Dreiecksmatrix

09.12.2006, 16:17

JennyB

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Dreiecksmatrix

Hallo.

Sei $\begin{eqnarray*} A \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ eine obere Dreiecksmatrix mit $\begin{eqnarray*} a_{ii} \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle i=1,....,n.
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ganau dann obere Dreiecksmatrix ist, wenn auch $\begin{eqnarray*} B \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Die eine Richtung, in der ich zeigen muss, dass wenn A und B obere Dreiecksmatrizen sind auch AB eine obere Dreiecksmatrix ist, ist mir klar. Bei der anderen Richtung weiß ich nicht so recht ..... Wär nett wenn ihr mir da mal einen ansatz oder so geben könntet.

Grüße

09.12.2006, 16:21

Dual Space

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RE: Dreiecksmatrix
Bei der anderen Richtung musst du zeigen:

Wenn A und AB obere Dreiecksmatrizen sind, so ist auch B eine solche.

09.12.2006, 16:22

JennyB

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Das ich das bei dieser Richtung zeigen muss, weiß ich.
Ich weiß nur nicht genau wie ich das jetzt zeigen soll.

09.12.2006, 16:41

Dual Space

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RE: Dreiecksmatrix

Zitat:

Original von JennyB
Das ich das bei dieser Richtung zeigen muss, weiß ich.

Das klang aber eben noch ganz anders! verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von JennyB
Die eine Richtung, in der ich zeigen muss, dass wenn A und B obere Dreiecksmatrizen sind auch AB eine obere Dreiecksmatrix ist, ist mir klar. Bei der anderen Richtung weiß ich nicht so recht

09.12.2006, 17:06

JennyB

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Ja.....sorry. hab mich da etwas unklar ausgedrückt.....

Aber wie zeige ich denn jetzt, dass wenn AB und A obere Dreiecksmatrizen sind, auch B eine obere Dreiecksmatrix sein muss?

Wär echt nett, wenn du mir sagen könntest wie ich das beweise.

09.12.2006, 19:58

Mathespezialschüler

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Was kannst du denn über die Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aussagen?

Gruß MSS

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09.12.2006, 21:59

JennyB

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Die Inverse von A ist eine Dreiecksmatrix, aber das haben wir in der Vorlesung nicht so allgemein gezeigt. Weil das Produkt zweier Dreiecksmatrizen wieder eine Dreiecksmatrix ist, müsste dann B auch eine sein.
Ich würde aber gerne eine andere Lösungsmöglichkeit der Aufgabe

09.12.2006, 22:15

Mathespezialschüler

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Zeige einfach: Wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ keine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ auch keine obere Dreiecksmatrix.

Gruß MSS

09.12.2006, 22:29

JennyB

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Aber wie zeigt man das allgemein? Irgendwie hab ich damit ein kleines problem.

09.12.2006, 22:53

Mathespezialschüler

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Naja, wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ keine Dreiecksmatrix ist, gibt es einen Eintrag $\begin{eqnarray*} b_{ij}\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i>j \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ minimal gewählt. Was ist dann der Eintrag der Produktmatrix $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte?

Gruß MSS

09.12.2006, 23:08

JennyB

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Warum muss j minimal gewählt sein? Was genau meinst du damit?

09.12.2006, 23:17

Mathespezialschüler

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Naja, es gibt ja auf jeden Fall einen Eintrag $\begin{eqnarray*} b_{ik}\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i>k \end{eqnarray*}$ . Der liegt in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile. Für dieses feste $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ der Eintrag in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile, der am weitesten links steht und $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist für festes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ einfach:

$\begin{eqnarray*} j=\min\{k\ |\ b_{ik}\neq 0\} \end{eqnarray*}$ ,

also quasi $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ das Minimale dieser $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ 's.

Gruß MSS

09.12.2006, 23:38

JennyB

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aber WARUM muss man annehmen, dass j minimal ist. reicht es nicht wenn es ein $\begin{eqnarray*} b_{ij} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt für i>j?

09.12.2006, 23:40

Mathespezialschüler

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Man muss es nicht annehmen. Man kann es aber annehmen, weil der Beweis dadurch einfacher wird.

Gruß MSS

09.12.2006, 23:57

JennyB

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okay, sei also i fest und j minimal, damit ist j ja auch fest.
Für den Eintrag in der l-ten Zeile und j-ten Spalte der Produktmatrix müsste dann $\begin{eqnarray*} a_{ki}b_{ij} \neq 0 \end{eqnarray*}$ in der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{l=1}^n~a_{kl}b_{lj} \end{eqnarray*}$ sein, allerdings nur wenn $\begin{eqnarray*} a_{ki} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , aber woher weiß man das denn ...... in einer oberen Dreiecksmatrix müssen doch die Einträge rechts von der Diagonale nicht unbeding 0 sein.

10.12.2006, 00:38

Mathespezialschüler

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Sorry, ich hab mich vertan. So, wie wir $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ jetzt gewählt haben, würde es helfen, wenn es um $\begin{eqnarray*} BA \end{eqnarray*}$ ginge. Wir wollen ja aber eine Aussage über $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ .
Also wählen wir bei $\begin{eqnarray*} b_{ij}\neq 0 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ minimal, sondern $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ maximal. Wie gesagt, muss auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} i>j \end{eqnarray*}$ sein. Wir gucken uns bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mal jeweils nur die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Zeile bzw. $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Spalte an:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{ii} & a_{i(i+1)} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \cdots & b_{1j} & \cdots \\ \ddots & \vdots & \ddots \\ \cdots & b_{(i-1)j} & \cdots \\ \cdots & b_{ij} & \cdots \\ \cdots & 0 & \cdots \\ \ddots & \vdots & \ddots \\ \cdots & 0 & \cdots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Was ist dann der Eintrag der Produktmatrix in der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte?

Gruß MSS

10.12.2006, 00:45

JennyB

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okay. alles klar. danke dir sehr. hab's jetzt kapiert.

10.12.2006, 00:57

Mathespezialschüler

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Wunderbar. smile

smile

Für alle, die es nicht auf Anhieb sehen: Der Eintrag ist dann

$\begin{eqnarray*} 0\cdot b_{1j}+0\cdot b_{2j}+\ldots+0\cdot b_{(i-1)j}+a_{ii}\cdot b_{ij}+a_{i(i+1)}\cdot 0+\ldots+a_{in}\cdot 0=a_{ii}b_{ij}\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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