicht umsonst durch. Wenn das das Thema ist, dann solltet ihr den auch verwenden. Insbesondere, wenn der erste Teil der Aufgabe einem indirekt noch eine Anleitung gibt, wie man nachweist, dass es eine Kontraktion ist.

air

08.05.2011, 16:28

maru

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soll ich dann so vorgehen?

$\begin{eqnarray*} |f'(x)-|f'(y)|<1 \end{eqnarray*}$

08.05.2011, 16:49

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
also dann fange ich so an;

Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]->[a,b] \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare Fuktion. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine strikte kontraktion, wenn $\begin{eqnarray*} |f'(x)|<1 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in [a,b]. \end{eqnarray*}$ Ich leite $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ab, dann ergibt sich;

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\frac{1}{4} +\frac{sin(x)}{2}-x ) \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(-2x^2+x-2cox(x)). \end{eqnarray*}$

Nun setze ich $\begin{eqnarray*} |f'(x)| \end{eqnarray*}$ in die Bedingung ein:
Kontrahierend bedeutet ja , dass f Lipschitz-stetig mit L<1 ist, also:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in B: \Vert f(x)-f(y) \vert \leq L \cdot \Vert x-y \Vert \end{eqnarray*}$ .

Aber da bin ich mir unsicher, weil ich hier mit nicht Ableitungen zu tun habe, soll ich also die Funktion zu erst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in die Bedingung einsetzen? Oder die Bedingung abändern d.h.

$\begin{eqnarray*} \forall x\in B: \Vert f'(x)-f'(y) \vert \leq L \cdot \Vert x-y \Vert \end{eqnarray*}$ . mit $\begin{eqnarray*} L<1 \end{eqnarray*}$

08.05.2011, 16:55

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
bzw. ich soll ja ableiten also;

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}( \frac{1}{4}+\frac{sin(x)}{2}-x)=\frac{1}{2}(cos(x))-2). \end{eqnarray*}$

08.05.2011, 17:16

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
Dann folgt;
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{2}cos(x)-2| \leq |\frac{1}{2}cos(0)-2| \,\,\,\, \forall x \in [0, \frac{pi}{2}] \Rightarrow L =|\frac{1}{2}cos(0)-2| \end{eqnarray*}$ ,wo $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Kontraktionskonstante ist.

So richtig?

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08.05.2011, 17:28

Airblader

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Dann wäre $\begin{eqnarray*} L = \frac32 > 1 \end{eqnarray*}$ .. etwas schlecht, oder?

Du solltest dir erstmal bewusst werden, um welches Problem es hier geht. Wir suchen die Lösung einer Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ . Was ist bei der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac14 + \frac12\sin x = x \end{eqnarray*}$

also unsere Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?

air

08.05.2011, 17:35

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
ou ja;

es muss doch sein;

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac14 + \frac12\sin x . \end{eqnarray*}$

08.05.2011, 17:37

Airblader

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Ja, genau. Und jetzt kannst du das ableiten und im Betrag versuchen abzuschätzen.

/edit: Der Äquivalenzpfeil ist da übrigens falsch .. so nebenbei.

air

08.05.2011, 17:46

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
also die Ableitung ist;

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\frac{1}{4} +\frac{sin(x)}{2})=\frac{cos(x)}{2}. \end{eqnarray*}$

Ja nun dann ist meine ganze Überlegung falsch, denn ich habe
$\begin{eqnarray*} x:=\frac14 + \frac12\sin x . \end{eqnarray*}$ definiert und daher den Äquivalenzpfeil gesetz.

08.05.2011, 17:49

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
Es tut mir leid muss leider zu Arbeit. $\begin{eqnarray*} :] \end{eqnarray*}$

Danke smile

smile

08.05.2011, 17:53

Airblader

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RE: Banachscher Fixpunktsatz

Zitat:

Original von maru
Ja nun dann ist meine ganze Überlegung falsch, denn ich habe
$\begin{eqnarray*} x:=\frac14 + \frac12\sin x . \end{eqnarray*}$ definiert und daher den Äquivalenzpfeil gesetz.

Keine Ahnung, was du mir da sagen willst ... tut auch nichts zur Sache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac12\cos x \end{eqnarray*}$

Das ist jedenfalls korrekt. Und nun musst du $\begin{eqnarray*} |f'(x)| \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen. Das sollte keine Schwierigkeit darstellen.

air

08.05.2011, 21:11

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
naja ich dachte ich hätte es damit gezeigt; $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{2}cos(x)-2| \leq |\frac{1}{2}cos(0)-2| \,\,\,\, \forall x \in [0, \frac{pi}{2}] \Rightarrow L =|\frac{1}{2}cos(0)-2| \end{eqnarray*}$ ,wo $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Kontraktionskonstante ist.

aber der Wert der rauskommt ist
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}>1. \end{eqnarray*}$ also stimmt es nicht.
Soll ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einen anderen Startwert auswählen oder war die komplete Abschätzung falsch?

08.05.2011, 21:12

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
ah Sekunde die Ableitung steht ja falsch da

08.05.2011, 21:20

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{2}cos(x)| \leq |\frac{1}{2}cos(0)| \,\,\,\, \forall x \in [0, \frac{pi}{2}] \Rightarrow L =|\frac{1}{2}cos(0)| \end{eqnarray*}$ ,wo $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Kontraktionskonstante ist.

Damit bekomme ich für $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ herraus.

Also ist $\begin{eqnarray*} L=\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie überzeugt mich das jetzt nicht verwirrt

verwirrt

08.05.2011, 22:46

Airblader

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Ist doch aber völlig richtig. Jetzt schau dir an, was du noch brauchst um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden (keine Sorge, das Schlimmste haben wir hinter uns) und dann wende ihn an.

air

08.05.2011, 23:15

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
Ok Danke ich mache dann weiter, ich denke ich brauche so langsam einen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Wert um die Lösung zu bestimmen, muss mal schauen wie ich dahin komme. Soll ich da einen Wert aus meinem Intervall nehmen, am besten einen der so zimmlig in der Mitte des Intervalls liegt?

08.05.2011, 23:38

Airblader

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Wieso übergehst du meine Antwort einfach?

Zitat:

Original von Airblader
Jetzt schau dir an, was du noch brauchst um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden

Und danach kannst du die Fixpunktiteration anwenden, welche dir der Satz liefert. Welchen Startpunkt du nimmst ist prinzipiell egal, von jedem Startpunkt aus konvergiert die Folge (wobei dir niemand verbietet schon mit einem ungefähr richtigen Wert zu starten).

air

08.05.2011, 23:51

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
also, wenn das bewiesen ist d.h. eine Kontraktionskonstante $\begin{eqnarray*} k<1 \end{eqnarray*}$ gefunden ist, dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=a. \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 00:04

Airblader

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Nicht ganz. Wie gesagt, es fehlt noch was. Nämlich die Tatsache, dass f tatsächlich wieder in die selbe Menge abbildet. Es muss nämlich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon A \to A \end{eqnarray*}$ sein, wobei bei dir $\begin{eqnarray*} A = \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ ist. Dass dies aber hinhaut sollte dir hoffentlich(!) klar sein.

Jetzt folgt, dass es genau eine Lösung der Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ gibt. Diese kannst du bestimmen, indem du einen Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wählst und dann die Fixpunktiteration durchführst.

air

09.05.2011, 00:34

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
Ja das verstehe ich.

Ok;
Also wähle ich zuerst z.b. ein $\begin{eqnarray*} x_0=1 \in I = \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ ist

wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ meine nichtleere abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.
und berechne $\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$ indem ich einen Startpunkt aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ auswähle s.o. Es folgt also;

$\begin{eqnarray*} x_0=1\in I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=\frac14 + \frac12\sin (1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\frac14 + \frac12\sin (x_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }x_n =\frac14 + \frac12\sin (x_{n-1}) \to \infty . \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Und muss ich noch eine Fehlerabschätzung machen?

09.05.2011, 00:37

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
sorry hab nicht aufgepasst das kann nicht stimmen ich brauche hier einen Grenzwert in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 01:00

maru

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
Also die Amplituden pendeln zwischen;
$\begin{eqnarray*} max\left\{ \frac{1}{4}+\frac{sin(x)}{2} \right\}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi}{2}+2n {\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} min\left\{ \frac{1}{4}+\frac{sin(x)}{2} \right\}=\frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{-\pi}{2}+2n {\pi}. \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

09.05.2011, 07:08

Airblader

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Was machst denn du für komische Überlegungen? Du sollst die Werte einfach ausrechnen. Nicht mehr und nicht weniger. Da brauchts weder (falsche) Grenwzert- noch Amplitudenberechnungen.

air

09.05.2011, 08:35

maru

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Banachscher Fixpunktsatz
ja aber bei mir konvergiert die Funktion nicht, bei mir sind die Werte $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4}. \end{eqnarray*}$
die Extrempunkte, die Funktion konvergiert also im eigentlichen sinne nicht gegen einen einzelen Wert.

Oder mache ich hier was falsch?

10.05.2011, 10:07

Airblader

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Ja. Du sollst nur die Fixpunktiteration ausrechnen. Keine Extremwerte, Grenzwerte oder ähnliche Späße. Die Fixpunktiteration lautet

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f(x_n) \end{eqnarray*}$

mit einem frei wählbarem Startpunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (da wir inzwischen wissen, dass wir den Fixpunktsatz anwenden können und er uns sagt, dass die Wahl des Startpunktes egal ist).

Du musst jetzt nur noch einsetzen, rechnen, einsetzen, rechnen. Das habe ich nun aber schon gesagt. Also bitte lass' den ganzen Käse mit irgendwelchen Extremwerten mal und rechne einfach die Iteration durch. Hier findest du auch die Fehlerabschätzungen, so dass du weißt, wann du abbrechen kannst (du sollst auf zwei Stellen genau rechnen, also auf 1/100).

air

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