Untermoduln von Z

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Untermoduln von Z
Hallo,

ich möchte alle -Untermoduln von bestimmen und der Frage nachgehen, wieviele Erzeuger man braucht.

Mir ist allerdings noch nicht so ganz klar, wie ich hier vorgehen muss.

Wenn ich als eindimensionalen Raum auffasse, ist klar, dass ich nur ein Element brauche, um den gesamten Raum zu erzeugen.

Eine Basis für wäre ja .

Ich habe aber keine richtige Idee, wie ich jetzt Untermoduln von finden kann.

Per Definition ist ein Untermodul abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarermultiplikation, und enthält zudem noch das Nullelement.

kann mir da jemand einen tipp geben?

danke schonmal im voraus.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Um eine Idee zu bekommen, in welche Richtung die Aufgabe gehen könnte, vergleiche mal auf Blatt 3 die Aufgabe mit ggT und kgV.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den Hinweis.

Dort haben wir ja gezeigt, dass die Summe zweier Untermoduln gleich dem Erzeugnis des ggT der beiden Erzeuger ist.

Ich vermute demnach, dass es hier auf Teilerfremdheit ankommt.

denn ich kann ja z.B. mit 2 den Untermodul der geraden ganzen Zahlen erzeugen, mit 3 den Untermodul aller durch 3 teilbaren Zahlen, aber mit 4 kann ich bloß einen Untermodul der geraden ganzen Zahlen erzeugen, nämlich den Untermodul der geraden ganzen Zahlen, die zusätzlich noch durch 4 teilbar sind.

Mir ist jetzt aber noch nicht klar, wie ich hier wirklich alle finden kann.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Mache dir klar, dass nach Definition die Z-Untermoduln von Z gerade die Ideale von Z als Ring sind. Und die solltest du kennen.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also ich habe nun noch einmal ein wenig über diese Aufgabe nachgedacht.


juffo-wup's Hinweis zufolge genügt es, die Ideale von zu betrachten.

Ich bin nun zu folgendem Ergebnis gekommen.

Da ein Hauptidealbereich ist, braucht man für jedes Untermodul bzw. jedes Ideal nur einen Erzeuger.

- ist sicherlich schonmal ein Untermodul
- selber auch

- Ideale von sind von der Form , wobei ist.

Wenn ich nun ein habe, mit , dann ist .
Und wenn andererseits , dann ist .

Wenn es aber kein gibt, mit und , dann müsste n doch eine Primzahl sein. Und dann ist doch schon ein maximales Ideal oder?
Und dann ist auch nur der Null-Modul ein Untermodul von , oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChronoTrigger
Wenn es aber kein gibt, mit und , dann müsste n doch eine Primzahl sein. Und dann ist doch schon ein maximales Ideal oder?
Und dann ist auch nur der Null-Modul ein Untermodul von , oder?


Ja, das ist richtig. Äquivalent sieht man das, weil genau dann ein Körper ist, wenn eine Primzahl ist.

Übrigens gilt für jeden Hauptidealring, dass die Primideale schon maximal sind.
 
 
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