Produktregel

10.05.2011, 21:47

DerMatheFreak

Produktregel

Möchte die Produktregel bei der Aufgabe verwenden, jedoch weiß ich nicht was u(x) bzw. v(x) ist? Habe ein Versuch gestartet...

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+2^{2} f'(x)=\frac{2}{3}x*2^{2}+0*\frac{1}{3}x^{2} \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 21:48

Pascal95

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Achtung!
Binomische Formel von der 1. zur 2. Zeile falsch!

10.05.2011, 21:58

MSTVAre

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Wann wendet man Produktregel an? Wenn man ein Produkt von Funktionen hat und nicht Summe.
Und wenn du die binomische Formel nicht anwenden willst, dann überleg dir wie man $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3}x+2)^2 \end{eqnarray*}$ noch schreiben kann.

10.05.2011, 22:03

DerMatheFreak

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RE: Produktregel
$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+4 f'(x)=\frac{2}{3}x*\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}*\frac{1}{3}x^{2} f'(x)=\frac{8}{9}x+\frac{}{}^{}??? \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wo ich die 4 zuordnen soll und wie es in der letzten Zeile weitergeht.

10.05.2011, 22:06

MSTVAre

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also nochmal: wann wendet man die Produktregel an?
-> Wenn man ein PRODUKT aus zwei Funktionen hat. Du hast jetzt am Ende eine Summe von einzelnen Funktion. Die kann man ganz einfach ableiten, wenn man jeden einzelnen Term ganz normal ableitet (ohne Produktregel)

und außerdem hast du immer noch nicht richtig ausmultipliziert.

10.05.2011, 22:09

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} (\frac{1}{3}x+2)*(\frac{1}{3}x+2) =\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+4 \end{eqnarray*}$

Das rechte wäre doch das Produkt aus zwei Funktionen oder nicht?

10.05.2011, 22:12

MSTVAre

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Ja, dann wende doch die Produktregel auf dieses Produkt an. Du hast ein Produkt, zwei Funktionen, also ist das eine u das andere v.
wenn du aber ausmultiplizierst (was immer noch falsch war), brauchst du dann beim Ableiten gar keine Produktregel mehr.

10.05.2011, 22:25

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} f(x)\frac{1}{9}x^{2}+\frac{4}{3}x+4 f'(x)=\frac{2}{9}x+\frac{4}{3} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)*(\frac{1}{3}x+2) f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x) f'(x)=\frac{1}{3}*(\frac{1}{3}x+2)+\frac{1}{3}*(\frac{1}{3}x+2) \end{eqnarray*}$

Kann man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$ miteinander multiplizieren?

10.05.2011, 22:29

MSTVAre

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richtig!!!
ja klar kann man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$ miteinander multiplizieren.
Am Ende kommt dasselbe Ergebnis raus

10.05.2011, 22:33

DerMatheFreak

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Dankesehr

Was wäre denn bitte hierbei die innere Ableitung gewesen bei der Kettenregel?

10.05.2011, 22:34

MSTVAre

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Was wäre denn deiner Meinung nach hier die innere Funktion?

10.05.2011, 22:36

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} \end{eqnarray*}$

Die ganze Funktion?

10.05.2011, 22:37

MSTVAre

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Und was bleibt dann für die äußere Funktion?
Also ein Tipp: die äußere Funktion ist das Quadrieren der inneren Funktion.

10.05.2011, 22:39

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{4} \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 22:41

MSTVAre

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$\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(x)^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist die innere Funktion. Also, was wäre diese?

10.05.2011, 22:44

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2) \end{eqnarray*}$ innere Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} \end{eqnarray*}$ äußere Funktion

10.05.2011, 22:45

MSTVAre

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genau

10.05.2011, 22:49

DerMatheFreak

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Gut, meine Frage war aber die innere Ableitung, nicht die innere Funktion.

10.05.2011, 22:50

MSTVAre

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Innere Ableitung ist die Ableitung der inneren Funktion. Wenn du die innere Funktion hast, was ist dann ihre Ableitung?

10.05.2011, 22:51

DerMatheFreak

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1/3 danke

10.05.2011, 22:52

Equester

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Zitat:

Original von DerMatheFreak
$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2) \end{eqnarray*}$ innere Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} \end{eqnarray*}$ äußere Funktion

Das kann man so nicht sagen. Ist falsch.

Die innere Funktion $\begin{eqnarray*} v(x)=(\frac{1}{3}x+2) \end{eqnarray*}$ war richtig.
Für die äußere gilt aber folgendes: $\begin{eqnarray*} u(v)=v² \end{eqnarray*}$

Wink

10.05.2011, 22:56

DerMatheFreak

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Die äußere Funktion wäre aber nach wie vor $\begin{eqnarray*} v(x)=(\frac{1}{3}x+2)^{2} \end{eqnarray*}$ oder nicht? verwirrt

10.05.2011, 22:59

MSTVAre

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Hast du etwa nur die innere Ableitung gebraucht? Dann ist´s ok.
Ansonsten findest du bestimmt in deiner Formelsammlung die Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x) \end{eqnarray*}$
Also letztendlich musst du dann auf deine bereits berechnete Ableitung (mit der Produktregel) kommen.

10.05.2011, 23:00

MSTVAre

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ja die äußere Funktion ist richtig. Und die Ableitung von ihr?

10.05.2011, 23:01

Equester

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Nun ja, du hast f(x) einfach als v(x) umbenannt. Das waren aber auch schon alle Änderungen.
Die äußere Funktion ist aber
$\begin{eqnarray*} u(v)=v² \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

10.05.2011, 23:04

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von MSTVAre
ja die äußere Funktion ist richtig. Und die Ableitung von ihr?

$\begin{eqnarray*} v(x)=2*(\frac{1}{3}x+2)^{2-1} v'(x)=\frac{2}{3}x+4 \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 23:06

MSTVAre

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Ja du meinst schon das Richtige. Dann noch mit der inneren Ableitung multiplizieren dann hast du auch schon das Ergebnis.

10.05.2011, 23:08

DerMatheFreak

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Wenn die Kettenregel so lautet
$\begin{eqnarray*} k(x)=f(g(x)) k'(x)=f'(g(x))*g'(x) \end{eqnarray*}$

Dann müsste bei der folgenden Aufgabe die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$ die äußere Funktion sein oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{18}(3x+2)^{6} \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 23:10

MSTVAre

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Du hast doch bereits die innere Ableitung gebildet, d.h. die Ableitung von der inneren Funktion. Diese Ableitung war doch 1/3. Multipliziere das mit der äußeren Ableitung, dann bekommst du das Endergebnis.

10.05.2011, 23:13

MSTVAre

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$\begin{eqnarray*} f'(g(x))=\frac{2}{3}x+4 \end{eqnarray*}$ , das ist die äußere Ableitung, die du bereits rausbekommen hast. Und $\begin{eqnarray*} g'(x)=1/3 \end{eqnarray*}$ ist die innere Ableitung. Also miteinander multiplizieren

10.05.2011, 23:14

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von MSTVAre
Ja du meinst schon das Richtige. Dann noch mit der inneren Ableitung multiplizieren dann hast du auch schon das Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*(\frac{1}{3}x+2)^{2-1}*\frac{1}{3} =\frac{2}{3}x+4*\frac{1}{3} =3 \end{eqnarray*}$

was habe ich falsch gemacht?

10.05.2011, 23:16

MSTVAre

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Wie multipliziert man eine Summe mit einer Zahl?

10.05.2011, 23:18

DerMatheFreak

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Welche Summe? Verstehe ich nicht.

10.05.2011, 23:20

MSTVAre

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Das was du bei der äußeren Abl. rausbekommen hast ist doch eine Summe. Die innere Ableitung ist nur eine Zahl. Was ist dann: Äußere Abl. mal Innere Abl.?

10.05.2011, 23:22

DerMatheFreak

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Meinst du den Summand 4?

10.05.2011, 23:25

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*(\frac{1}{3}x+2)^{2-1}*\frac{1}{3} =(\frac{2}{3}x+4)*\frac{1}{3} =\frac{2}{9}x+\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 23:25

MSTVAre

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}x+4 \end{eqnarray*}$ , das ist doch eine SUMME. Und wie multipl. man Summe mit Zahl? Das muss doch gehen

10.05.2011, 23:26

MSTVAre

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jaaaa, jetzt aber!!! Freude

10.05.2011, 23:27

DerMatheFreak

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Vielen Dank Big Laugh

Könnten wir jedoch bitte noch zuletzt auf das neue Problem näher eingehen? Wink

Bei der folgenden Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$ die äußere Funktion oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{18}(3x+2)^{6} \end{eqnarray*}$

10.05.2011, 23:33

MSTVAre

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Was versteht man denn überhaupt unter verketteten Funktionen? Die äußere hängt von der inneren Funktion ab. Gehe hier doch wie im letzten Beispiel vor.
Da war doch $\begin{eqnarray*} k(x)=f(g(x))=1(\frac{1}{3}x+2)^2 \end{eqnarray*}$
Jetzt schau noch mal nach was da die äußere und was die innere war.
Bei der neuen Fkt. geht´s genauso

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