Lineare Algebra 1 gruppen |
| 08.05.2011, 22:32 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Algebra 1 gruppen Sei G eine Gruppe mit |G| = 4 und sei a element von G mit a² undgleich e. Zeigen sie das G={e,a,a²,a³} ist. Benutzen sie bei ihrer Argumentation ausschließlich die Definition einer Gruppe und keine weiteren Aussagen. Meine Ideen: Ich verstehe hier nicht wirklich wieso G dann unbedingt dieses sein muss. In welche Richtung muss ich nun argumentieren? Das G eine gruppe ist oder woher es kommt das G genau diese Gruppe ergibt?! Wenn G eine gruppe ist muss es ja eine Abbildung einer nichtleeren Menge G geben die dann diese Gruppe ergibt oder? Hab probiert mir diese irgendwie zu basteln komme aber auf nichts... |
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| 08.05.2011, 22:35 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hatten wir letztens schonmal. Schau' doch erstmal in den Thread und melde Dich, wenn's dann Fragen gibt. 
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| 08.05.2011, 22:36 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Algebra 1 gruppen Die Gruppenordung 4 ermöglicht es eine Gruppentafel zu zeichnen. Die Zeile/Spalte mit e füllt sich leicht aus. Mit a müssen auch die Potenzen von a in der Gruppe sein. Spätestens a^4 muss e sein. Mit a² ungleich e gilt entweder a³=e oder a^4=e. Nun spielen die Inversen auch noch eine Rolle und schwups ist die Tafel schon ausgefüllt. |
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| 08.05.2011, 22:48 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So habs mir durchgelesen.. Versteh aber nicht ganz worauf du hinauswillst.. Wenn a² ungleich e seien soll dann kann ich doch kein inverses bilden oder? Die einzige Zahl wo a²o a³ = e das würde dann nur bei -1 gehen. Damit wäre (-1)² + (-1)³ = 0 okay.. aber das stimmt dann für Multiplikation nicht.. da eben -1²* -1³ nicht 1 ergibt.. udn außerdem eben damit a²= e wäre was nicht seien darf. Es muss doch also einen anderen ansatz geben das ganz zu beweisen oder? |
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| 08.05.2011, 22:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Logik entzieht sich mir... Warum darf a²*a²=e nicht gelten... |
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| 08.05.2011, 22:55 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das versteh ich wiederrum nicht 
für welche zahl soll denn a²*a²= 1 sein außer 1? womit dann a²=e was nicht sein darf? Naja egal.. probier das gerade mit der tafel wie du sagst... hab mri eine angeguckt im internet versteh nicht ganz wie das gehen soll... haben das in der uni nie so gemacht.. :-/ sorry wegen der ganzen fragen.. |
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| 08.05.2011, 23:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir rechnen hier mit Buchstaben, nicht mit Zahlen. Aber wenn du es konkreter willst, dann schau dir mal die Restklassengruppe modulo 4 und + an. Das neutrale Element ist da natürlich die 0. |
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| 08.05.2011, 23:06 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das mit der tafel kapier ich auch nicht
Also wenn a² ungleich e ist dann muss doch entweder a oder a³ gleich e sein oder? Mein Problem ist einfach ich weiß nicht was ich argumentieren soll... wenn ich zeige das das G eine Gruppe ist ist es damit doch nicht getan oder? |
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| 08.05.2011, 23:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachte doch mal mit den Gesetzen für Gruppen die Potenzen von a. Spätestens a^4 muss e sein, da |G|=4. Warum ist aber weder a,a²,a³ gleich 3? Das sollst du aus der Vorgabe a² ist nicht e folgern und zwar nur mit den Gruppenaxiomen. Wenn a² nicht e ist, kann a dann e sein? Wenn a, a² nicht e sind, aber a³=e, muss es ja noch ein von e verschiedenes Element b in G geben... Dessen Potenzen liegen aber auch in G. Passt das mit Ordnung 4? Das sind Fragen, die du dir stellen solltest. |
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| 08.05.2011, 23:25 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum muss a^4 dann e sein?! Und wenn ich mir die gruppengesetze für die potenzen von a angucke merke ich das ich eben kein inverses finde.. Und warum sollte a,a²,a³ = 3 sein?! Blicke da irgendwie gar nicht durch.. sorry 
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| 08.05.2011, 23:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OHNE Zahlen bitte. Wir haben eine Gruppe. Also ein eindeutiges neutrales Element e. Wenn a nun aus G ist, aber a² nicht e ist, dann kann a nicht e sein. Wir haben also schon 2 Elemente in der Gruppe: e und a. Mit a liegt auch a² in der Gruppe. Da a² nicht e ist, haben wir ein drittes Element. In G liegen e,a,a². Nun kann da z.B. noch a³ dazukommen. Dann sind es 4 Elemente. Dann muss a4 aber e sein, sonst wären es 5 Elemente. |
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| 08.05.2011, 23:43 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh nicht wieso a^4= e sein muss.. Das wir ein e in der Gruppe haben klar.. Das wenn a² ungleich e ist dann a auch nicht e seien kann okay.. dann haben wir 3 elemente in der Gruppe.. Aber wieso kann da a³ nicht gleich e sein? bzw. wieso sit das in der gruppe? :-/ |
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| 08.05.2011, 23:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lies doch bitte genauer. Ich sagte, spätestens a^4 muss e sein. Und für den Fall a³=e habe ich auch schon was geschrieben. |
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| 08.05.2011, 23:53 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja aber nach welcher Regel gilt das denn?! :-/ Ich hab in meiner Grupppe {e,a,a²,a³} Assoziativität gilt e o a = a o e =a gilt eben auch für alle dann a o b= b o a = e So wenn nun a ungleich e und a² ungleich e und a³= e.. dann müssen doch a das inverse zu a² bzw ungekehrt oder? Weil a o a³ bzw a²o a³ wäre dann ja nur a bzw a² Aber wie kann jetzt bitte a /a² das inverse zu a²/a sein?! |
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| 08.05.2011, 23:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was? Eine Gruppe ist Abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung. Also liegen mit a auch alle Potenzen von a drin. Wenn es nur 4 Elemente in G gibt, können die Potenzen ja nicht alle verschieden sein... |
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| 09.05.2011, 00:02 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
4 Elemente in a?! Was ich nicht versteh ist... wenn a² ungleich e ist dann kann doch a =e sein?! Kannst du mir nicht einfach mal sagen wie du das jetzt begründen würdest und ich probier das nachzuvollziehen?! |
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| 09.05.2011, 00:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In G. Ich habe schon viele Ansätze geliefert und wir geben keine Komplettlösungen. Vielleicht schläfst du mal drüber.
Nein, das kann nicht sein. Denn was ist ist denn e? Das neutrale Element... Und das bedeutet was? e²=e. |
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| 09.05.2011, 00:11 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Muss das morgen abgeben und sitz den halben tag schon daran
Jop aber dann ist e³=e, somit kann doch a³ auch nicht e sein bzw. e^4 müsste doch auch gleich e sein weswegen a^4 auch nicht e sein kann oder?! |
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| 09.05.2011, 00:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Schlussfolgerung ist falsch. |
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| 09.05.2011, 00:19 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil? :P Wenn e²= e dann ist e³ = e²* e = e*e = e² =e laut deiner definition oder? weil das neutrale element ist ja immer 0 oder 1 je nachdem... und egal mit was ich das potenziere es ergibt doch immer 0 oder 1 eben?! |
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| 09.05.2011, 00:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Potenzen von e sind alle e. Damit kann man aber doch nicht generelle Folgerungen für ein von e verschiedenes Element a anstellen. |
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| 09.05.2011, 00:22 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja aber wenn e = a³ ist dann müsste doch a² das inverse zu a bzw umgekehrt sein oder?! und da versteh ich nciht wie das gehen soll eben... |
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| 09.05.2011, 00:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo ist da das Problem? Das kann doch sein. Nur muss es dann eben das besagte Element b noch geben... Und dann passt es nicht mehr. |
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