Vektorraum der Polynome max. 2. Grades

13.05.2011, 00:55

dreikommadrei

Vektorraum der Polynome max. 2. Grades

Sei der Vektorrum $\begin{eqnarray*} (P_{2} ,+,\mathbb R ,*) \end{eqnarray*}$ gegeben. Dabei ist
$\begin{eqnarray*} P_{2} :=\{p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 | a_0,a_1,a_2\in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ die Menge der Polynome höchstens zweiten Grades. Sei $\begin{eqnarray*} M =\{p_1(x)=x^2-2x+5, p_2(x)=2x^2-3x, p_3(x)=x+3\} \end{eqnarray*}$ .

a) Überprüfen Sie, M ist eine Menge linear Unabhängiger Vektoren.
Lösung:
Sein $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: M ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Beweis.

$\begin{eqnarray*} a*p_1(x)+b*p_2(x)+c*p_3(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(x^2-2x+5)+b(2x^2-3x)+c(x+3)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax^2+2bx^2-2ax-3bx+cx+5a+3c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2(a+2b)+x(-2a-3b+c)+(5a+3c)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus kann ich ja nun ein LGS machen
$\begin{eqnarray*} a+2b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a-3b+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5a+3c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=-2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} a*p_1(x)+b*p_2(x)+c*p_3(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist eindeutig Darstellbar, die Vektoren sind linear unabhängig.

b) Geben Sie $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2+4x-3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} p_1(x),p_2(x),p_3(x) \end{eqnarray*}$ an.

Ich kürze mal ein wenig ab:
$\begin{eqnarray*} a+2b=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a-3b+c=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5a+3c=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=1-2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=6-b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} a=-3 b=2 c=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x)=-3(p_1(x))+2(p_2(x))+4(p_3(x))=-3(x^2-2x+5)+2(2x^2-3x)+4(x+3) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit alles? Darf man das so machen?

13.05.2011, 01:02

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorraum der Polynome max. 2. Grades

Zitat:

Original von dreikommadrei
Sei der Vektorrum $\begin{eqnarray*} (P_{2} ,+,\mathbb R ,*) \end{eqnarray*}$ gegeben. Dabei ist
$\begin{eqnarray*} P_{2} :=\{p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 | a_0,a_1,a_2\in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ die Menge der Polynome höchstens zweiten Grades. Sei $\begin{eqnarray*} M =\{p_1(x)=x^2-2x+5, p_2(x)=2x^2-3x, p_3(x)=x+3\} \end{eqnarray*}$ .

a) Überprüfen Sie, M ist eine Menge linear Unabhängiger Vektoren.

Würde ich "abkürzen": Bzgl. der Monombasis also die Frage ob (2,-2,5), (2,-3,0), (0,1,3) linear unabhängig sind. Das ganze als Matrix schreiben und die Determinante berechenen. Der Ansatz mit LK ist auch korrekt.

b) sieht mir die Idee richtig aus. Probe machen, dann weißt du, ob das Ergebnis auch stimmt.

13.05.2011, 01:09

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorraum der Polynome max. 2. Grades

Zitat:

Original von tigerbine

Würde ich "abkürzen": Bzgl. der Monombasis also die Frage ob (2,-2,5), (2,-3,0), (0,1,3) linear unabhängig sind. Das ganze als Matrix schreiben und die Determinante berechenen. Der Ansatz mit LK ist auch korrekt.

Danke

"abkürzen" kann oder darf ich allerdings nicht glaub ich. Wir haben den Begriff der Determinanten noch nicht eingeführt und man darf ja immer nur Verwenden was man schon kennt. Aber ich schau mir das jetzt mal in Wikipedia an und schaue, ob ich es verstehe.

p.S. Studiere auf Lehramt (GHR) und hab nicht LA1 sondern "Grundzüge der LA". Vielleicht ists deswegen ein wenig länger aber "einfacher" Augenzwinkern

ach ja, die Probe hab ich schon gemacht wollte nur wissen, ob ich das auch alles so machen kann. Tanzen

13.05.2011, 01:12

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorraum der Polynome max. 2. Grades
Auch Lehrern schadet es ja nicht, Dinge aus verschiedenen Blickwinkeln zu sehen. Wink

13.05.2011, 01:13

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich nicht smile

deswegen schaue ich gerade auch schon, was es damit auf sich hat.
wollte damit nur sagen, dass es vielleicht am Studiengang liegt, dass ich davon noch nichts gehört hab smile

13.05.2011, 01:25

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det=(1*-3*3)+(-2*0*0)+(5*2*1)-(5*-3*0)-(1*0*1)-(-2*2*3)=-9+10-(-12)=13 \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} 13\neq 0 \end{eqnarray*}$ sind die lin unabhängig...

richtig?

13.05.2011, 01:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

ja.

13.05.2011, 01:48

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, Danke!
Das geht in der tat deutlich schneller!

Neue Frage »

Antworten »

Vektorraum der Polynome max. 2. Grades

Verwandte Themen