lineare unabhängige menge abhängig machen

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09.12.2006, 18:01	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare unabhängige menge abhängig machen Hallöchen, also, ich muss folgende AUfgabe bearbeiten: Es seien V ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ - Vektorraum und $\begin{eqnarray} \{v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subseteq V \end{eqnarray}$ eine linear unabhängige Menge. BEstimmen sie alle $\begin{eqnarray} d \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , so dass die Menge $\begin{eqnarray} \{v_1 + 3v_3 - 2v_4 , v_1 - v_2 + v_3 , 2v_2 + dv_3 - v_4 , v_1 - v_2 + v_4\} \end{eqnarray}$ lineare abhängig ist. So, also, mein folgender Wissenstand ist folgender: ich weiß so einigermaßen, wie man herausbekommt, was linear unabhängig bz. abhängig ist. (ich bin in der rechnung zwar noch nicht 100% sicher. aber ich bin da auf keinen fall so ahnungslos). so, aber wie kann ich hier am besten vorgehen? also, wie fängt man am besten hier an? Ich danke euch , für tipps :-)
09.12.2006, 20:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt einfach an $\begin{eqnarray} a_1(v_1+3v_3-2v_4)+a_2(v_1-v_2+v_3)+a_3(2v_2+dv_3-v_4)+a_4(v_1-v_2+v_4)=0 \end{eqnarray}$ . Das stellst du jetzt um zu $\begin{eqnarray} b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3+b_4v_4=0 \end{eqnarray}$ . Dann muss $\begin{eqnarray} b_1=b_2=b_3=b_4=0 \end{eqnarray}$ gelten. Damit erhältst du ein GLS von vier Gleichungen für die vier Variablen $\begin{eqnarray} a_1,a_2,a_3,a_4 \end{eqnarray}$ . Das löst du. Wie geht es dann weiter? Gruß MSS
09.12.2006, 20:40	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also, ich habe jetzt die folgenden Matrizen aufgestellt. Das ist doch erstmal die anwendung, um zu zeigen, dass der Vektorraum linear unabhängig ist, oder? also da habe ich dann folgendes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -2 & d & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 3 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -4+d & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4+d & -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+d & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, und nun wurde doch einfach gezeigt, dass das system linear unabhängig ist, oder? ach nee, einenn moment mal. könnte es sein, dass das system nur dann linear unabhängig ist wenn d=2 ist? dann heißt es also: wenn $\begin{eqnarray} \{d \in \mathbb R ohne 2\} \end{eqnarray}$ dann haben wir ein linear abhängiges system. könnte das so richtig sein?
09.12.2006, 21:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung, was du da mit den Matrizen machst. Das Ergebnis $\begin{eqnarray} d\neq 2 \end{eqnarray}$ ist jedenfalls falsch. Gruß MSS
09.12.2006, 23:36	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
also, die matrizen drücken folgendes aus: die erste matrize besteht ja aus den vier gleichungen. Diese matrize habe ich dann soweit gebracht, dass man praktisch den wert für $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_4 \end{eqnarray}$ bestimmen kann. und dies kann man ja eigentlich, wenn man wüsste, was dieses d wäre. und wenn man weiß, was für ein wert d annehmen muss, dann kann man auch sagen, wann es linear unabhängig bzw. abhängig ist. habe ich es vielleicht jetzt verständlich rübergebracht was die matrizen sollen? oder habe ich immer noch eher schlecht als recht beschrieben? was ich da gemacht habe?
09.12.2006, 23:45	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das müsste dann doch aber $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 3 & 1 & d & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Gruß MSS
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09.12.2006, 23:51	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ja natürlich. also, damit hatte ich auch gerechnet. ich hatte es aber in meinem beitrag leider vergessen hinzuzufügen. da habe ich wohl ein bisschen verwirrung gestifftet. sorry. somit heißt die rechnung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 3 & 1 & d & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -2 & d & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 3 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -4+d & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4+d & -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+d & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre das nun so korrekt? wenn ja, wie kann ich sehen, wie d gewählt werden muss? damit es linear abhängig ist?
10.12.2006, 00:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -4+3\neq 1 \end{eqnarray}$ ! Und lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn der Rang der Matrix $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ ist. Wann ist das der Fall? Gruß MSS
10.12.2006, 00:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm einmal ein Beispiel, etwa $\begin{eqnarray} d=3 \end{eqnarray}$ . Dann kannst du das Gleichungssystem von unten nach oben auflösen und erhältst zwangsläufig $\begin{eqnarray} a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0 \end{eqnarray}$ . In deiner Linearkombination $\begin{eqnarray} a_1 \left( \ldots \right) + a_2 \left( \ldots \right) + a_3 \left( \ldots \right) + a_4 \left( \ldots \right) = 0 \end{eqnarray}$ des Nullvektors vom Anfang müssen also alle Koeffizienten 0 sein. Das bedeutet aber gerade lineare Unabhängigkeit. Und diesen Schluß kannst du für beinahe alle Werte von $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ durchführen. Wenn es da nicht noch einen besonderen $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -Wert gäbe, für den diese Argumentation nicht funktioniert ...
10.12.2006, 00:08	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, oh, oh. ich glaube ich verstehe grad nur bahnhof. 1. was wolltest du jetzt mit $\begin{eqnarray} -4+3\neq 1 \end{eqnarray}$ ? heißt das, meine berechnung der Matrix ist falsch? 2. was heißt jetzt den Rang der $\begin{eqnarray} Matrix_4 \end{eqnarray}$ bestimmen ? was heißt das? was kann ich mir darunter vorstellen?
10.12.2006, 00:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, von der vorletzten zur letzten Matrix hast du $\begin{eqnarray} (-4+d)+3 \end{eqnarray}$ rechnen müssen. Und dann steht auf einmal $\begin{eqnarray} 1+d \end{eqnarray}$ da ... Weißt du noch nicht, was der Rang einer Matrix ist? Dann mach es einfach so, wie Leopold vorgeschlagen hat: Wie du gezeigt hast, ist das GLS $\begin{eqnarray} a_1+a_2+a_4=0 \\ -a_2+2a_3-a_4=0 \\ 3a_1+a_2+da_3=0 \\ 2a_1+a_3-a_4=0 \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} a_1+a_2+a_4=0 \\ -a_2+2a_3-a_4=0 \\ 3a_3+a_4=0 \\ (d-1)a_3=0 \end{eqnarray}$ . Jetzt soll folgen, dass $\begin{eqnarray} a_3=0 \end{eqnarray}$ gilt. Dann folgt aus den anderen Gleichungen $\begin{eqnarray} a_1=a_2=a_4=0 \end{eqnarray}$ . Für welches $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ kannst du nicht folgern, dass $\begin{eqnarray} a_3=0 \end{eqnarray}$ gilt? Gruß MSS
10.12.2006, 10:33	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, jetzt verstehe ich deinen einwand. ich hatte mich da verrechnet. sorry. da war ich wohl ein bisschen begriffsstutzig. nun zu der bestimmung des abhnängigen linearssystems: also, es gilt ja : $\begin{eqnarray} (d-1)a_3 = da_3 -1a_3 = 0 \end{eqnarray}$ nun ja, wenn ich jetzt eine Zahl mit d>1 oder d<1 einsetze, dann habe ich auf jedenfall immer ein lineares unabhängiges system. wenn ich jedeoch die zahl 1 für d einsetze dann habe ich ja stehen: $\begin{eqnarray} 1a_3 - 1a_3 = 0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 0=0 \end{eqnarray}$ und man konnte so $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ nicht bestimmen. Kann das sein, dass somit das einsetzen für $\begin{eqnarray} d=1 \end{eqnarray}$ man ein abhängiges lineares system hat? wenn ja, würde meine obige begründung ausreichen?
10.12.2006, 11:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Man könnte das noch etwas genauer begründen: Bei $\begin{eqnarray} d=1 \end{eqnarray}$ kannst du alles für $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ einsetzen, es folgt nicht notwendigerweise $\begin{eqnarray} a_3=0 \end{eqnarray}$ . Damit kann die Menge nicht linear unabhängig sein. Um sicher zu gehen, würde ich noch eine Linearkombination angeben. Setze z.B. $\begin{eqnarray} a_3=1 \end{eqnarray}$ , bestimme dann die anderen $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ 's und schreibe die nichttriviale Linearkombination hin. Gruß MSS
10.12.2006, 18:54	Martin!	Auf diesen Beitrag antworten »
und wenn man ja für $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ die 1 einsetzt, sind $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_4 \end{eqnarray}$ alle ungleich 0 womit dann exemplarisch an einem beispiel gezeigt wurde, dass mit d=1 man eine lineare abhängige menge hat. und mit der obigen erklärung zu d=1 und diesem beispiel müsste dann die aufgabe rfüllt sein, oder?
10.12.2006, 18:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap. Gruß MSS

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