Zufallsvariablen, Verteilungen

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen, Verteilungen
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe zum Thema "Zufallsvariablen und Verteilungen", die ich gerne nach und nach lösen möchte.

Es seien reelle Zufallsvariablen auf einem Ereignisraum . X habe die Verteilungsfunktion F. Zeigen Sie:

(1) ist eine Zufallsvariable.
(2) Wenn eine stetige Funktion ist, so ist Verknüpfung eine reelle Zufallsvariable.

(3) für sind Zufallsvariablen.

(4) sind Zufallsvariablen.
(5) und sind Zufallsvariablen.

(6) und

(7) Es seien mit . Die Verteilungsfunktion von ist .

(8) Wie lautet die Verteilungsfunktion von und ?

Meine Ideen:
Zu (1):

Nach Voraussetzung sind ja X und Y reelle Zufallsvariablen.
Das heißt, es gilt für

, dass für .

Ebenso gilt für , dass für .

Benötige ich jetzt das Konzept einer Produkt-sigma-Algebra?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einigen der Teilaufgaben spielt das gewiss eine Rolle.

Insgesamt kann man einschätzen, dass es in (1)-(6) um inhaltlich eher langweilige, aber trotzdem irgendwie quälend technische Beweise rund um Messbarkeit von Funktionen und deren Verknüpfungen geht. Da kommt es nun ganz darauf an, auf welchen Fundus von Aussagen aus der Maßtheorie du hierbei zurückgreifen darfst.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht das bei (1) aus?

Ich muss da ja zeigen, dass liegt, wobei .

Woher weiß ich denn, wie und aussehen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gar nicht wichtig, wie die aussehen. Entscheidend ist eher die Eigenschaft .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Abbildung so zu verstehen:

?

Dann wäre mir klar, warum die messbaren Mengen (in ) meßbare Urbilder haben: Weil ja die Komponenten des Produkts jeweils meßbar sind, da X und Y Zufallsvariablen sind.


Schonmal zu (2):

Zu zeigen ist doch, dass das Urbild einer Menge meßbar ist, also in liegt.

Also

Meiner Meinung nach trifft das zu:

Sei , z.B. ein abgeschlossenes Intervall I. Da eine stetige Funktion ist, ist auch abgeschlossen.

Dieses abgeschlossene Intervall J muss ja nun von nach abgebildet werde, denn da X nach Voraussetzung Zufallsvariable ist, muss ja andersherum zwangsläufig gelten:

, also .

[Das hatten wir als das sog. Messbarkeitskriterium: Dass es ausreicht, wenn man einen Erzeuger (hier für die Menge der abgeschlossenen Intervalle) hat und dann zeigt, dass die Urbilder aller Elemente aus diesem Erzeuger in liegen.]

Ist das so korrekt?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ist die Abbildung so zu verstehen:

?

Ja sicher.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann ist (1) für mich abgehakt.

Zu (2) habe ich im letzten Beitrag noch meine Idee angefügt.
Ich hoffe, sie ist okay.


Und dann habe ich nochmal eine Frage zu (4):

Wie soll man denn zeigen, dass X+Y eine Zufallsvariable ist?

.

Wenn ich jetzt als die Menge aller linksseitig halboffenen Intervalle nehme, gilt dann nicht, da X und Y Zufallsvariablen sind:





Und ist dann nicht:




Wäre das nicht ein Beweis, dass X+Y eine Zufallsvariable ist?

Ich weiß es nicht, ich habe einfach mal mit dem Messbarkeitskriterium (Erzeuger nehmen statt die ganze Bore-sigma-Algebra nehmen) rumprobiert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal allgemeiner:

Im Grunde kann man doch für fast alle Teilaufgaben folgenden Satz verwenden (was ich bei (2) und (4) schon versucht habe):

Eine Abbildung ist genau dann Zufallsvariable, wenn

, wobei und und man für auch einen anderen Erzeuger der Borel - - Algebra nehmen kann.


Das bedeutet zum Beispiel für :

.

[Also einfach die Wurzel gezogen auf beiden Seiten.]


Deswegen ist eine Zufallsvariable.

Ist das so in Ordnung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann nicht jemand bitte sagen, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin?

[Bisher habe ich oben (a),(b), und versucht. Wäre nett, wenn ich dazu ein Feedback bekäme.]

Nun mal:



In abgekürzter Schreibweise für die Urbilder:



Also ich meine damit für die erste Menge: und für die zweite .
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010

Das bedeutet zum Beispiel für :

.

Deswegen ist eine Zufallsvariable.


Hallo, zunächst mal was kennst du denn für rechengesetze für messbare Funktionen? Also beispielsweise ist ja das Produkt messbarer Funktionen die Verkettung usw. wieder messbar. Oder ist das Unbekannt?

Also so wie du das oben hingeschrieben hast ist das nicht ganz richtig:



Aber da X ZV ist das dann auch aus der entsprechenden sigma Algebra.

Zu deiner zweiten Frage: Schau dir wie oben die Urbilder an:



erstere Menge ist nach Vorraussetzung in der sigma Algebra und letztere Menge ist entweder Omega oder die leere Menge, also auch in der Sigma Algebra.

Schöne Grüße

Edit: Sorry ich dachte geistesabwesend, dass X^+ das minimum ist. Aber so hast du dann einfach nur den Schnitt statt Vereinigung. Das heißt die Idee von dir passt, bis auf das V. Schau dir da mal an was ich geschrieben habe.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zündholz

Hallo, zunächst mal was kennst du denn für rechengesetze für messbare Funktionen? Also beispielsweise ist ja das Produkt messbarer Funktionen die Verkettung usw. wieder messbar. Oder ist das Unbekannt?


Dass die Verkettung meßbarer Funktionen wieder eine meßbare Funktion liefert, ist bekannt.

Bedeutet das nun, dass man wie folgt argumentieren kann:

, wobei h stetig ist, erfüllt ja für zum Beispiel abgeschlossene Intervalle Folgendes (aufgrund der Stetigkeit):

, da das Urbild wieder abgeschlossenes Intervall in ist und also in liegt.

Die Frage ist halt nur, auf welche sigma-Algebra man sich hier beziehen soll.

Das bedeutet, h ist meßbar.
X ist ohnehin meßbar.

Dann ist auch meßbar, also Zufallsvariable.

Ist das in Ordnung?


Zitat:
Original von Zündholz



Aber da X ZV ist das dann auch aus der entsprechenden sigma Algebra.


Das ist mir nicht klar.

Muss es nicht stattdessen heißen:



[Menge der halboffenen Intervalle als Erzeuger gewählt.]

Oder:

?

[Menge der abgschlossenen Intervalle als Erzeuger gewählt.]


Edit:

Ich nehme meinen Einwand bzw. Vorschlag zurück.

Ich hatte es mir nicht richtig überlegt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht es aus mit dem Rest?

Hier meine Ideen: Bitte gebt mir eine Reaktion.

I.

, da X reelle Zufallsvariable ist.

II.

, denn erstens ist Zufallsvariable nach (3.) und zweitens ist , wobei .

(analog für X-Y)

III.



Daraus folgt mit Hilfe von (c),(d) (Addition von Zufallsvariablen, Quadrieren von Zufallsvariablen und Multiplikation einer Zufallsvariable mit einer reelllen Konstanten), dass XY Zufallsvariable ist.

IV.



dazu
Zu zeigen: sind Zufallsvariablen:

und







Und analog für

Aus allem folgt, dass .

V.



sind stetige Funktionen

Reicht das also Begründung?

Bis hierhin erstmal-


Edit

Zu (7):

So?



Zu (8):

Verteilungsfunktion für :



Verteilungsfunktion für :



ist ja nun mindestens 0.
Darum würde ich sagen: , falls .

Für bin ich mir jetzt nicht so sicher. verwirrt
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
Zur steigen funktion: Wenn nichts dasteht ist meines Wissens immer die Borelsigma algebra gemeint, also passt das.

Zu Y:= |X|: Es wäre



Das ist die leere Mege für a kleiner 0 und X^-1 ([0,a]) sonst.

II Hab ich nur überflogen aber so müsste es prinzipiell gehen.

III Ist sehr klug gelöst Freude

IV Auch nur überflogen, aber ich denke wieder PRinzip ist richtig.

V Diese Abbildung ist nicht stetig. Aber da kannste dir ganz einfach wieder das URbild ansehen. Das denke ich müsste recht schnell gehen. Bzw. schöner ist: Y konstant c ist messbar. Verwende dann das was du schon gezeigt hast.

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei V. dann einfach:

Y=c=const ist meßbar.
X ist ohnehin meßbar.

Das Produkt bzw. die Summe meßbarer Funktionen ist wieder meßbar.

Daraus folgt die Behauptung.


??
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich muss nochmal etwas nachfragen.

Und zwar: Was ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable

?

Meine Idee:



Kommt da heraus:

, falls

, falls

?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010

Für das letzte = gibt es keinen Grund, es ist auch falsch.

Mache einfach basierend auf dem letzten richtigen Term eine Fallunterscheidung hinsichtlich des Funktionsarguments (NICHT bzgl. !!!):

1)

2)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist hier das das Ausschlaggebende?

1)

Das bedeutet doch, dass nicht beide Aussagen, die durch das "verbunden sind, zutreffen und deswegen Wahrscheinlichkeit 0?


2)

und kommen beide hin.

Der linke Teil ist doch aber im rechten "enthalten", sodass man herausbekommt
, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
1)

Das bedeutet doch, dass nicht beide Aussagen, die durch das "verbunden sind, zutreffen und deswegen Wahrscheinlichkeit 0?

Korrekt: Der erste Teil der logischen UND-Verknüpfung ist stets falsch, also die gesamte Aussage auch.


Zitat:
Original von Dennis2010
2)

und kommen beide hin.

Der linke Teil ist doch aber im rechten "enthalten", sodass man herausbekommt
, oder?

Die Rechnung ist richtig, aber die mündliche Begründung "Der linke Teil ist doch aber im rechten enthalten" unzutreffend: Es ist so, dass der logischen UND-Verknüpfung hier nun stets (d.h. für alle ) richtig ist und damit als Bestandteil der UND-Verknüpfung weggelassen werden kann. Was du in der Rechnung ja dann auch getan hast. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Allerbesten Dank!
Wink
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