Spiegelung im R³

10.05.2011, 19:29

maru

Spiegelung im R³

Meine Frage:
Hi könnt Ihr mir Bitte bei folgender Aufgabe helfen;

Man betrachte den $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ mit dem kanonischen Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <\cdot ,\cdot >. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||a||=1 \end{eqnarray*}$ definiert man $\begin{eqnarray*} S_a:R^3\Rightarrow R^3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv. \end{eqnarray*}$

Zeige:
a) $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ definiert eine Spiegelung
b)Es gilt für jedes $\begin{eqnarray*} T\in O(3):TS_aT^T=S_{Ta} \end{eqnarray*}$
c)Sind $\begin{eqnarray*} u,v\in R^3 \end{eqnarray*}$ verschieden mit $\begin{eqnarray*} ||u||=||v|| , \end{eqnarray*}$ so existiert ein $\begin{eqnarray*} a\in R^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S_a(u)=v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_a(v)=u. \end{eqnarray*}$

Hinweis: $\begin{eqnarray*} O(n) \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Gruppe aller orthogonalen $\begin{eqnarray*} (n_{x}{n})-Matrizen. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe bis jetzt keine idee wie ich hier vorankomme

11.05.2011, 11:44

Reksilat

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3
Zu a): Woran erkennt man denn eine Spiegelung? Prüfe dieses Kriterium.
Zu b): Nimm einen beliebigen Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und zeige, dass er unter den beiden Abbildungen das gleiche Bild hat.

Zu mehr Hinweisen kann ich mich wirklich nicht motivieren, da Du ja gerade mal die Aufgabenstellung aufgeschrieben hast. unglücklich

Gruß,
Reksilat.

11.05.2011, 13:33

maru

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3
Hi,

zu a)
Spiegelmatrizen sind orthogonale Matrizen mit Determinante -1.
zu b)
Also nehme ich mir so einen Vektor setze die Abbildung gleich Null und setzt für $\begin{eqnarray*} v:=(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv \end{eqnarray*}$ ein.

11.05.2011, 15:45

Reksilat

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3
Zu a): Das stimmt soweit. Du könntest nun versuchen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} S_a*S_a^T=E \end{eqnarray*}$ ist oder Du guckst Dir erst mal an, was die Abbildung geometrisch so macht. Bezüglich einer geeigneten Basis hat so eine Spiegelung im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ja die Form:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Spiegelung an der x-y-Ebene)
oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Punktspiegelung am Nullpunkt)

Untersuche zum Beispiel mal die Bilder von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Vektor ist, der senkrecht auf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ steht.
Mit diesem Wissen lässt sich schon eine geeignete Basis basteln.

Zu b): Was hat das mit der Aufgabenstellung zu tun? Was willst Di null setzen?
Betrachte $\begin{eqnarray*} TS_aT^Tv \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_{Ta}v \end{eqnarray*}$ . Beides kann man ausführlich aufschreiben und dann umformen.

11.05.2011, 18:22

maru

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3
Also wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Vektor ist, der senkrecht auf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ steht, dann gilt ja;

$\begin{eqnarray*} <a,v>=0 \end{eqnarray*}$ für einen beliebigen Vektor heisst es dann;
$\begin{eqnarray*} <a,v>=<a,\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_n \end{pmatrix}>=a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n =0. \end{eqnarray*}$

Untersuche zum Beispiel mal die Bilder von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} S_a. \end{eqnarray*}$

Es gilt doch;

Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
z.b.
Man transponiert die Matrix, wendet Gauß an und das, was nicht zur Nullzeile wird, sind die
Bilder der Matrix.

Ich verstehe aber nicht von welcher Matrix ich hier ausgehen soll und wie diese aussieht...?

11.05.2011, 18:32

Reksilat

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3
Das Bild von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ ist einfach das, worauf die Abbildung $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ das v abbildet, also $\begin{eqnarray*} S_a v \end{eqnarray*}$ . Und wie man dieses Bild erhält, wird in der Aufgabenstellung definiert.

11.05.2011, 18:44

Leopold

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kanonischer Skalarprodukt

Aua. Könnte das einmal jemand ändern? Im übrigen wäre auch "Spiegelung" ein viel besserer Titel.

11.05.2011, 18:48

Reksilat

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Ich werd's in "Spiegelung im R³" ändern, nachdem maru das nächste Mal geantwortet hat. Augenzwinkern

11.05.2011, 18:58

maru

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3
Wie wärs wenn ich so anfange;

wegen $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf die Länge eins normiert, folgt $\begin{eqnarray*} aa^T=1 \end{eqnarray*}$

Die Spiegelungseigenschaft folgt aus;

$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<a,v>a=(v-<a,v>a)-<a,v>a. \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 19:15

Reksilat

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RE: kanonischer Skalarprodukt in R^3

Zitat:

wegen $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf die Länge eins normiert, folgt $\begin{eqnarray*} aa^T=1 \end{eqnarray*}$

Hä?
$\begin{eqnarray*} a^Ta=1 \end{eqnarray*}$ ist vorausgesetzt. $\begin{eqnarray*} aa^T \end{eqnarray*}$ kann nicht 1 sein, denn das ist eine 3x3-Matrix.

Zitat:

Die Spiegelungseigenschaft folgt aus;
$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<a,v>a=(v-<a,v>a)-<a,v>a. \end{eqnarray*}$

Was sind denn hier nun Deine Schlussfolgerungen? verwirrt

Was passiert hier, wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist?
Was passiert, wenn Du $\begin{eqnarray*} v=a \end{eqnarray*}$ einsetzt?

11.05.2011, 19:29

maru

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Spiegelung im R³
ja stimmt. Die Gleichung habe ich aus Wikipedia:
$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<a,v>a=(v-<a,v>a)-<a,v>a. \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ steht und ich das auf diese Formel zurückführe erhalte ich doch sowas;

$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v=v. \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} v=a \end{eqnarray*}$ gesetz werden dann kommt das hier;

$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<v,v>v=(v-<v,v>v)-<v,v>v. \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<vv,vv>=(v-<vv,vv>)-<vv,vv>. \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 19:40

Reksilat

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RE: Spiegelung im R³

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ steht und ich das auf diese Formel zurückführe erhalte ich doch sowas;

$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v=v. \end{eqnarray*}$

Richtig. Und was sagt uns das?
Versuche Dir das mal geometrisch vorzustellen.

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} v=a \end{eqnarray*}$ gesetz werden dann kommt das hier;

$\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<v,v>v=(v-<v,v>v)-<v,v>v. \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv=v-2<vv,vv>=(v-<vv,vv>)-<vv,vv>. \end{eqnarray*}$

Leider völlig unverständlich. Es Du solltest für v den Vektor a einsetzen und nicht andersrum, denn a ist fest vorgegeben. Außerdem ergibt $\begin{eqnarray*} vv \end{eqnarray*}$ keinerlei Sinn.

11.05.2011, 19:55

maru

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RE: Spiegelung im R³
zu 1)
Das die Abbildung $\begin{eqnarray*} S_av:=v-2aa^Tv \end{eqnarray*}$ ein Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist?

Vielleicht die Winkelhalbierende weiß nicht genau.

11.05.2011, 20:05

Reksilat

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RE: Spiegelung im R³
Hast Du Dir schon mal versucht, vorzustellen, was eine Spiegelung im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ eigentlich ist? Was diese geometrisch bewirkt?

Stell Dir zum Beispiel mal eine Spiegelung an der x-y-Ebene vor. Was macht diese mit den drei Basisvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1)?
Was macht sie mit Vektoren, die in der x-y-Ebene liegen?
Was mit Vektoren, die senkrecht dazu sind?

Siehst Du nun eine Parallele zu Deiner Abbildung $\begin{eqnarray*} S_a \end{eqnarray*}$ ?

Ich bin erst mal weg für heute. Wink

Gruß,
Reksilat.

11.05.2011, 20:08

maru

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RE: Spiegelung im R³
denke darüber nach. verwirrt

Vielen Dank Reksilat smile

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