Relationen "a ist ein Vielfaches von b"

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Die*Steffi* Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Meine Frage:
Hallo ihr lieben,

ich bräuchte mal eure Hilfe (bin total am verzweifeln)

Mein Prof hat mir folgende AUfgabe gestellt:

Gegeben sei die Relation "a ist ein Vielfaches von b" auf der Menge IN.
Dabei gilt:"a ist ein Vielfaches von b <--> Es existiert ein k e IN mit b*k=a"
Überprüfe R auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivität, Antisymmetrie und Asymmetrie. Beweise oder Wiederlege.


So weit so gut.

Meine Ideen:
Ich habe wohl schon erkannt, das dies eine Teilerrelation ist,die theoretisch Reflexiv, transitiv und antisymmetrisch sein müsste (oder hab ich mich jetzt total in irgendwas verrannt?).

Reflexiv wäre dann also: a e IN: aIa
Transitiv wäre somit: a,b,c e IN: bIa und aIc--> bIc
Antisymmetrisch weil: a,b e IN: bIa und aIb --> a=b

hab ich das bis jetzt richtig verstanden???

Und kann mir einer von euch einen Tipp geben, wie ich das beweisen kann?

Danke schonmal im Voraus
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Du musst im Prinzip nur argumentieren, warum das so ist.
Die*Steffi* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
genau, das ist ja mein Problem...ich habe garkeine AHnung wie ich das machen soll.... Forum Kloppe
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Das wesentliche hast du doch schon.

Reflexiv: Sicherlich ist jedes a aus IN Vielfaches von sich selbst.

Transitiv: Ist a Vielfaches von b und b Vielfaches von c, dann existieren x,y aus IN mit a=x*b und b=y*c, also a=x*(y*c)=x*y*c, mit x*y=z ist a=z*c, also a auch Vielfaches von c.

Wie gesagt, einfach ein wenig Argumentieren.

Warum ist die Relation nun nicht symmetrisch?
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Symmetrie: Weil wenn a = b ist, kann a kein Vielfaches von b sein, oder?

Transitivität:
könnte man so beweisen, oder? (Sagt mir wenn ich mich irre)

gegeben: b | a <=>; b*k1 = a
b | c <=>; b*k2 = c
gesucht: b | (a+c)
um das zu zeigen muss man m e IN mit
m*b= a+c haben
Beweis: k1 * b + k2 * b = a+c
(k1 + k2) *b = a+c (k1+k2=m)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Zur Symmetrie:

a ist Vielfaches von b und b ist Vielfaches von a, also existieren x,y aus IN mit a=x*b und b=y*a, also ist a=x*y*b, das gilt aber nur für x*y=1, also für x=y=1.


Wenn gilt a=b, dann ist a doch ein Vielfachjes von b und andersherum, nämlich jeweils das 1-fache.

Transitivität hab ich dir im letzten Post schon gezeigt, schaut gut aus.
Nun weiter, Antisymmetrie....
 
 
Die*Steffi* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Also Antisymmetrie:

b&#9134;a und a&#9134;b immer a=b gilt

das müsste ja bedeuten, dass beide Zahlen gleich sein müssten. Wenn das gilt wären es ja die gleichen Zahlen, oder?

Als Beispiel: 2 &#9134; -2 und -2 &#9134; 2, aber 2 &#8800; -2
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Also Antisymmetrie:

bRa und aRb immer a=b gilt

das müsste ja bedeuten, dass beide Zahlen gleich sein müssten. Wenn das gilt wären es ja die gleichen Zahlen, oder?

Als Beispiel: 2 I -2 und -2 I 2, aber 2 ist ungleich -2

Somit wäre sie nicht Antisymmertrisch oder doch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Wir bewegen uns in den natürlichen Zahlen, nicht in den ganzen, oder hast du eine andere Aufgabenstellung?

@Steffi:

In deinem letzten Post kann man nichts entziffern, bitte kein copy-paste verwenden.
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
oh Stimmt ja...habe ich garnicht dran gedacht....* geschockt

aber abgesehen davon, das wir nur mit natürlichen Zahlen arbeiten, ist das Beispiel doch theoretisch okey, oder?

Müsste man dann doch nur natürliche Zahlen einsetzte....

2 I 4 und 4 I 2 , 2 ungleich 4

Wobei dann aber ja 4 auch 2*2 ist, oder darf man das so nicht betrachten und somit dann nicht Antisymmetrisch wäre.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Wenn du ein Gegenbeispiel findest ist das okay, aber um zu zeigen, dass die Relation antisymmetrisch ist reicht ein Haufen Beispiele nicht aus.

Und wie kommst du denn darauf, dass die 4 die 2 teilt ?
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Oh, soweit hab ich gar nicht gedacht.

Dann kann sie doch eigentlich nicht Antisymmetrisch sein, weil es kein a gibt, was ein Vielfaches von b ist und dennoch gilt a=b
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Okay, mal nicht so konfus und einmal konzentriert bei der Sache bleiben.

Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn für alle a,b gilt, wenn aRb und bRa, dann folgt daraus, dass a=b ist.

Nun sei a Vielfaches von b und b Vielfaches von a, also a=x*b und b=y*a, gilt dann a=b oder nicht?
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Wenn du so fragst, muss ja gelten. smile

Es ist ja eine Teilerrelation und die haben die Eigenschaft, Asymmetrisch zu sein.
Aber irgendwie verstehe ich immer noch nicht, wie ich das Beweise.... traurig
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Durch die einfache Argumentation, wenn gilt: a|b und b|a, a,b aus IN, dann folgt, dass a=b.

Oder: Wenn gilt a=x*b und b=y*a, a, b, x, y aus IN, dann folgt x=y=1 und damit a=b.
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
dann ist das aber doch genau das selbe, wie bei der Symmetrie verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Jap, ähnelt sich sehr, nur dass die Relation niocht symmetrisch, aber antisymmetrisch ist.
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
okey, kein Wunder, dass ich das nicht verstehe, wenn sich das alles so ähnlich ist smile

Beweisen war auch noch nie meine Stärke, muss ich dazu einfach mal sagen. Irgendwie scheint mir das alles immer sehr suspekt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Das entscheidende ist hier nicht das Rechnen, sondern, wie in Beweisen so häufig, das Argumentieren.

Fehlt denn nun noch was oder sind wir durch?
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Asymmetrie fehlt noch, wobei ich dazu sagen muss, da ich davon noch nie was gehört habe und da völlig auf dem schlauch stehe...bzw. ich denkemal, dass das das Gegenteil von Symmetrie sein könnte,w as ich ja schon bewiesen habe, da sie ja nicht Symmetrisch ist
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Bei der Definition von Asymmetrie kann auch Google helfen.

Asymmetrisch:

Aus aRb folgt nicht bRa.

Eine Idee?
Lewellyen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Das müsste ja bedeuten,dass: a I b ist nicht gleich b I a ist.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationen "a ist ein Vielfaches von b"
Deinen letzten Post kann ich nur schwer nachvollziehen, was bedeutet das "gleich"?

Die Definition ist aber dann richtig:

aus a|b folgt (nicht b)|a.
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