Messbarkeit

12.05.2011, 14:57

physi12

Messbarkeit

Meine Frage:
Die Frage lautet:

Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} | Q_1 | = | Q_1\cap Q_2 |+| Q_1 - Q_2 | \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe versucht die Definition von Maß zu verwenden.

Leider dürfen wir diese als Definition der Messbarkeit nicht verwenden.

Schon mal danke für die Hilfe

12.05.2011, 14:58

zweiundvierzig

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RE: Messbarkeit

Zitat:

Original von physi12
Meine Frage:
Die Frage lautet:

Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} | Q_1 | = | Q_1\cap Q_2 |+| Q_1 - Q_2 | \end{eqnarray*}$

Die ganze Frage lautet bestimmt nicht so.

12.05.2011, 14:59

physi12

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wir vermuten leider nur, dass Q1, Q2 Quader über R^2 sind

12.05.2011, 15:01

zweiundvierzig

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Und $\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ ?

12.05.2011, 15:03

physi12

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Es steht genau

Q_1,Q_2 Element von "geschwungenes L ???" und n=2 und zeigen sie ... siehe oben

12.05.2011, 15:04

physi12

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I.I heißt das Maß

12.05.2011, 15:10

zweiundvierzig

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Schön, und wie habt Ihr das nun wieder definiert? unglücklich

Geht es hier um das Lebesgue-Maß? Was habt Ihr über Maße schon gelernt? Ohne weitere Angaben ist die Aufgabe völlig unklar.

Edit: Okay, $\begin{eqnarray*} | \cdot | \end{eqnarray*}$ ist immerhin wirklich ein Maß. Sorry, hatte Deinen zweiten Post mit dieser Ergänzung übersehen. Wie kann man denn die Menge $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ geschickt in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$ schreiben?

12.05.2011, 15:26

physi12

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Ja, Lebesgue-Maß stimmt. Wir haben das sowei definiert mit dem Volumen von Quadern und |M|=inf(...)

12.05.2011, 15:52

René Gruber

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Kannst du denn wenigstens schon die Additivität deines $\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ nutzen, also

$\begin{eqnarray*} |A\cup B| = |A|+|B| \end{eqnarray*}$ für disjunkte $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ ?

12.05.2011, 15:56

physi12

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Ja, also wir haben Sigma-Subadditivität definiert: also bei nichtdisjunkten Mengen eine Ungleichung an dieser Stelle.

12.05.2011, 18:35

zweiundvierzig

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Es geht aber schon um echte Additivität für (höchstens abzählbar viele) disjunkte Mengen. Was fällt Dir denn zu meinem vorherigen Hinweis ein?

13.05.2011, 07:28

physi12

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Naja also ich vergesse mal alles was ich sonst so dieses Semester gemacht habe

Q_1 = Q_2-(Q_2-Q_1)+(Q_1-Q_2)

-->

Q_1 = -Q_2

das war jetzt komsich da ich Mengen doch nicht einfach addieren und subtrahieren kann wie ich will oder?

13.05.2011, 12:53

zweiundvierzig

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Was bedeuten hier denn bitte +,-?

Es ging mir erstmal nur darum, dass Du es /mengentheoretisch/ umschreibst. Die Standardverknüpfungen für Mengen kennst D doch.

13.05.2011, 15:49

verdammt noch eins

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Hallo, also ich habe das gleiche Problem wie Physi. Ich weiß aber auch nich, wie da jetzt irgendwas mengentheoretisch umschrieben werden soll. Ich meine, Q1 und Q2 sind doch eigentlich erstmal nur irgendwelche Mengen, die weiter nix miteinander zu tun haben oder sehe ich das falsch?
eRLEUCHTE mich. Bitte^^

15.05.2011, 23:25

physi

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natürlich ist mir klar dass man mengen nicht einfach nur addieren kann da es ja keine Zahlen sind

aber der einzige mengentheoretische Zusammenhang der zwischen den Mengen existiert ist zwangsläufig der zu beweisende

die Mengen sind sonst nicht abhängig sondern komplett beliebig gewählte Mengen

16.05.2011, 00:21

zweiundvierzig

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Wie kann man denn zunächst $\begin{eqnarray*} Q_1 - Q_2 \end{eqnarray*}$ schreiben?

17.05.2011, 18:57

verdammt noch eins

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Na ich kann zB $\begin{eqnarray*} Q_{1} \cup Q_{2} \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} (Q_{2} \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} (Q_{1} \cap Q_{2} )) \end{eqnarray*}$ schreiben. Aber was soll das bringen? Tut mir leid, aber ich weiß nich, um was es gehen soll. Verrat doch mal ein klein wenig mehr, wenn du eine Ahnung hast, auf was das insgesamt hinauslaufen soll!

17.05.2011, 20:30

terri

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Das Problem ist, dass die Additivität für disjunkte Teilmengen nur für messbare Mengen gilt, und wir den Satz, dass Quader messbar sind, nicht benutzen dürfen, dass sollen wir ja faktisch grade zeigen.

Dumme Frage:

In der Aufgabenstellung steht ja, wir sollen den Satz, dass Quader messbar sind, nicht verwenden. Wenn wir den Beweis aber einfach aus der Vorlesung abschreiben ...? Der Rest wäre fast schon trivial.

Noch was:

Kann man irgendwie n=2 benutzen? Sonst wäre das ja wohl kaum angegeben?

18.05.2011, 08:10

blutorange6

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Nochmal konkret die Aufgabenstellung:

Seien Q1, Q2 Quader und Teilmengedes R², d.h darstellbar als Q:=I1xI2. Dabei sind I1,I2 abgeschlossene oder offene Intervalle aus R. Unter diesen Vorraussetzungen soll bereits genannte Relation gezeigt werden, die per Definition äquivalent zu Quader aus R² sind messbar ist. Somit können wir die Messbarkeit von Quadern und daraus folgende Eigenschaften nicht verwenden.
Was bekannt ist:
- v(Q):=L(I1)*L(I2), Volumen eines Quaders ist definiert als Produkt der Intervallängen I=(a1,a2):<=>L(I)=|a2-a1|
- v(Q)=|Q|
- sigma-Subadditivität
- Definition des Lebesguemaßes als infimum der Summen aller Volumina von Quadern einer Quaderüberdeckung
- Maß von offenen Quadern = Maß von abgeschlossenen Quadern
- Das ist Aufgabenteil b, möglicherweise kann Aussage aus a sinnvoll sein, nämlich: N ist Nullmenge=>N hat keine inneren Punkte
- Nullmengen ändern nichts am Maß (d.h. N Nullmenge, M beliebige Menge mit definiertem Maß => |M|=|M\N|)
-Satz4: M Teilmenge R² meßbar<=>R²\M meßbar; und Vereinigung und Durchschnitt meßbarer Mengen aus R² ist meßbar; sowie leere Menge und R² meßbar

Und das wäre es. Was sehr helfen würde, wäre zu zeigen dass für disjunkte Quader Q1,Q2 gilt, dass Maß der Vereinigung Q1 mit Q2 = |Q1|+|Q2|, dann würde die Behauptung schnell folgen. Mit der Definition des Maßes kann man die Quader mit sich selber überdecken und hat dann eine Quaderüberdeckung mit dem Maß |Q1|+|Q2|, aber wie zeige ich, dass es nicht noch eine (Folge von) Quaderüberdeckungen gibt, sodaß das infimum kleiner als |Q1|+|Q2| ist?

Alternativ ein Trick: Nach Satz14, Beispiel gilt:
"stetige Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen sind meßbar"
=> f unglücklich

x1,x2)x(y1,y2) aus R²→R mit f(x,y)=0 ist offenbar stetig und damit meßbar
<=> (per Definition meßbarer Funktionen) (x1,x2)x(y1,y2) ist meßbar und offenbar ein Quader im R²
<=> (per Definition der Meßbarkeit und da x1,x2,y1,y2 beliebig) Behauptung

18.05.2011, 15:21

terri

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Wenn ich das richtig verstanden habe soll die Funktion in deinem alternativen Trick jedem Quader die Null zuordnen (Die Notation ist etwas verwirrend).

Das Problem ist, der Satz 14 gilt nur für Nullmengen.

Ich wiederhole noch mal meine Frage:

Warum sei n=2? Ich meine das muss doch irgendeine Bedeutung haben, außer uns zu verwirren.

Idee: Vielleicht kann man das ganze Zeigen, in dem man die Quader explizit als karteisiches Produkt aus Intervallen schreibt. Dann hätte die Einschränkung n=2 immerhin die Bedeutung, die Notation auf ein erträgliches Maß zu verringern, als würde man allgemein im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ die Behauptung zeigen müssen.

18.05.2011, 18:20

blutorange6

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Zitat:

Original von terri
Wenn ich das richtig verstanden habe soll die Funktion in deinem alternativen Trick jedem Quader die Null zuordnen

Ich verwende nicht Satz 14, sondern das Beispiel 4, was sich direkt daran anschließt. Im Prinzip, definiere Funktion von Quader aus R² nach R, wähle eine Funktion, die stetig ist, z.B. f(x,y)=0 oder f(x,y)=x²+y², dann folgt, Funktion ist messbar laut Beispiel 4 und per Definition ist somit Definitionsmenge messbar, was ja gerade der Quader ist.

Zitat:

Warum sei n=2? Ich meine das muss doch irgendeine Bedeutung haben, außer uns zu verwirren.
Idee: Vielleicht kann man das ganze Zeigen, in dem man die Quader explizit als karteisiches Produkt aus Intervallen schreibt. Dann hätte die Einschränkung n=2 immerhin die Bedeutung, die Notation auf ein erträgliches Maß zu verringern, als würde man allgemein im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ die Behauptung zeigen müssen.

Wir haben heute mit Hr. Dr. Doan gesprochen und seine Idee war:

Fälle Q1 und Q2 disjunkt sowie Q1 Teilmenge von Q2 sind trivial, im Folgenden sei $\begin{eqnarray*} Q1 \cap Q2 \neg \emptyset \neg Q1 \backslash Q2 \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt. Zudem gilt |A|=|cl A|, o.B.d.A seien Quader im Folgenden offene Menge.

Offenbar ( $\begin{eqnarray*} Q1 \cap Q2) \cup (Q1 \backslash Q2) = Q1 \end{eqnarray*}$
Nun gilt:
a) $\begin{eqnarray*} |Q1| \geq |Q1 \cap Q2|+|Q1 \backslash Q2| \end{eqnarray*}$ aufgrund der sigma-Subadditivität.
Nun schreiben wir:
Q1:=(a,b)x(c,d)
Q2:=(a*,b*)x(c*,d*)

o.B.d.A sei a*>a,b*>b,c*>c,d*>d (sonst vertausche Bezeichnungen entsprechend)

und definieren noch drei weitere Quader:
A1:=(a,a*)x(c,d)
A2:=(a*,b)x(c,c*)
A3:=Q1\Q2=(a*,b)x(c*,d)

Offenbar $\begin{eqnarray*} A1 \cup A2 = Q1 \cap Q2 \end{eqnarray*}$

Nun gilt wiederum aufgrund der sigma-Subadditivität:
$\begin{eqnarray*} |Q1 \cap Q2| \geq |A1| + |A2| \end{eqnarray*}$
Und zudem liefert simple Algebra: |A1|+|A2|=v(A1)+v(A2)=(a*-a)*(d-c)+(b-a*)*(c*-c)=(b-a)*(d-c)-(b-a*)*(d-c*)=v(Q1)-v(A3)=|Q1|-|A3|=|Q1|-|Q1\Q2| (v(.) ist das Volumenmaß für Quader)

=> (b) $\begin{eqnarray*} |Q1 \cap Q2| + |Q1 \backslash Q2| \geq |Q1| \end{eqnarray*}$

Aus (a) und (b) => Behauptung.

18.05.2011, 18:26

xenorange6

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Zitat:

Original von blutorange6
Fälle Q1 und Q2 disjunkt sowie Q1 Teilmenge von Q2 sind trivial, im Folgenden sei $\begin{eqnarray*} Q1 \cap Q2 \neg \emptyset \neg Q1 \backslash Q2 \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt. Zudem gilt |A|=|cl A|, o.B.d.A seien Quader im Folgenden offene Menge.

$\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ soll ein Ungleichheitszeichen darstellen. cl (closure) ist der Abschluss einer Menge, ie. Menge+Rand, und der Rand ist als Nullmenge für das Maß egal.

18.05.2011, 18:48

blutorange6

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Zitat:

Original von xenorange6
A1:=(a,a*)x(c,d)
A2:=(a*,b)x(c,c*)
A3:=Q1\Q2=(a*,b)x(c*,d)

Offenbar $\begin{eqnarray*} A1 \cup A2 = Q1 \cap Q2 \end{eqnarray*}$

Korrektur: $\begin{eqnarray*} A3=Q1 \cap Q2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A1 \cup A2 = Q1 \backslash Q2 \end{eqnarray*}$ und nicht umgedreht, ändert aber nichts am Beweis.

18.05.2011, 19:48

terri

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Gut, wenn ich das richtig verstanden habe haben wir nun 2 Beweise:

- dem mit den Trick, wobei ich hier nochmal genau nachlesen werde ob nicht doch irgendwo eine Bedingung verletzt wird (habe gerade noch einmal nachgeschlagen und es sieht gut aus)

- Die Methode von Dr. Doan,
welche ja offentlich auch die zu sein scheint, auf welche wir hätten kommen müssen.

Danke

18.05.2011, 20:17

terri

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Also, wir haben grade den Fehler in deinem "Trick" gefunden:

Die Defintionsmenge deiner Funktion ist nicht der Quader, sondern die Menge aller Quader (also das Mengensystem was wir mit geschwung Q bezeichnen).

Daher völlig unbrauchbar. Lehrer

18.05.2011, 21:20

blutorange6

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Zitat:

Original von terri
Also, wir haben grade den Fehler in deinem "Trick" gefunden:
Die Defintionsmenge deiner Funktion ist nicht der Quader, sondern die Menge aller Quader (also das Mengensystem was wir mit geschwung Q bezeichnen).

Ich bin auch für die andere von mir beschriebene Methode, da die Gültigkeit von Beispiel 4 im Prinzip den Satz 6 nutzt, aber ich bin nicht damit einverstanden, dass die Logik, dass aus der Gültigkeit sich die Behauptung herleiten lässt, falsch wäre:
Nochmal:

Wir wählen eine ganz bestimmte Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \subset R² \to {44} \subset R \end{eqnarray*}$ definiert von einer Teilmenge des R² nach einer Teilmenge des R. Dabei wählen wir noch $\begin{eqnarray*} D:=(x1,x2) \times (y1,y2) \subset R²; f(x \in R²):=44 \end{eqnarray*}$ mit x2>=x1 und y2>=y1 und ansonsten fest, aber beliebig. Offenbar f stetig.

Nun haben wir also eine stetige Funktion, die auf einer offenen Menge definiert ist, nämlich D. Offenbar ist D offen und ein Quader.

Wo siehst du hier eine Menge von Quadern?

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