Erzeugte Untergruppe zeigen

10.05.2011, 15:13

Roonex

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Erzeugte Untergruppe zeigen

Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Zeige:

$\begin{eqnarray*} <M> = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot ... \cdot a_{n} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N, a_{i} \in M \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a_{i})^{-1} \in M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ }

Ich rätsel also nun, was ich bei dieser Aufgabe zeigen soll? Ich vermute mal, ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} <M> \end{eqnarray*}$ wirklich eine erzeugte Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist.

Ich habe eigentlich kaum einen Ansatz, vor allem finde ichs schwierig das $\begin{eqnarray*} <M> \end{eqnarray*}$ zu interpretieren.

Warum steht da $\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot ... \cdot a_{n} \end{eqnarray*}$ ? Was hat das zu bedeuten? Dass man alle Elemente von $\begin{eqnarray*} <M> \end{eqnarray*}$ miteinander multipliziert? Aber wozu?

Bitte, brauche Hilfe, ich versteh die Aufgabe überhaupt nicht ._.

10.05.2011, 15:26

tigerbine

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RE: Erzeugte Untergruppe zeigen
Die Aufgabe soll dich dem Begriff "Von einer Menge erzeugte Untergruppe" näher bringen. Genügt die Definition von <M> also den Untergruppenkriteren? Ferner "Liegt M auch in <M>"? Und warum ist das die kleinste Untergruppe von G, die M enthält?

Der Schlüssel sind die Untergruppenkriterien.

10.05.2011, 15:45

Roonex

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Na gut, dann verstehe ich aber trotzdem noch nicht warum man

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Kannst du mir das noch erklären? Ich weiß nämlich nicht auf was ich die Untergruppenkriterien anwenden muss...

10.05.2011, 15:46

tigerbine

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Das ist Teil des Untergruppenkriteriums... Wie lautet das denn?

10.05.2011, 15:53

Roonex

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Meinst du:

$\begin{eqnarray*} U \leq G \Leftrightarrow \forall g,h \in U : g*h^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ ?

Dann würde ich z.b. $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{j})^{-1} \end{eqnarray*}$ betrachten?

Aber was das mit dem Produkt von allen Elementen zu tun haben soll... ich hab keine Ahnung verwirrt

verwirrt

10.05.2011, 16:04

tigerbine

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Das ist eine Fassung des Kriteriums. Vielleicht sieht du es mit

*nichtleer
*abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung
*abgeschlossen bzgl. Inversion

eher ein.

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10.05.2011, 16:17

Roonex

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Wie soll ich das an diesem Beispiel zeigen?

Ich hätte jetzt z.b. gesagt dass das Inverse von $\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}} \end{eqnarray*}$ ist. Multiplikation mit dem Inversen würde 1 ergeben was ja das neutrale Element ist.

Für Nichtleer... da bin ich mir nicht sicher wie man das sehen kann. Wenn n = 0 dann hab ich ja eine leere Menge... und für n = 1 hab ich zumindest das Element $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ . Aber bin da gerade seeeehr wackelig Erstaunt2

Erstaunt2

Und über die Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung... da kann ich ja gar nichts sagen... man weiß doch irgendwie gar nix über die Gruppe, oder? Also $\begin{eqnarray*} a_{i} \cdot a_{j} \end{eqnarray*}$ müsste wieder ein $\begin{eqnarray*} a_{k} \in M \end{eqnarray*}$ ergeben.

10.05.2011, 16:25

tigerbine

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Nichtleer für direkt auf die Frage, ob M leer ist. Eine Untergruppe ist als eine nichtleere Teilmenge definiert.

Nun läßt du wieder außer acht, was ich an Blickwinkeln gab.

$\begin{eqnarray*} \langle M \rangle =\{ a_{1} \cdot ... \cdot a_{n}~| ~n \in \mathbb N, a_{i} \in M \text{ oder }(a_{i})^{-1} \in M~\forall i = 1,...,n\} \end{eqnarray*}$

Da hier keine Defintiion steht, müsst ihr <M> schon anders defineirt haben. Ws als kleine Untergruppe von G, die M enthält. Nun ist doch mit dem Produkt und n=1 deutlich, dass jedes Element aus M auch in <M> liegt. Ferner sollen durch diese Darstellung und Fall1 (vor oder) auch alle Verknüfpungen der Elemente aus M darin liegen (abgeschlossen bzgl. Verknüpfung). Mit dem Fall2 (hinter oder) folgt nun was?

10.05.2011, 16:33

Roonex

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$\begin{eqnarray*} (a_{i})^{-1} \end{eqnarray*}$ soll ja das Inverse zu $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ sein...

Genau, das versteh ich auch nicht, wieso da ein 'oder' steht. In einer Gruppe sollte es doch zu jedem Element ein Inverses geben, d.h. es müsste doch 'und' heißen?

Ich muss dann auch erstmal los, hab jetzt noch eine Vorlesung.
Heut Abend schau ichs mir nochmal an.

Danke für die bisherige Hilfe Wink

Wink

10.05.2011, 16:36

tigerbine

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Das oder ist nicht einschränkend zu verstehen, sondern erweitert die Möglichkeit der Kombinationen. Es liefert schon das, was du willst.

10.05.2011, 19:45

Roonex

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Nun, ich verstehe dennoch nicht was es mit dem Produkt auf sich hat...

Meiner Ansicht nach könnte da einfach $\begin{eqnarray*} a_{i} \in M \end{eqnarray*}$ stehen für alle $\begin{eqnarray*} i \leq n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{i})^{-1} \in M \end{eqnarray*}$

Naja und dann eben noch die Verknüpfung zeigen also dass $\begin{eqnarray*} a_{i} \cdot a_{j} = a_{k} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a_{i}, a_{j}, a_{k} \in M \end{eqnarray*}$

Mag jetzt mathematisch nicht ganz korrekt da stehen, aber du weißt bestimmt was ich meine?

Und das mit dem 'oder' hab ich jetzt so verstanden, weil das Inverse des neutralen Elements das neutrale Element selbst ist, deswegen ist da $\begin{eqnarray*} a_{1} = 1 = (a_{1})^{-1} \end{eqnarray*}$ , aber ansonsten generell $\begin{eqnarray*} a_{i} \neq (a_{i})^{-1} \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 19:54

tigerbine

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Zitat:

Meiner Ansicht nach könnte da einfach $\begin{eqnarray*} a_{i} \in M \end{eqnarray*}$ stehen für alle $\begin{eqnarray*} i \leq n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{i})^{-1} \in M \end{eqnarray*}$

Nein, das würde nicht ausreichen. Dann wäre zwar M und M^{-1} drin, aber die Sache wäre nicht bzgl. Verknüpfung abgeschlossen. Das Produkt druckt doch genau das aus. In <M> sind also schon mal alle denkbaren Verknüpfungen der Elemente von M drin.

Beispiel:

Restklassen modulo 30=2*3*5 bzgl + und M={2,3,28,27} Dann sind da die Inversen sicher mit bei, aber in einer Gruppe darf ich auch 2+3=5 rechnen. 5 ist aber bei dir nicht in <M> drin.

10.05.2011, 20:06

Roonex

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Achso, ich hab bisher gedacht das Produkt drückt aus dass z.b.

$\begin{eqnarray*} a_{1} \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot a_{2} \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \in M \end{eqnarray*}$

aber dann z.b.

$\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot a_{3} \notin M \end{eqnarray*}$

Hab mich grad vorhin mit anderen Leuten unterhalten die auch die gleiche Aufgabe machen müssen und die hatten auch keine Ahnung Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.05.2011, 20:08

tigerbine

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Verstehe nun nicht was du meinst. In M sind einfach Elemente drin. "Wahllos" aus der Gruppe "gezogen". Das ist i.d.R. keine Untergruppe. Wir machen mit diesen Elementen nun die erlaubten Operationen in einer Gruppe, z.B. 2+3=5. Ergo müssen wir in das Säckchen von <M> auch die 5 tun und so weiter....

Diese Idee steckt in dem was du zeigen sollst. Nennt sich Darstellungssatz. Denn mit der allgemeinen Definition: <M> ist die kleinste Untergruppe die M enthält, kann man konkret eher wenig anfangen.

10.05.2011, 20:41

Roonex

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Kommt mir aber irgendwie seltsam vor...
Z.B. die Gruppe ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z , + \end{eqnarray*}$ )

D.h. wenn ich z.B. M = {0, 1} habe.

Dann kann ich aber
0+0 = 0
0+1 = 1
1+1 = 2
2+1 = 3
2+2 = 4
2+3 = 5
usw.

Aber damit es eine Gruppe ist braucht jedes Element noch sein Inverses.
Also hab ich aber wieder alle ganzen Zahlen?

D.h. die kleinste Gruppe die M enthält sind wieder alle ganzen Zahlen?

10.05.2011, 20:43

tigerbine

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Schlechte Beispielwahl von dir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn Z=<1>

10.05.2011, 20:53

Roonex

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Hm, ich wollte eigentlich ein einfaches Beispiel haben traurig

traurig

Aber das war dann richtig überlegt oder?

Ok mir ist was besseres eingefallen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also M = {2} (auf der gleichen Gruppe)

Dann braucht man das Inverse, also -2
Damit kriegt man auch das Neutrale, 2-2 = 0
Und mit 2+2+2+2+...+2 alle geraden positiven Zahlen
und mit -2-2-2-2-2-...-2 alle geraden negativen Zahlen.

Aber man kommt eben nie auf ungerade Zahlen weil man ja nur 2en addiert...
Dann ist $\begin{eqnarray*} <M> = \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z , + \end{eqnarray*}$ )
was aber nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Ok jetzt ist es etwas klarer geworden, ich denke ich kann mich dann an die Aufgabe machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank tigerbine! Freude

Freude

Wink

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