Basisvektoren und Basis zu R4

09.05.2011, 12:20

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Basisvektoren und Basis zu R4

Hey ,

Hat einer von euch ne Idee wie ich das hier mache ? :

Welche kanonischen Basisvektoren e1, e2, e3 oder e4 kann man zu den
folgenden Vektoren v1, v2 hinzunehmen, um eine Basis des R4 zu erhalten?
v1 = (1;-4; 1; 3) v2 = (-3; 8; 1; 6)

Gott

09.05.2011, 12:23

Iorek

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Der Gaußalgorithmus liefert hier gute Dienste (sprich: schreib die Vektoren zeilenweise in eine Matrix, Gauß anwenden bis zur (strikten) Zeilenstufenform). Damit lassen sich die nötigen Vektoren bestimmen.

09.05.2011, 12:26

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Zitat:

Original von Iorek
Der Gaußalgorithmus liefert hier gute Dienste (sprich: schreib die Vektoren zeilenweise in eine Matrix, Gauß anwenden bis zur (strikten) Zeilenstufenform). Damit lassen sich die nötigen Vektoren bestimmen.

Hey ,

danke dir , aber welche Vektoren denn genau ? die Basisvektoren oder v1 und v2 ?
unglücklich

09.05.2011, 12:33

Iorek

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Schreiben wir mal die Standardbasisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ zeilenweise in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , würdest du hier Gauß anwenden um die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen?

09.05.2011, 12:36

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Zitat:

Original von Iorek
Schreiben wir mal die Standardbasisvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ zeilenweise in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , würdest du hier Gauß anwenden um die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen?

Ich seh da ehrlich gesagt keine Notwendigkeit zu ... verwirrt

Ich weiß grad nicht worauf du hinaus willst Big Laugh

09.05.2011, 12:38

Iorek

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Du fragst, ob du die gegebenen Vektoren oder die Standardbasisvektoren nehmen und mit Gauß bearbeiten sollst, für die Standardbasisvektoren ist das anscheinend reichlich überflüssig, was solltest du also nehmen?

09.05.2011, 12:41

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v1 und v2 aber darüber hinaus ja noch 2 der Basisvektoren verwirrt

Wie wärs denn wenn ich :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 & 3 \\ -3 & 8 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nehme , dass sieht mir zumindest etwas nach Zeilenstufenform aus ... aber ich hab kA wie es weitergehen soll geschockt

09.05.2011, 12:42

Iorek

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Nein, damit hättest du von vornhereien entschieden, dass du $\begin{eqnarray*} e_3,e_4 \end{eqnarray*}$ hinzufügen musst.

Schreib dir erstmal nur $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ in eine Matrix und bringe diese auf strikte Zeilenstufenform. Anhand der kannst du dann direkt ablesen, welche Standardbasisvektoren du hinzufügen musst.

09.05.2011, 12:49

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Zitat:

Original von Iorek
Nein, damit hättest du von vornhereien entschieden, dass du $\begin{eqnarray*} e_3,e_4 \end{eqnarray*}$ hinzufügen musst.

Schreib dir erstmal nur $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und [l]v_2[/] in eine Matrix und bringe diese auf strikte Zeilenstufenform. Anhand der kannst du dann direkt ablesen, welche Standardbasisvektoren du hinzufügen musst.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1&3 \\ -3 & 8 & 1&6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -12 & 3&9 \\ -3 & 8 & 1&6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -12 & 3&9 \\ 0 & 4 & 4&15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meinst du so ?

09.05.2011, 12:51

Iorek

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Sieht soweit ganz gut aus, jetzt bring die Matrix auf strikte Zeilenstufen form, räum also die obere Zeile noch aus.

09.05.2011, 12:52

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Zitat:

Original von Iorek
Sieht soweit ganz gut aus, jetzt bring die Matrix auf strikte Zeilenstufen form, räum also die obere Zeile noch aus.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1&3 \\ 0 & 4 & 4&15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Lehrer

09.05.2011, 12:54

Iorek

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Das ist noch immer nicht in strikter Zeilenstufenform, die -4 stört noch.

09.05.2011, 12:57

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Zitat:

Original von Iorek
Das ist noch immer nicht in strikter Zeilenstufenform, die -4 stört noch.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1&3 \\ 0 & 4 & 4&15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die untere *2 und dann auf die obere addieren ? dann hab ich doch :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9&33 \\ 0 & 4 & 4&15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich lauf grad iwie gegen ne Wand ...

09.05.2011, 12:58

Iorek

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Warum willst du denn mit 2 multiplizieren und erst dann addieren? verwirrt

09.05.2011, 13:00

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Ich dachte damit da nicht ne 0 steht wär das besser ... aber anscheinend wolltest du gerade darauf hinaus xD :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5&18 \\ 0 & 4 & 4&15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.05.2011, 13:02

Iorek

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Damit es in strikter Zeilenstufenform ist muss da doch sogar die 0 stehen.

Jetzt kannst du ablesen welche Vektoren man hinzufügen kann um eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

09.05.2011, 13:07

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Zitat:

Original von Iorek
Damit es in strikter Zeilenstufenform ist muss da doch sogar die 0 stehen.

Jetzt kannst du ablesen welche Vektoren man hinzufügen kann um eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

In :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5&18 \\ 0 & 4 & 4&15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

würde ich die beiden nehmen ...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5&18 \\ 0 & 4 & 4&15 \\1&0&0&0\\0&1&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich kanns grad echt nicht begründen , unglücklich

...

09.05.2011, 13:13

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In der 1. und 2. Zeile stehen schon 0en an der 1. bzw. 2. Koordinate dann nehm ich also die , wo die 1en auf die 3. und 4. Koordinaten fallen damit die auf jeden Fall linear unabhängig sind

09.05.2011, 13:18

Iorek

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Ganz genau, mit Gauß erhält man aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 18 \\ 0 & 4 & 4 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ offensichtlich die Einheitsmatrix und somit wäre $\begin{eqnarray*} (v_1,v_2,e_3,e_4) \end{eqnarray*}$ eine mögliche Basis.

09.05.2011, 13:21

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hmm ok also bis auf den letzten Schritt kann ich das nachvollziehen , danke dafür ... aber wieso e3&e4 daraus folgen versteh ich nicht ...

Nur wegen der Zeilenstufenform ? verwirrt

09.05.2011, 13:28

Iorek

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Welche Vektoren habe ich denn hinzugefügt?

Wie würdest du allgemein eine Menge von (Spalten- oder Zeilen-)Vektoren behandeln um die Frage noch einer Basis zu klären? Nichts anderes wird hier gemacht.

09.05.2011, 13:32

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Zitat:

Original von Iorek
Welche Vektoren habe ich denn hinzugefügt?

Wie würdest du allgemein eine Menge von (Spalten- oder Zeilen-)Vektoren behandeln um die Frage noch einer Basis zu klären? Nichts anderes wird hier gemacht.

Du hast die hinzugefügt die zu einer Zeilestufenform ergänzen ... heißt dass wenn ich die Zeilen zu einer Stufenform gebracht habe sind die in der Form wie sie da stehen auf jeden Fall linear unabhängig ... darauf willst du hinaus oder ? Forum Kloppe

09.05.2011, 13:33

Iorek

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Ich versteh deine Frage nicht ganz, welche Vektoren sollen linear unabhängig sein?

09.05.2011, 13:36

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Die Vektoren aus der Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5&18 \\ 0 & 4 & 4&15 \\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die sind doch zueinander linear unabhängig , dehalb hab ich doch e3 und e4 genommen oder nicht ? unglücklich

09.05.2011, 13:39

Iorek

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Ja, diese 4 Vektoren sind linear unabhängig (was man mit weiterer Anwendung von Gauß zeigen kann). Grob gesagt: du fügst die Standardbasisvektoren hinzu, wo in der Matrix noch keine Stufe erzeugt ist. Deshalb haben wir die Matrix zuerst auf strikte Zeilenstufenform gebracht und können damit das Ergebnis jetzt einfach ablesen.

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