Basis bestimmen und es zu einer Basis K^4 ergänzen

Neue Frage »

Phönix Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bestimmen und es zu einer Basis K^4 ergänzen
Hi,

ich wollte nur mal nachfragen, ob der bisherige teil den ich gemacht habe richtig ist, und wie ich dann weiter vorgehen soll/muss.

Aufgabe:

Im - Vektorraum (für bzw. ) seien die Vektoren



gegeben. Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von ) eine Basis von und ergänzen sie die jeweils zu einer Basis von


So, unsere ermittelte Basis lautet:

=>

=> =>

die basis wäre somit:

(1, 1, 0, 1) , (0, -1, 2, 1) und (0,0,3,3) (anmerkung: wäre die auflistung der basis so in ordnung?)

Hoffentlich ist das jetzt auch richtig was wir hier gemacht habe. Wäre alles bis hier hin in Ordnung, dann wollten wir mal fragen, wie wir nun das hier zu einer Basis von ergänzen sollen. Wie geht man da vor?

Wir danken euch für eure hilfestellungen und tipps
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ist das eine Basis sowohl im Falle als auch für ?
2. Wie begründest du, dass das wirklich eine Basis ist?

Gruß MSS
Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, sobald du in endlichen Körpern wie dem F3 rechnest, solltest du dich auch auf 3 Elemente beschränken, d.h. 2 zu schreiben ist nicht falsch, aber -1 ist sinnvoller, da man direkt sieht, was passiert wenn man zeilen addiert.
Außerdem sollte man es auch einheitlich machen, also wenn man -1 schreibt dann IMMER, sonst siehst du nicht wann eine Zeile wegfällt oder nicht.

(Was dir übrigens auch passiert ist)

Des weiteren gibt es nicht DIE Basis.
Für R3 gibt es überabzählbar unendlich viele Möglichkeiten sich 3 Vektoren zu suchen, um mit ihnen EINE Basis zu erstellen.
Daher konntest du zB auch genausogut deine Ausgangsvektoren v1, v2, v3 als Basis des R3 nehmen, nachdem du gezeigt hast, dass sie linear unabhängig sind, was gleichbedeutend damit ist, dass beim Umformen der Matrix sich keine Nullzeile(n) ergeben.

Zur Frage mit R4:
So wie ich die Aufgabe verstehe sollst du zu den gegebenen 3 Vektoren dir einen vierten suchen, sodass das ganze insgesammt eine Basis des R4 ist.
Mache dir klar, wie eine Basis des R4 aussehen kann, und was du nun tun musst.
Dr. Logik Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Friedrich
Mache dir klar, wie eine Basis des R4 aussehen kann, und was du nun tun musst.


Ich habe das so gemacht: durch Probieren habe ich einen Vektor gefunden, der lin. unabhängig ist und habe das dann noch bewiesen. Da eine Basis in R4 genau 4 lin. unabhängige Vektoren besitzt, habe ich somit alle 4 gefunden. Es gibt dafür bestimmt eine wesentlich elegantere Variante, aber so dürfte es auch gehen. Falls nicht, bitte ich um eine Belehrung Lehrer

Frage zu F3:
Woher weiß ich, aus wie vielen Vektoren eine Basis in besteht? Ich habe die Vermutung, dass man hierbei nicht 4 vektoren benötigt, weil z.B. ja 1+2=0 ist, und man somit mit 2 Zahlen alle 3 darstellen kann...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Im gilt:

.

Und damit kann natürlich kein Basisvektor sein, da es der Nullvektor ist!

Gruß MSS
Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »

Gut da jetzt die Ideen zur weiteren Vorgehensweise und der Fehler gefunden wurden poste ich mal weiter:

@ Dr. Logik
es gilt: Dim V = #Vektoren einer Basis
Was bedeutet überhaupt oder ?
Das sind Vektorräume mit Dimension 4. Und um "4 Dimensionen" darzustellen braucht man auch einen Vektor der Länge 4.
Das hat absolut nichts mit dem Zahlenbereich des Grundkörpers zu tun.

Wie findet man nun den vierten?
Also ersteinmal ganz allgemein:
Jeder Vektorraum hat ein sog. Standardbasis, die aus Einheitsvektoren besteht, z.B. : Basis des ist

Bringt man nun die Matrix von der wir ganz am Anfang ausgegangen sind in strikte Zeilenstufenform, so sieht man welcher der 4 Vektoren fehlt.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Friedrich
Jeder Vektorraum hat ein sog. Standardbasis, die aus Einheitsvektoren besteht

Was ist mit unendlich erzeugten Vektorräumen und bei endlich erzeugten mit denen, die nicht gleich mit einem und einem Körper sind?

Gruß MSS
Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »

OK, hab jetzt die unendlich erzeugten übersehen, sorry.

Ich schätze mit den anderen ungleich K^n meinst du wahrscheinlich sowas wie Polynome mit Grad <n.
Aber für die gibt es eine Standardbasis (1, X, X², ...., X^n)

Wenn es sonst noch etwas gibt gebe ich mich gerne geschlagen, da ich mit meinen LA I Kenntinissen soviele Vektorräume auch nicht kenne ^^.

Hm, man könnte noch Matrizen mit i Zeilen und j Spalten betrachten und dort als Standardbasis Matrizen angeben, die nur an einer Stelle i,j eine 1 haben und 0 sonst...
Dr. Logik Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Friedrich
Bringt man nun die Matrix von der wir ganz am Anfang ausgegangen sind in strikte Zeilenstufenform, so sieht man welcher der 4 Vektoren fehlt.


Also ich hab jetzt bei die Matrix umgeformt. Dann sieht meine letzte Matrix so aus:


Aber was sagt mir das jetzt über meinen fehlenden Basisvektor aus? Denke, dass der z.B. (1,1,1,0) sein kann. Aber ich sehe das nicht anhand der Matrix.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Friedrich
Ich schätze mit den anderen ungleich K^n meinst du wahrscheinlich sowas wie Polynome mit Grad <n.
Aber für die gibt es eine Standardbasis (1, X, X², ...., X^n)

Mag sein, aber das ist eine Definition speziell für diesen Vektorraum. Warum soll gerade das die Standardbasis sein? Ok, in diesem VR kannst du sie definieren, aber wenn du sagst "Jeder endlich erzeugte VR besitzt eine Standardbasis.", dann musst du den Begriff "Standardbasis" allgemein für einen beliebigen endlich erzeugten VR definieren.

Gruß MSS
Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dr. Logik
Dann sieht meine letzte Matrix so aus:



Was ist denn das?
Phönix hat v1, v2, v3 als Zeilenvektoren in eine Matrix geschrieben.
Wenn man seine Matrix (mittels ZEILENUmformungen >ZeilenGauß<) umformt erhält man (im R^4):


Jetzt sieht man, dass man den e4 braucht um die letzte Spalte auszuräumen, also ist eine Basis des R^4:
(v1, v2, v3, e4)

@MSS
1:0 für dich Hammer
pingpong2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Im gilt:

.



tut mir leid, aber wie bist du darauf gekommen? ich sehe leider nicht den rechenschritt. aber klar ist, wenn da 0000 steht, dann ist es natürlich kein basisvektor.das leuchtet zumindest ein.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

In gilt nunmal und .

Gruß MSS
pingpong2000 Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ich verstehe.

wäre es jedoch falsch, da ja eigentlich nur die zahlen 0,1,2 exestieren, eine zeile mit -1 zu multiplizieren? geht das überhaupt?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, kommt drauf an, wie man es definiert. Aber anstelle von der Multiplikation mit kannst du ja auch einfach mit multiplizieren.

Gruß MSS
Phönix Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

also, ich danke euch wenigstens, dass ich meinen fehler bei der berechnung der basis entdeckt habe. die basis wäre also:

=> =>

wenn alles richtig ist, dann hat der Unterraum eine Dimension von 2 und wird von folgenden Vektoren erzeugt:


und


aber ich habe immer noch nicht verstanden, wie man nun das ergänzen soll, damit man eine basis hat.

wie ist hier das vorgehen? wie fängt man das am besten an?
angiepower :-) Auf diesen Beitrag antworten »

hi, muss auch die aufgabe lösen traurig

aber das mit dem ergänzen habe ich auch nicht wirklich verstanden, wie das von statten gehen soll.
Phönix Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe mir das ganze nochmal durch den kopf gehen lassen. und ich wollte euch fragen, ob folgendes richtig wäre:

wir haben ja von der aufgabe vornheren nun die vektoren:





und dann habe ich folgenden Vektor hinzugefügt:



die matrix lautet somit:

=> =>


wäre das so eine ergänzung wie es die aufgabenstellung es sich vorstellt? ist sowas gemeint?
Friedrich Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich nicht, da dein vierter Vektor linear abhängig ist und somit von dieser Basis bereits erzeugt wird.
Deine Aufgabe ist es, ein linear unabhängiges Tupel von 4 Vektoren zu finden, mit dem du den R4 aufspannen kannst!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

An sich sind die Vektoren im sogar linear unabhängig. Beim Umformen der Matrix ist nur einiges schief gegangen.

Zitat:
Original von Phönix
die matrix lautet somit:

=> =>

Was genau hast du hier gemacht? Ich sehe da gar nicht durch.

Gruß MSS
Phönix Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

bei der berechnung der matrix habe ich einfach folgendes gemacht:



die müsste ja eigentlich klar sein. Die Reihenfolge der Vektoren ist: dann dann und schließlich

dann habe ich die erste zeile zu der zweiten addiert. und die erste zu der dritten. woraus folgt:



hier habe ich die zweite zeile zu der vierten addiert. daraus folgt:

=>


naja, und das ist dann das endergebniss. und ich habe berücksichtigt, dass zb 2+1 = 3 = 0 ist etc. da wir ja in sind.

aber laut Friedrich ist das ja dann, wenn ich alles richtig gemacht habe, alles falsch.
Phönix Auf diesen Beitrag antworten »

ausserdem fällt mir gerade auf, dass es ja dann fast egal wäre, was für einen vierten vektor ich wählen würde. denn der dritte vektor wird ja immer null. der müsste ja schon im prinzip umgeändert werden, damit man ein linear unabhängiges system hätte.


wieso muss es denn eigentlich linear unabhängig sein?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest du dazu sagen, ob wir uns gerade im oder im befinden. Mir war das nämlich nicht klar.
Wie wir dir oben schon gesagt haben, ist keine Basis von . Aber ist eine Basis davon. Du musst also noch zwei Vektoren dazupacken, sodass alle vier Vektoren linear unabhängig sind.
Warum sie linear unabhängig sein müssen? Weil du eine Basis des gesamten Raums finden sollst und diese natürlich linear uanbhängig sein muss.

Gruß MSS
Phönix Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmm, leider verstehe ich das noch nicht so ganz.

heißt das, ich muss insgesamt zwei vektoren finden?

undsind ja basen. und jetzt müsste ich also ein und finden. ist das richtig so? wenn ja, dann könnte ich schon mein nehmen, oder? und dann noch ein finden.

habe ich es richtig verstanden oder doch noch nicht?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Phönix
undsind ja basen.

Nein, und sind nicht zwei Basen von , sondern ist eine Basis davon. Alles andere, was du gesagt hast, ist korrekt.

Gruß MSS
Phönix Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das beruigt mich aber dann doch schon etwas. Also, ist jetzt folgendes eine Basis von ?
sind ja schon gegeben.
Für und gilt : und

SOmit erhalte ich folgende (hoffentlich) Basis:

=>

=>



bei der berechnung habe ich darauf geachtet, dass zb 2+1=3=0 ist.

somit müsste, wenn alles richtig wäre, eine Basis von sein. oder?


wenn das richtig sein sollte, dann habe ich immer noch eine fragen. nämlich:

was heißt das zb wenn da steht

ich glaube ich verstehe die bezeichnungen irgendwie nicht mehr so ganz.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

.

Das ist die Menge aller Viertupel.

1. Warum hast du in die Matrix den dritten Vektor nochmal mit reingeschrieben, wenn der doch sowieso nicht mehr zur Basis gehören kann? Und jetzt ist der ja jetzt am Ende auch stehen geblieben!

Zitat:
Original von Phönix
somit müsste, wenn alles richtig wäre, eine Basis von sein. oder?

Du sollst doch eine Basis von finden. Erstens hast du, wie gesagt, stehen lassen und in der Zeile von eine Nullzeile erzeugt. Also müsstest du als Basis angeben. Und da du eine Basis von angeben musst, solltest du noch begründen, warum das auch eine Basis davon ist!

Gruß MSS
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »