Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )

Neue Frage »

Spass an Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
Meine Frage:
Hi!

So. jetzt die Aufgabe nochmal, und dieses mal hoffentlich für alle lesbar smile

( sorry noch mal für das Chaos in der anderen Frage )

Eine Aufgabe in unserem aktuellem Übungsblatt lautet:

Welche Rechenregel für Gruppen können Sie verwenden, um zu zeigen, dass jede Gruppe G und alle Elemente ab ? G stets
(a ° b)^-1=b^-1 ° a^-1

( ° steht für Verknüpfung )

Meine Ideen:
Meine Idee dazu wäre diese hier:

(a ° b)^-1 = b^-1 ° a^-1

(a ° b)^-1 = e ° a^-1 ° b^-1 ° e =

b^-1 ° b^1 ° a^-1 ° b^-1 ° a^1 ° a^-1=b^-1 ° (b1 ° a^-1 ° b^-1 ° a^1) ° a^-1 =

b^-1 ° (e) ° a^-1 =

b^-1 ° a^-1


Also mit anderen Worten hab ich rechts und links ein neutrales Element angehängt, dass dann jeweils umgekehrt ersetzt , dann geklammert und dass aufgelöst mit e.

Antwort wäre dann: es geht wegen Assoziativität.

Kann mir jemand sagen, ob man das so machen kann, oder ob dass Blödsinn ist?

Gruss Nils
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
Zitat:
Original von Spass an Mathe
(a ° b)^-1 = e ° a^-1 ° b^-1 ° e = [...]


Schon das stimmt nicht. Du möchtest doch zeigen, dass die Faktoren sich durch die Inversion vertauschen...

Das Element ist ja das Inverse zu einem bestimmten anderen Gruppenelement. Wie kann man das benutzen?
Spass an Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
ok, ich kann sagen, das (ab) (ab)^-1 = e ...
aber ich hab keine Ahnung, wie ich dann weiter mache.

Ist wahrscheinlich auch falsch in einer Beweiskette zu denken.

steh aber trotzem auf dem Schlauch. Was genau muss gezeigt werden?

Du schriebst:
"dass die Faktoren sich durch die Inversion vertauschen..."

meinst du das hier? (ab)^-1 = b^-1 a ^-1

wo ist denn da der Knackpunkt.. wieso vertauchen die?

Auf was muss ich da schauen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
Zitat:
Original von Spass an Mathe
ok, ich kann sagen, das (ab) (ab)^-1 = e ...

Darauf wollte ich hinaus. Was bietet sich denn als nächster Schritt an? Du möchtest ja die Inversen einbringen.

Zitat:
Original von Spass an Mathe
wo ist denn da der Knackpunkt.. wieso vertauchen die?

Auf was muss ich da schauen?

Das siehst Du ja jetzt in der Aufgabe. Augenzwinkern
Spass an Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
hmmm.. gut smile

also sagen wir mal a * b * (a b)^-1 = e

(ab)^-1 löse ich auf

dann:

a * b* a^-1 * b^-1 = e | * a^-1 *b^-1

b^-1 * a^-1 = e * a^-1 *b^-1

also


b^-1 * a^-1 = a^-1 *b^-1


.... das wär jetzt ein bisschen zu billig oder? smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
Zitat:
Welche Rechenregel für Gruppen können Sie verwenden, um zu zeigen, dass jede Gruppe G und alle Elemente ab ? G stets (a ° b)^-1=b^-1 ° a^-1


Es ist doch ein Vorschlag für ein inverses angegeben. Und was passiert, wenn man nun einfach mal rechnet?



Es ist also ein Rechtsinverses zu . Da G eine Gruppe ist, wissen wir aber viel mehr...
 
 
Spass an Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
ok...
wenn wir (ab)^-1 bzw. (ba)^-1 auf ab loslassen, sehen wir das abhängig von der Reihenfolge entweder linksinvers bzw. rechtinvers ist.

Wir wissen, dass in einer Gruppe -in bezug auf eins der Axiome- jedes Element
ein eindeutig inverses Element hat.
Wäre jetzt die Schlussfolgerung, dass wenn das Element rechtsinvers ist, in jedem fall auch invers bzw. linksinvers sein muss?
das müsste es ja sein, denn ich habe gezeit, unabhängig von der Reihenfolge
neutralisiert es. geschockt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
Zitat:
äre jetzt die Schlussfolgerung, dass wenn das Element rechtsinvers ist, in jedem fall auch invers bzw. linksinvers sein muss?


Genau.
Spass an Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
cool, danke. Mit Zunge

aber welche Rechenregel haben wir dann benutzt?

das Kommutativgesetz , Assoziativgesetz, eine Bedingung für multiplikative Gruppen: das jedes Element ein eindeutig Inverses haben muss?
oder zielt dass ausschliesslich auf die Eindeutigkeit ab?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
Wo haben wir denn kommutiert.... unglücklich Assoziativ und Eindeutigkeit des Inversen.
Spass an Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität in einer Gruppe beweisen ( lesbar )
ok. Am Anfang ists echt nicht leicht zu erkennen worum es geht..
vielen dank, hat mir sehr geholfen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »