-cos2x = sin4x

09.05.2011, 16:28

Drik

-cos2x = sin4x

ich gehe so vor, dass ich sage cosu = cosv

dabei betrachte ich den einheitskreis und möchte den einen winkel dann so umwandeln dass ich so etwas schreiben kann, jedoch fehlt mir die passende erklärung für den einheiotskreis.

ich möchte sozusagen die sin4x als cos ausdrücken, glaube ich =)

dann habe ich
v = u-+ pi/2 + pi + 2npi

ich hab ja den winkel u, welcher -cos2x ist im 3. quadranten. den drehe ich dann um pi/2 damit er zu sin würde, jedoch fehtl da dann doch noch was.

blicke nicht ganz durch, möchte es auch auf jeden fall mit diesem wegberechnen.

vielen dank im vorraus

Lg

09.05.2011, 16:37

René Gruber

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Zitat:

Original von Drik
ich möchte sozusagen die sin4x als cos ausdrücken, glaube ich =)

Es ist $\begin{eqnarray*} \sin(t) = \cos\left( t-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left( t+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ für alle reellen (und sogar auch komplexen) $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , speziell also auch für $\begin{eqnarray*} t=4x \end{eqnarray*}$

Die zweite Darstellung scheint hier noch etwas passender, denn dann kannst du dich über das aus deiner Gleichung $\begin{eqnarray*} -\cos(2x) = \sin(4x) \end{eqnarray*}$ entstehende

$\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \cos\left( 4x+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

direkt zur Lösung vorarbeiten.

Zitat:

Original von Drik
ich gehe so vor, dass ich sage cosu = cosv [...]

dann habe ich
v = u-+ pi/2 + pi + 2npi

Da ist einiges schiefgegangen: Aus $\begin{eqnarray*} \cos(u)=\cos(v) \end{eqnarray*}$ folgt, dass es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} u = v + 2n\pi \quad\textbf{oder (!)}\quad u = -v + 2n\pi \end{eqnarray*}$ .

Darauf solltest du aufbauen.

09.05.2011, 19:58

Drik

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also ich habe insgesamt

4x = pi +- 2x + pi/2 + 2npi

-cos = pi + x
dann die drehung einbauen ( pi/2 ) damit der cosinuswert auch denselben sinuswert annimt. und dann wäre es das doch?

10.05.2011, 09:31

René Gruber

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Zitat:

Original von Drik
also ich habe insgesamt

4x = pi +- 2x + pi/2 + 2npi

Ja, das entspricht ja der von mir im letzten Beitrag geschriebenen Gleichung $\begin{eqnarray*} u=\pm v + 2n'\pi \end{eqnarray*}$ , wenn man das für $\begin{eqnarray*} u=4x+\frac{\pi}{2},v=2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n'=n+1 \end{eqnarray*}$ nutzt.

Was nun aber das hier

Zitat:

Original von Drik
-cos = pi + x

bedeuten soll, das verstehe wer will. unglücklich

Es geht doch im folgenden lediglich noch darum, die (wegen des +-) beiden Fälle von

Zitat:

Original von Drik
4x = pi +- 2x + pi/2 + 2npi

nach x aufzulösen, was dann zu zwei Lösungsscharen führt!

11.05.2011, 16:12

Drik

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na ein winkel der -cos ist, liegt doch im dritten quadranten. folglich muss der -cos2x = pi+2x sein. ich gehe immer nach dem einheitskreis.

also sind -cos2x zwischen 180 und 270°

also kann ich doch pi + 2x nehmen. ich guck mir denis nochmal genau an.
alles habe ioch da nicht verstanden. vllt weil es einfach anders ist. denke mein ansatz ist auch bzw lösung ist auch richtig =)

ich denke es ist so, dass du einfach den sin - pi/2 rechnest und ich vom cosinus ausgehe.
deswegen wird am ende dasselbe rauskommen. für x

ich hätte es also so:

4x = pi + 2x -+ pi/2 +2npi -2x
2x = pi+- pi + 2npi /2

x=pi/2 +- pi/4 + npi

11.05.2011, 16:36

René Gruber

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Ich bitte dich darum, doch bei deinen Gleichungen genau drauf zu achten, was du da schreibst: Sowas wie

Zitat:

Original von Drik
-cos2x = pi+2x

ist schlicht und einfach Unsinn im Zusammenhang zur hier debattierten Gleichung. unglücklich

Zitat:

Original von Drik
denke mein ansatz ist auch bzw lösung ist auch richtig =)

Na ist ja schön, wenn du alles schon so genau weißt - wozu hast du dann eigentlich hier im Board gefragt?.

Aber eine Frage zum Schluss:

Wo taucht in deiner letztendlichen Lösung z.B. der Lösungswert $\begin{eqnarray*} x = -\frac{\pi}{12} \end{eqnarray*}$ auf? Oder $\begin{eqnarray*} x = \frac{7\pi}{12} \end{eqnarray*}$ ?

12.05.2011, 08:54

Drik

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ja das tacuht nirgends auf denke ich.

habs gepostet weil ich vermutungen habe =) soll auch nicht klugscheißerisch klingen. wollte nur meine ideen angeben und hoffen, dass sie richtig sind oder.

da muss ich z.B. direkt fragen warum stimmt das denn nicht?

-cos würde doch im dritten quadranten liegen oder?
andereseits wenn ich den winkel cosx=p/3 habe ist die spiegelung ja -pi/3, was dann im 4.quadranten liegen würde und somit 2pi - x

auf die pi/12 kommst du wenn du nach sinus umformst???

12.05.2011, 09:01

Drik

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[quote]Original von René Gruber

$\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \cos\left( 4x+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

muss es nicht anders da stehen?

wir haben ja nicht cos2x sondern -cos2x. tu mich etwas schwer mit der aufgabe muss ich ehrlich zugeben. am besten wäre hier eine erklärung mit einheitskreis aber das können wir ja leider nicht macehn ^^

des wegen würde ich auch eher sagen ist es

4x = +-2x + pi/2 + 2npi

alerdings habe ich die lösung und da wird es mit

4x = pi +- 2x + pi/2 + 2npi gemacht.

12.05.2011, 09:35

René Gruber

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Zitat:

Original von Drik
-cos würde doch im dritten quadranten liegen oder?

Anscheinend folgerst du aus dem bloßen Auftauchen des Terms $\begin{eqnarray*} -\cos(2x) \end{eqnarray*}$ , dass das zugehörige Argument im dritten Quadranten liegen soll. Das ist völlig abwegig, das bloße Betrachten dieses Terms sagt gar nichts über die Lage von $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ aus. unglücklich

Zitat:

Original von Drik

Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \cos\left( 4x+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

muss es nicht anders da stehen?

wir haben ja nicht cos2x sondern -cos2x. tu mich etwas schwer mit der aufgabe

Ja, allerdings, und du liest dir auch überhaupt nicht durch, was ich geschrieben habe - es ist, als würde man gegen eine Wand reden. Was habe ich oben erklärt:

Zitat:

Original von René Gruber
Es ist $\begin{eqnarray*} \sin(t) = \cos\left( t-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left( t+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ für alle reellen (und sogar auch komplexen) $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , speziell also auch für $\begin{eqnarray*} t=4x \end{eqnarray*}$

Das bedeutet

$\begin{eqnarray*} \sin(4x) = -\cos\left( 4x+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ,

und wenn man das in die rechte Seite der zu lösenden Gleichung $\begin{eqnarray*} -\cos(2x) = \sin(4x) \end{eqnarray*}$ einsetzt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} -\cos(2x) = -\cos\left( 4x+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ,

das ganze kann man nun noch mit (-1) multiplizieren und erhält die genannte Gleichung.

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