Affiner Unterraum, senkrecht

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Mondstaub Auf diesen Beitrag antworten »
Affiner Unterraum, senkrecht
Def:
Sei V ein Vektorraum und U ein Unterraum von V.
Der affine Unterraum durch v zu U ist:

Sei nun V ein euklidischer Vektorraum und W ein affiner Unterraum von V. Sei so gewählt, dass für alle gilt.

Zeigen Sie nun, dass w senkrecht zu W steht, also dass für alle gilt.


Erstens habe ich zunächst eine Frage. Mich verwirrt die Aussage, dass "w senkrecht zu W steht". Also, dass ein Element eines Vektorraumes senkrecht zu dem Vektorraum selbst steht...oder verstehe ich das komplett falsch? Gibt es dazu noch mehr zu sagen, als für alle ?

Und zweitens der Ansatz zur Lösung der Aufgabe:

Muss man dabei mit der gegebenen Gleichung beginnen und dann entsprechend umformen, bis man bei angelangt ist?

Also ?

Welche Gesetze/Definitionen benötigt man denn, um die entsprechenden Umformungen zu tätigen? Mir fällt nicht ein, wie ich da anfangen könnte.


Danke im Voraus.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, senkrecht
Hallo Mondstaub,

Zitat:
Zeigen Sie nun, dass w senkrecht zu W steht, also dass für alle gilt.

Du kannst Dir überlegen, dass ist. Dann siehst Du auch, dass "w senkrecht auf U" gemeint ist.

Zur Lösung:
Nimm Dir einen beliebigen Vektor . Nun ist für alle , also .

Versuche nun, das umzuformen. Irgendwann wirst Du durch geschickte Wahl des zeigen können, dass ist.

Gruß,
Reksilat.
 
 
Mondstaub Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

danke für den Ansatz.

Die Umformungsmöglichkeiten die man hat, sind folgende:



und



Deshalb habe ich zunächst mal die letztere Eigenschaft verwendet und die Ungleichung so umgeformt:



Aber damit komme ich nicht weiter...die einzige Möglichkeit da weiterzukommen, wäre ja quadrieren, also .


Mein anderer Ansatz war dieser:

Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt:



Also





Aber mein Ziel ist ja folgender Ausdruck . Dafür müsste ich zuerst und in eine Norm bekommen...das ist mir da ja quasi "im Weg".

Ich meine, du hast zwar geschrieben, dass man das geschickt wählen muss, aber du meinst damit ja sicherlich nicht einen bestimmten Wert für - es muss ja beliebig sein.


Nochmals danke. smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Dreiecksungleichung hilft hier leider nicht viel. Diese erhaltene Abschätzung gilt schließlich immer

Zitat:
Aber damit komme ich nicht weiter...die einzige Möglichkeit da weiterzukommen, wäre ja quadrieren, also .

Ja, damit kann man weitermachen. Wenn es um Skalarprodukte geht, kommt eigentlich fast immer etwas, wo man die Linearität ausnutzen muss. Das Skalarprodukt auf der rechten Seite der Ungleichung kann man auseinanderziehen.

Zitat:
Ich meine, du hast zwar geschrieben, dass man das geschickt wählen muss, aber du meinst damit ja sicherlich nicht einen bestimmten Wert für - es muss ja beliebig sein.

Doch genau das meine ich. Die Ungleichung gilt für alle und . Also auch für ein konkret festgelegtes . Wie Du das geschickt wählen kannst, wirst Du aber erst sehen, wenn Du den obigen Schritt vollzogen hast.
Mondstaub Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

.

Ich habe dann zunächst mal rausgezogen:

, das müsste wegen der Linearität ja passen.

Auseinanderziehen:






Oder hätte ich das nicht rausziehen sollen?

Dann wäre das:






Aber an dieser Stelle stecke ich wieder fest.



verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich habe dann zunächst mal rausgezogen:
, das müsste wegen der Linearität ja passen.

Passt aber nicht. unglücklich
Schau Dir die Definition eines Skalarprodukts genauer an.

Zitat:
Oder hätte ich das nicht rausziehen sollen?


Du hast hinten ein vergessen. Folgendes muss rauskommen:


Hier kannst Du ja - wie Du das auch richtig erkannt hast - das rausziehen. Dass hebt sich weg. Außerdem ist das Skalarprodukt symmetrisch, da kannst Du noch was zusammenfassen.

Am Ende hast Du eine Ungleichung, in der nur noch zwei größere Terme auftreten. Dann kannst Du versuchen, das festzulegen.
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke an Reksilat, sitze momentan wohl nämlich am gleichen Übungsblatt wie der Threadersteller

Was mich zum einen verwirrt ist, dass du ein paar mal U erwähnt hast. Ich dachte der dient hier nur zur Definition eines affinen Unterraumes. Täusche ich mich da oder hast du dich verschrieben?

Außerdem ist mir nicht ganz klar, wo genau hier die Affinität einfließt. Wären alle euren bisherige Schritte nicht auch mit einem "gewöhnlichen" Unterraum möglich gewesen?

Hab jedenfalls mal versucht eure bisherigen Ergebnisse nachzuvollziehen und hab jetzt



also

und damit
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kimi_R
Was mich zum einen verwirrt ist, dass du ein paar mal U erwähnt hast. Ich dachte der dient hier nur zur Definition eines affinen Unterraumes. Täusche ich mich da oder hast du dich verschrieben?

Außerdem ist mir nicht ganz klar, wo genau hier die Affinität einfließt. Wären alle euren bisherige Schritte nicht auch mit einem "gewöhnlichen" Unterraum möglich gewesen?

Dass es sich um einen affinen Unterraum handelt, ist essentiell und der Kern dieser Aufgabe. Bisher hat alles damit zu tun.
Das U ist auch kein Schreibfehler. Wenn Du es an irgendeiner Stelle deplaziere findest, dann sag bitte wo und stelle eine konkrete Frage. Ich habe schon einiges dazu geschrieben und will nicht alles einfach so noch mal aufschreiben.

Zitat:
Hab jedenfalls mal versucht eure bisherigen Ergebnisse nachzuvollziehen und hab jetzt

Das stimmt. Jetzt kommt es darauf an, das geschickt zu wählen.

Gruß,
Reksilat.
am121991 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
ich hab das gleiche blatt :-)
also, ich versteh nicht so ganz, zu welchem ziel das führen soll, denn ich soll ja zeigen, dass <w,u_1-u_2> =0 ist, und hier taucht nur ein einziges u auf, demnach stell ich mir auch die frage, wie ich dann alpha wählen soll...?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, senkrecht
Zitat:
Original von Reksilat
Du kannst Dir überlegen, dass ist. Dann siehst Du auch, dass "w senkrecht auf U" gemeint ist.

Das ist der Grund für den Weg, den ich hier vorgeschlagen habe. Und deshalb taucht auch nur ein auf.
Augenzwinkern
am121991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, senkrecht
ahja, ok.
gut das hab ich jetz auch kappiert, aber wie kann ich bitte von einer ungleichung zu einer gleichung kommen... also wenn ich alpha wähle, dann bleibt ja immer noch eine ungleichung übrig, es sei denn alpha is null aber davon gehn wir hoffentlich net aus... würd außerdem ja auch net gehn...
also konkret, bei mir siehts jetz so aus : <u,w> größergleich (alpha^2)/-2alpha <u,u>
wie soll das ne gleichung werden?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, senkrecht
Na wenn Du am Ende so was wie hast, dann folgt daraus auch direkt , da es keine andere Möglichkeit für gibt.
Ähnlich kann man hier folgern.
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, senkrecht
Zitat:
Original von Reksilat
Hallo Mondstaub,

Zitat:
Zeigen Sie nun, dass w senkrecht zu W steht, also dass für alle gilt.

Du kannst Dir überlegen, dass ist. Dann siehst Du auch, dass "w senkrecht auf U" gemeint ist.

Zur Lösung:
Nimm Dir einen beliebigen Vektor . Nun ist für alle , also .

Versuche nun, das umzuformen. Irgendwann wirst Du durch geschickte Wahl des zeigen können, dass ist.

Gruß,
Reksilat.


So, hoffe du hast noch Geduld mit uns/mir Reksilat Augenzwinkern
Meine Frage, ob es sich mit dem U um ein Schreibfehler handelt, bezieht sich auf das hier. Denn die Aufgabenstellung ist ja, zu zeigen, dass unser w aus W senkrecht zu W selber steht und nicht senkrecht zu U

Überhaupt ist mir nicht ganz klar, welche Rolle der Unterraum U hier spielen soll. Ich hab die Aufgabe so verstanden. Wir haben (lediglich)

- Einen euklidischen Vektorraum V
- Einen affinen Unterraum W von V, d.h. es gibt ein v aus V und eine Menge

- Es gibt ein w aus W mit


Und damit soll man zeigen, dass w senkrecht zu W steht, also


das heißt nach meinem Verständis spielt der Unterraum U für diese Aufgabe keine Rolle. Da du dir in deinen Ausführungen sicher zu sein scheinst, heißt das für mich, dass ich die Aufgabenstellung nicht richtig verstanden habe. Jedoch seh ich nicht, was ich übersehen beziehungsweise missverstanden habe
Mondstaub Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also, hier hat sich ja einiges getan. Augenzwinkern

Der letzte Stand der Dinge ist also:



Für z.B. ist dann:




Für mich ist allerdings nicht ganz ersichtlich, ob sich daraus jetzt schon zwingend ergibt, dass gilt (falls überhaupt passend gewählt wurde).
Zumal auf den beiden Seiten der Gleichungen ja unterschiedliche Skalarprodukte stehen (also nicht analog zu deinem Beispiel ).
Über weiß man ja einiges mehr; also, dass nichtnegativ ist, und dass genau dann ist, wenn ist...aber das scheint hier für mich nicht gewinnbringend zu sein.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, senkrecht
@Kimi:
Ich kann nur mit dem arbeiten, was Mondstaub im ersten Thread geschrieben hat. Die Aufgabenstellung erscheint mir da aber sinnvoll, im Gegensatz zu:
Zitat:
Original von Kimi_R
Ich hab die Aufgabe so verstanden. Wir haben (lediglich)

- Einen euklidischen Vektorraum V
- Einen affinen Unterraum W von V, d.h. es gibt ein v aus V und eine Menge

ist ein affiner Unterraum und daher gibt es ein und einen (linearen) Unterraum , mit .
Versuche Dir bitte die Idee hinter einem affinen Unterraum zu verdeutlichen. Zum Beispiel mittels Lehrbüchern, Wiki, Google-Suche,... Dann wirst Du auch sehen, welche Bedeutung hier der Unterraum U hat.

Wenn in der Originalaufgabenstellung kein U vorkommt, dann kann ich das nicht wissen. Letztlich gehört zu einem affinen Unterraum aber eben immer so ein linearer Unterraum U und insofern ist es sinnvoll, diesen zu betrachten.
_______________________

@Mondstaub:
Die Wahl ist hier demnach nicht passend. Augenzwinkern
Du willst ja zeigen, dass ist. Da dies für trivialerweise erfüllt ist, kannst Du annehmen, dass und somit auch ist. Versuch mal Dein auch in Abhängigkeit von und zu wählen.

Gruß,
Reksilat.
tmili Auf diesen Beitrag antworten »
offenburg
bis jetzt kann ich alles nachvollziehen, aber mein problem ist nun auch die wahl von alpha...bis jetzt habe ich ja eine ungleichung und will eine gleichung rausbekommen..wie geht so was??
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich zum Beispiel gestern 15:17 Uhr was geschrieben. Dort steht, wie man aus einer Ungleichung eine Gleichung folgern kann und sogar recht genau auf diese Aufgabe angepasst.

Gruß,
Reksilat.
tmili Auf diesen Beitrag antworten »
ungleichung -> gleichung
oh sorry dass hab ich wohl zu schnell überflogen..
das klingt ja ganz logisch aber so ganz voranbringen tuts mich leider noch nicht...
man kann ja nicht einfach davon ausgehen dass alpha eine negative zahl ist oder?
also das ist alles ein bisschen verkorkst...
ich hab nämlich angenommen dass alpha negativ ist ohne alpha gewählt zu haben und habe dann durch alpha geteilt wohin sich das zeichen umgedreht hat :
-2<u,w> >= \alpha <u,u>
und hier könnte man dann das alpha so wählen : \alpha = - <u,w>/<u,u> woraufhin folgen würde:
-2<u,w> >= - <u,w>
dann geteilt durch -1
und dann würde sich das zeichen wieder umdrehen und schwupps könnte man hier die erwünschte gleichung folgern..
ist das richtig oder geht da was nicht?
vielen dank für die antwort!!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ungleichung -> gleichung
Zitat:
und hier könnte man dann das alpha so wählen :

Wenn Du Dein so wählst, kannst Du wirklich nicht davon ausgehen, dass negativ/positiv ist, da Du ja nichts über weißt. Aber Du kannst dieses ja mal direkt in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen, dann sparst Du Dir eine Fallunterscheidung und siehst trotzdem gleich die Lösung.
Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

PS: Wenn Du Deine Formeln in die [latex]-Tags setzt, kann man sie gleich viel besser lesen. Schau dazu auf den Link in meiner Signatur.
tmili Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben dank für deine unterstützung!!
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