Goniometrische Gleichungen

08.05.2011, 18:21

MatheKind

Goniometrische Gleichungen

Hallo,
ich bin leider was Geometrie angeht, nicht besonders fit. Hier eine Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet:

$\begin{eqnarray*} sin(x) + cos(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x) + \sqrt{1-(sin(x))^2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-(sin(x))^2} = 1 - sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-(sin(x))^2 = (sin(x))^2 -2sin(x) + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-u^2 = u^2 -2u + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2u^2 -2u = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2 -u = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2 = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = arcos(1) = 180^{°} \end{eqnarray*}$

Laut Lösung kommt jedoch $\begin{eqnarray*} x_1 = 2k\pi\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{\pi\ }{2} + 2k\pi\ \end{eqnarray*}$ raus. Wie kommt man auf das Ergebnis?

Danke im Voraus!

Liebe Grüße
MatheKind

08.05.2011, 18:53

mowgli92_

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mir ist zuerst einmal aufgefallen:
$\begin{eqnarray*} sin(x) + cos(x) \neq 1 \end{eqnarray*}$ ....

die Formel schaut ein wenig anders aus Augenzwinkern

08.05.2011, 18:54

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} u^2 = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 1 \end{eqnarray*}$

Diese Schlussfolgerung ist nur die halbe Wahrheit, denn wenn du durch u dividierst musst du einen bestimmten Fall noch separat untersuchen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x = arcos(1) = 180^{°} \end{eqnarray*}$

Wie du darauf kommst ist mir vollkommen schleierhaft verwirrt

Du kannst das Ganze übrigens auch viel einfacher haben, indem du die Ausgangsgleichung direkt quadrierst.

08.05.2011, 19:51

MatheKind

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@mowgli92: Das war die vorgegebene Ausgangsgleichung und soll keine Formel darstellen.

Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u^2 = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 1 \end{eqnarray*}$

Diese Schlussfolgerung ist nur die halbe Wahrheit, denn wenn du durch u dividierst musst du einen bestimmten Fall noch separat untersuchen.

Welchen denn? :-)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x = arcos(1) = 180^{°} \end{eqnarray*}$

Wie du darauf kommst ist mir vollkommen schleierhaft verwirrt

Unsere Professorin hat gemeint, dass man am Schluss mit arcos weiter rechnen muss. Ich habe so etwas wirklich noch nie gemacht. In der Schule haben wir das nie gelernt und im letzten Mathematik-Konsolidierungskurs hat uns wie gesagt nur unsere Professorin erklärt, wie man vorgehen soll, hat aber kein komplettes Beispiel geliefert, d. h., dass das für mich wirklich komplettes Neuland ist. Deshalb wäre es nicht schlecht, wenn mir in diesem Fall jemand die Aufgabe vorrechnen könnte.

Zitat:

Du kannst das Ganze übrigens auch viel einfacher haben, indem du die Ausgangsgleichung direkt quadrierst

Wäre nicht schlecht, wenn du mir mal beide Varianten aufzeigst. smile

Liebe Grüße
Mathekind

08.05.2011, 22:07

Bjoern1982

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Betrachte doch lieber u²-u=0 <=> u(u-1)=0 <=> ...
Dann wird vielleicht deutlicher welches die andere Lösung ist.

u=1 ist in der Tat eine Lösung der Gleichung.
Du musst das u aber auch wieder durch sin(x) ersetzen, denn oben hast du ja auch sin(x) durch u ersetzt und nicht cos(x) durch u . Augenzwinkern

Naja und dann betrachte mal die Sinuskurve und mache dir klar wo überall der y-Wert 1 angenommen wird.
Da du an einer Stelle quadriert hast solltest du übrigens auch an die Probe denken.

09.05.2011, 10:39

MatheKind

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Hallo,
ich denke, ich verstehe nun besser:

Am Ende kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} u_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Die Probe besagt nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1 - u^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq u \end{eqnarray*}$

Trifft für beide zu.

Nun nehme ich den Kehrwert von Sinus:

$\begin{eqnarray*} x_1 = sin^{-1}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ --> An dieser Stelle ist der Funktionswert 0.

$\begin{eqnarray*} x_2 = sin^{-1}(1) = \frac{ \pi\ }{2} \end{eqnarray*}$ --> An dieser Stelle ist der Funktionswert 1.

Es gibt aber noch mehrere Stellen an denen der Funktionswert 0 und 1 ist: Nämlich bei $\begin{eqnarray*} x_1 = k \pi\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{ \pi\ }{2} + 2k \pi\ \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , aber wieso steht in der Lösung $\begin{eqnarray*} x_1 = 2k \pi\ \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

An jeder PI-ten Stelle ist der Funktionswert doch 0!

Danke im Voraus für jede Hilfe!
MatheKind

09.05.2011, 10:51

Bjoern1982

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Deine beiden Lösungen für u stimmen.
Jedoch findet die Probe erst später statt und auch nicht mit den u's sondern mit der vor dem Quadrieren stehenden Ausgangsgleichung.

Schau dir vielleicht nochmal die Sinus- und Kosinuskurve an, dann müsste eigentlich deutlich werden warum nur die Vielfachen von 2pi in Frage kommen und nicht jede Nullstelle vom Sinus. Laut der Ausgangsgleichung muss ja die Summe der Funktionswerte vom Sinus und Kosinus 1 ergeben und nicht -1...

09.05.2011, 12:06

MatheKind

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Deine beiden Lösungen für u stimmen.
Jedoch findet die Probe erst später statt und auch nicht mit den u's sondern mit der vor dem Quadrieren stehenden Ausgangsgleichung.

Du meinst:

$\begin{eqnarray*} sin(0) + cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + 0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} sin(1) + cos(1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8414 + 0,5403 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,3817 \neq 1 \end{eqnarray*}$

Dann wäre nur $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ eine Lösung.

Zitat:

Schau dir vielleicht nochmal die Sinus- und Kosinuskurve an, dann müsste eigentlich deutlich werden warum nur die Vielfachen von 2pi in Frage kommen und nicht jede Nullstelle vom Sinus. Laut der Ausgangsgleichung muss ja die Summe der Funktionswerte vom Sinus und Kosinus 1 ergeben und nicht -1...

Verstehe. Die Gleichung ist sowohl für $\begin{eqnarray*} x_1 = 2k\pi\ \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{\pi\ }{2} + 2k\pi\ \end{eqnarray*}$ erfüllt. Das kann ich nun wunderbar ablesen, aber wie kann ich rechnerisch ohne dass ich auf die Graphen gucke, darauf kommen? Ich habe ehrlich gesagt vermutet, dass es nur ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt, da es nur ein gültiges $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ gab.

Liebe Grüße
MatheKind

09.05.2011, 20:52

Bjoern1982

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Nochmal:

u=0 oder u=1 sind die Lösungen für u²-u=0.
Durch Rücksubstituieren erhält man somit sin(x)=0 oder sin(x)=1.
Nun ist die Frage für welche x der Sinus 0 oder 1 wird.
Und mit diesen erhaltenen (unendlich vielen) Lösungen für x ist dann die Probe durchzuführen.
Der Taschenrechner spuckt dir natürlich nur eine Lösung aus, aber die Sinuskurve hat ja eine bestimmte Periode...

09.05.2011, 22:45

MatheKind

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OK, jetzt verstehe ich es endlich, danke! smile

L. G.
Mathekind

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