Sigma(X) berechnen |
| 09.05.2011, 01:15 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Sigma(X) berechnen Hallo miteinander, ich soll sigma(X) berechnen. Die Aufgabenstellung lautet. Es gibt eine Tombola mit 1000Kugeln. 500 davon haben die Ziffer 0, 350 Kugeln die Ziffer 1, 100 Kugeln die Ziffer 2, 45 Kugeln die Ziffer 5, 5 Kugeln die Ziffer 5. Der Einsatz beträgt 10,-? um eine Kugel zu ziehen, die Gewinnausschüttung beträgt den Einsatz*Ziffer. Davon soll ich nun sigma(X) ausrechnen. Meine Ideen: Bisher habe ich E(X) ausgerechnet und folgendes raus: E(X)=10*0,5+0*0,35+(-10)*0,1+(-40)*0,045+(-90)*0,005=1,75 nun kommen wir zu sigma, dafür habe ich: sigma(X)=((50+10+72+40,5)-(1,75))^2 => sigma(X)=(172,5-1,75)^2 => sigma(X)=29155,5625 Das kann doch nicht richtig sein oder? =D |
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| 09.05.2011, 08:48 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich vermute mal, dass es 5 Kugeln die Ziffer 10 heißen soll. Wenn dies so ist, dann hast du den Erwartungswert richtig ausgerechnet. Auch wenn man den Einsatz eher negativ und die Auszahlung positiv ansetzen würde. Aber das ist nur eine Frage des Vorzeichens und damit unerheblich.
Das ist allerdings nicht richtig. Du willst da wohl die VARIANZ V(X) ausrechnen. Und die ist definiert als die gewichtete Summe der Quadrate der Abweichungen vom Erwartungswert. Du musst also ERST die Quadrate der Abweichungen bilden und DANN darfst du summieren! Und daraus ziehst du dann die Wurzel und erhältst sigma. |
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| 09.05.2011, 13:17 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
d.h. 0,5^2+0,35^2+0,1^2+0,045^2+0,005^2 Und daraus dann die wurzel? |
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| 09.05.2011, 13:35 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
das wäre dann: sigma=0,62012 achja. 5 kugeln mit der ziffer 10 sollte es heißen, richtig 
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| 09.05.2011, 14:20 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Huch! Was machst du denn da für einen Käse? 
Also ... wir bilden erst mal die Abweichungen vom Erwartungswert: 10 - 1,75 0 - 1,75 -10 - 1,75 ... Dann bilden wir davon die Quadrate, gewichten die mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit und bilden die Summe. Und das ergibt die Varianz: V(X) = (10 - 1,75)² * 0,5 + (0 - 1,75)² * 0,35 + ... Und daraus ziehst du die Wurzel und - schwups - schon hast du dein sigma berechnet ... |
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| 09.05.2011, 23:08 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ahaa! ^^ ok, jetzt müsste ich es auch geblickt haben. habe mir nochmal die definition von der varianz durchgelesen und deinen lösungsweg. hat gedauert, aber ich glaub ich habe nun auch die definition endlich begriffen =D vielen Dank für die Hilfe. =) Und zu guter letzt, mein Endergebnis: sigma=13,01682 Und wenn das jetzt stimmt bin ich heil froh =] |
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| 10.05.2011, 08:06 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mein Rechner zeigt da an: 13,01681605 Bingo! Alles richtig!
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| 10.05.2011, 14:45 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Super! Vielen Dank nochmal =) Und wenn du jetzt noch die Muße dazu hast mir bei der Varianz(X) von einer anderen Rechenaufgabe kurz zur Seite zu stehen würde ich mich sehr freuen. Folgendes: Ein Spielautomat hat 3 Räder, R1 zeigt eine Ziffer und dreht nur einmal, R2 und R3 haben zeigen zwei Ziffern und können optional vom Spieler nochmal gedreht werden. Die Ziffern sind 1-9, wenn eine Zahl 3 Mal erscheint, wird der Einsatz von 0,10€ mit der Zahl a (bestehend aus drei gleichen) multipliziert und als Gewinn ausgeschüttet. Ich habe für A(X)=0,007128 E(X)=-0,092872 jetzt soll ich hier auch V(X) ausrechnen V(X)=(0,8-E(X))^2*0,01296+(0,7-E(X))^2*0,01296+.....+(0-E(X))^2*0,01296 richtiger ansatz? |
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| 10.05.2011, 17:11 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aua, also das kann ich dir jetzt gar nicht sagen. Weil bei dieser Aufgabe wohl eine ganze Menge Angaben fehlen bzw. Annahmen getroffen werden müssen.
Das Rad R1 hat ein bestimmtes Layout. Sind denn alle Ziffern gleich oft vertreten? Es könnte ja sein, dass die 2 fünfmal vorkommt, die 7 aber nur zweimal! Bei richtigen Spielautomaten treten die Zahlen nämlich alles andere als gleichhäufig auf!
Auch hier ist die Frage nach dem Layout der beiden Räder R2 und R3 zu stellen. Sind alle Ziffern gleichwahrscheinlich? Unter welchen Umständen werden denn die Räder R2 und R3 nochmal gedreht? Ich nehme mal an, dass zunächst R1 stehen bleibt. Dann bleibt R2 stehen. Wenn R1 und R2 die gleiche Zahl zeigen, mache ich nichts. Wenn R1 und R2 verschiedene Zahlen zeigen, dann starte ich R2 nochmal. Dann bleibt R2 endgültig stehen. Danach hält R3 an. Wenn ich keine drei gleichen Zahlen habe starte ich R3 erneut. Danach bleibt R3 endgültig stehen und das Spiel ist zuende. Das ist schon mal eine recht komplexe Vorschrift ...
Das ist die schlimmste Nebenbedingung ... denn die Frage ist doch, ob die beiden gezeigten Zahlen UNABHÄNGIG voneinander sind oder nicht! Vermutlich sind sie das nicht - denn auf dem Rad R2 bzw. R3 sind Zahlen in einer festen Reihenfolge und Häufigkeit aufgebracht. Wenn also etwa in einem Fenster die Zahl 7 erscheint, dann können möglicherweise nur bestimmte Zahlen im anderen Fenster mit einer jeweils spezifischen Wahrscheinlichkeit auftreten. Ohne das Layout der Räder zu kennen, ist es nicht möglich, die Aufgabe zu lösen! Es sei denn, man unterstellt die (wirklichkeitsfremde) Annahme, dass die Zahl im anderen Fenster unabhängig auftritt und alle Zahlen gleichwahrscheinlich sind. Also du siehst: diese Aufgabe ist nicht ganz "koscher". Da solltest du erst mal klären, wie sie gemeint ist, ehe wir hier anfangen zu rechen ... |
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| 10.05.2011, 18:31 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also auf jedem der Räder treten die zahlen 1-10 gleichwahrscheinlich auf. Den Rest hast du richtig gedeutet. Zuerst bleib R1 stehen und zeigt die Zahl a. Dann bleibt R2 stehen. Ist bei R2 eine der beiden Zahlen=a lassen wir das Rad stehen, sonst können wir optional nochmal drehen. Das selbe gilt dann für R3. Der Einsatz beträgt 0,10€. Der Gewinn: a*0,10€ Gewonnen hat man also bei: R1=a, R2=a+(weitere zahl=egal) und R3=a+(weitere zahl=egal). Die Wahrscheinlichkeit das man z.B. p(111) bekommt, ist also: R1=1/10 Für R2 und R3 gibt es vier Möglichkeiten: A: R2 und R3 zeigen beim ersten mal die Zahl 1: Ws(A):=1/5*1/5 B: R2 zeigt beim zweiten drehen R3 beim ersten die Zahl 1: Ws(B)=4/5*1/5*1/5 C: R2 zeigt beim ersten drehen und R3 beim zweiten die Zahl 1: Ws(C)=1/5*4/5*1/5 D: R2 und R3 zeigen beim zweiten drehen die Zahl 1: 4/5*1/5*4/5*1/5 D.h: 1/10*(Ws(A)+Ws(B)+Ws(C)+Ws=(D))=p(111) p(111)=1296/100000 Dann kommt an dieser Stelle noch eine Zwischenaufgabe rein: Ich soll die Verteilung der Zufallsvariablen von X angeben. X=Auszahlungsbetrag bei dem oben genannten Einsatz von 0,10€ Dazu habe ich folgende Lösung: A(X)=M*0,01296*0,1 M=(n+1)*n/2n A(X)=11/2*0,01296*0,1 A(X)=0,007128 Wobei ich hier nicht weiß ob die Wahrscheinlichkeit nicht 0,1296 ist anstatt 0,01296, da es ja egal ist welche Zahl R1 liefert. Jetzt soll E(X) der Zufallsvariablen X und des Reingewinns, der bei diesem Spiel für den Spieler möglich ist berechnet werden. Und gesagt werden ob das Spiel fair ist. Dafür habe ich: E(X)=A(X)-0,1=-0,092872 Da E(X) ist ungleich 0, ist das Spiel nicht fair. Und zu guter letzt soll mal wieder die Varianz ausgerechnet werden. Da hatte ich den Ansatz: V(X)=(0,8-E(X))^2*0,01296+(0,7-E(X))^2*0,01296+...+(0-E(X))^2*0,01296 Das habe ich noch nicht ausgerechnet weil ich hier erstmal wissen möchte ob bis hierhin alles richtig ist. Und hier wäre auch noch die Frage bei mir offen, ob bei V(X) nun wieder 0,01296 genutzt wird, da es um bestimmte Zahlen geht? So, das ist alles was ich dazu bearbeitet habe und müsste auch alle nötigen Informationen erhalten denke ich. Und ich hoffe sehr für dich und mich, dass das jetzt nicht kompletter Humbuk ist =D |
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| 10.05.2011, 21:46 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na, das ist ja eine wuchtige Aufgabe. Und die Annahmen sind nicht gerade wirklichkeitsnah! Aber sei's drum ...
Das ist leider nicht richtig. Weil die Fälle nicht disjunkt sind. Beim Fall D musst du z.B. ausschließen, dass man schon beim ersten Versuch einen Treffer hat! Ich würde die Berechnung anders aufziehen. Am besten berechnet man die Wahrscheinlichkeiten pro Rad: 1. Die Wahrscheinlichkeit mit R1 eine 1 zu erhalten ist 1/10. P(1, R1) = 1/10 2a. Die Wahrscheinlichkeit mit R2 beim 1. Versuch eine 1 zu erhalten ist 1 - (9/10)² (Gegenwahrscheinlichkeit keine 1) In dieser Formel steckt die (unrealistische) Annahme drin, dass die Zahlen, die in den beiden Fenstern angezeigt werden, unabhängig voneinander sind! 2b. Die Wahrscheinlichkeit mit R2 beim 1. Versuch keine aber beim 2. Versuch eine 1 zu erhalten ist (9/10)² * (1 - (9/10)²) Die Summe aus 2a und 2b ist P(1, R2) = ... 3. Und für R3 ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit P(1, R3) = P(1, R2) = ... Die Wahrscheinlichkeit für drei Einsen ist damit P(1,1,1) = P(1, R1) * P(1, R2) * P(1, R3) Na ... und die berechnest du erst mal ... dann sehen wir weiter ...
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| 10.05.2011, 22:18 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
also bei deinem weg bekomme ich als ergebnis: P(111)=0,002368521 für P(1,R2) und P(1,R3) bekomme ich jeweils 0,1539 jetzt stimmt aber hier irgendetwas nicht. was ich eben nicht zur aufgabenstellung geschrieben habe ist: das ich zeigen soll, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Automaten dreimal die 1 zu erhalten, p(111) = 1296/100000 ist. mit meiner Rechnung bin ich darauf gekommen, mit deiner allerdings nicht. was nun? 
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| 11.05.2011, 08:05 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na, das liegt eben daran, dass die Aufgabe nicht ganz koscher ist!
Weil R2 und R3 zwei Fenster haben hast du 1/10 + 1/10 = 1/5 genommen. Darf man Wahrscheinlichkeiten denn so einfach addieren? Ich denke nicht! Ich hab die beiden Fenster als binomalverteilt angenommen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für die eins gleich (1 - (9/10)²). Aber auch diese Annahme ist natürlich durch nichts gerechtfertigt. Also, wenn die Aufgabe so gemeint war, dass p =1/5 genommen werden soll, dann machen wir das halt auch so. Und damit vergiss meine Anmerkungen und nimm die Beispiellösung. Wenn du jetzt die Wahrscheinlichkeit für 3 x 1 kennst, dann kennst du doch auch die Wahrscheinlichkeiten für 3 x 2, 3 x 3 ... 3 x 10. Damit kennst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Und der Rest ist doch nur noch anwenden der Definitionen für Erwartungswert und Standardabweichung ... |
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| 11.05.2011, 11:09 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also ... ich hab noch mal nachgedacht. Die Vorstellung ist, wohl die, dass die Zahlen 1 bis 10 in irgendeiner Reihenfolge auf der Scheibe angebracht sind. Dann kann man die beiden Fenster interpretieren als Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Zahl, etwa der Eins, berechnet sich dann nach der hypergeometrischen Verteilung. Die Berechnung ist immer noch nicht "koscher", denn man beachtet ja nicht, dass die Reihenfolge auf der Scheibe fest vorgegeben ist. Aber so kann man schon argumentieren, dass die Wahrscheinlichkeit 1/5 ist. Also akzeptieren wir mal die Beispiellösung, wenn auch mit einigen Bauchschmerzen ...
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| 11.05.2011, 15:13 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
wieso ohne zurückliegen? theoretisch kann die zahl ja nochmal erscheinen die vorher da war, nur angezeigt mit einer anderen oder so. naja auf jedenfall geht es ja jetzt weiter, was ist denn mit den restlichen schritten die ich gemacht habe? E(X) und V(X) |
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| 11.05.2011, 16:00 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na, ganz einfach. Wir haben gesagt, dass wir die Zahlen von 1 - 10 in irgend einer Reihenfolge auf dem Rad abtragen. Wenn, dann etwa die 1 im ersten Fenster erscheint, dann kann sie ja nicht auch noch im zweiten Fenster erscheinen!
Sehe ich auch so!
Ne, du musst schon mal 0,1 rechnen, weil du ja die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes a wissen willst.
Sehe ich ebenfalls so.
Das kapiere ich jetzt nicht ganz. Wenn die 10 kommt, dann hast du doch einen Gewinn von 10*0,1 -0,1 = 0,9 ... oder gibt es für die 10 keinen Gewinn? Ansonsten ist die Summe richtig! Uff ... was für eine Aufgabe ...
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| 11.05.2011, 20:54 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
richtig mit 0,9. da hast du mich vor einem flüchtigkeitsfehler bewart. ging doch wesentlich schneller als die davor :] Danke bis hier hin,wenn ich noch eine mit der thematik habe schreibe ich die hinterher
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| 12.05.2011, 14:46 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
noch eine teilaufgabe die ich zu lösen habe: es geht um das genueser lotto: es gibt eine liste mit 90 namen, von denen 5 zufällig gezogen werden (und nicht zurückgelegt werden) die dann im rat sitzen. dazu konnte man dann bei einem buchmacher wetten abschließen so dazu habe ich schon einige rechnungen gemacht, und jetzt habe ich nur noch ein großes fragezeichen bei einer teilaufgabe. aufgabe: Wie viele gulden müsste der buchmacher bei einem gewinn beim spiel (ich nenne es mal "C") zahlen, wenn die wette fair sein sollte? Spiel C ist die Wette, mit der Vorhersage von zwei Namen unabhängig der Reihenfolge die unter den 5 gezogenen sind. Die Gewinnausschüttung beträgt das 270 Fache des Einsatzes. p(C)=1/18*4/89=2/801 D.h: der zu erwartende Gewinn und Verlust muss den Wahrscheinlichkeiten entsprechen. (Hab ich im Internet so ähnlich gefunden) Heißt das, der Buchmacher müsste 400,5Gulden auszahlen? Bzw. meine Logik sagt mir, das ich doch im Prinzip gar keinen genauen Betrag nennen kann, da der Einsatz nicht definiert ist. In den Teilaufgaben davor wurde der Einsatz mit einem Gulden festgelegt, in dieser Teilaufgabe wird der Einsatz aber nicht nochmal definiert. Habe ich da irgendwas nicht bedacht? Oder müsste der Buchmacher statt dem 270Fachen des Einsatzes, dass 400,5 Fache des Einsatzes auszahlen? |
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| 12.05.2011, 16:35 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Oh und nochmal einen kleinen Schritt zurück. sorry dafür. Bei der Aufgabe mit dem Automaten und die Rechnung der Varianz. Waren wir bei: V(X)=(0,9-E(X))²*0,01296+...(0-E(X))²*0,01296 muss denn da auch noch (-0,1-E(X))²*0,01296 rein? Sollte es zu keiner Gewinnausschüttung kommen, also wird nicht dreimal die gleiche Zahl gezeigt, dann hat der Spieler ja einen Verlust von -0,10€. Muss das zur Varianz auch noch rein? |
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| 12.05.2011, 17:23 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jau ... recht hast du. In diesen Fällen ist das Ergebnis ja nicht 0. Also muss das auch noch in die Summe aufgenommen werden. |
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| 12.05.2011, 17:42 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
oki, super. und was sagst du zu der aufgabe mit dem genueser lotto? |
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| 12.05.2011, 18:07 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ist gerade vllt etwas unübersichtlich, ich weiß. sorrryyyy ^^ aber wenn ich in V(X) den möglichen verlust von -0,10€ einbringen muss. kann ich den doch nicht mit ((-0,1)-E(X))²*0,01296 definieren oder? da die wahrscheinlichkeit von 0,01296 doch gar nicht stimmt. die ist doch viel höher, dass man nicht 3*a erhält. aber was müsste ich dann eingeben? |
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| 12.05.2011, 19:55 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss natürlich 1 ergeben. Die Wahrscheinlichkeiten für die Treffer kennst du ... also ist die fehlende Wahrscheinlichkeit das Komplement zu 1. |
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| 12.05.2011, 20:28 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
heißt das dann also: ((-0,1)-E(X))^2*0.98704 hinten dran und gut ist? oder muss das E(X) hierfür auch geändert werden? ja sehr schön
wenn du über die andere aufgabe kurz drüber schauen könntest, die ich weiter oben gepostet habe wäre ich dir sehr dankbar. =) |
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| 12.05.2011, 21:52 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das E(X) muss natürlich auch geändert werden! Und dann berechnest du mit diesem E(X) den Wert für V(X) ... |
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| 12.05.2011, 21:57 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ach Bockmist. -.-'
naja, dankeschön
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| 12.05.2011, 23:53 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ist das "andere" E(X)=42,433827? wenn ja, hätte ich für V(X)=139622,7427 heraus. ergibt das irgendeinen Sinn? Oo? |
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| 13.05.2011, 07:09 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wieso wird denn dein E(X) auf einmal so groß? Stell doch mal deine Rechnung ein ... |
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| 13.05.2011, 18:09 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
habe nochmal drüber gerechnet. ich nenne die werte mal A'(X), E'(X) und V'(X) zur unterscheidung von A(X); EX(X);V(X) 100.000-1296=98704 A'(X)=11/2*98704/100.000*0,1 A'(X)=0,542872 E'(X)=A'(X)-0,1 E'(X)=0,442872 V'(X)=(0,9-E(X))^2*0,01296+....+((-0,1)-(-E'(X))^2*0,98704 V'(X)=0,3397769754 so korrekt? auch wenn ich damit vllt etwas penetrant bin. aber hast du auch über die andere aufgabe drüber geschaut? weil das auf dem blatt das ich habe noch mit dazu gehört, und wenn ich die fertig habe, habe ich alles =) |
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| 14.05.2011, 08:30 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Was ist denn das für ein Rumgehampel! Die Wahrscheinlichkeiten sind doch P(1,1,1) = 0,01296 P(2,2,2) = 0,01296 ... P(10,10,10) = 0,01296 Die Wahrscheinlichkeit für keine 3 gleichen Zahlen ist demnach P(nicht gleich) = 1 - 10*0,01296 = 0,87040 Und jetzt rechnest du einfach E(X) = 0,9 * 0,01296 + 0,8 * 0,01296 +.... + 0,0 * 0,01296 + (-0,1) * 0,87040 Zur Kontrolle: E(X) = -0,02872 Altenativ könntest du den Einsatz erst hinterher abziehen: E(X) = 1,0 * 0,01296 + 0,9 * 0,01296 + ... + 0,1 * 0,01296 + 0,0 * 0,87040 - 0,1 = 5,5 * 0,01296 - 0,1 = -0,02872 Und entsprechend berechnest du V(X). Und dann ist die Aufgabe erledigt! |
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| 14.05.2011, 12:44 | Desh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
jetzt habe ich für V(X)=0,0448143232 und natürlich muss ich 0,01296 erst mal 10 nehmen. -.- darauf hätte ich tatsächlich selbst kommen könne/sollen. |
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