Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*

13.05.2011, 16:54

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*

Meine Frage:
Hallo liebe Menschen smile

smile

WIr haben hier mal wieder eine heitere Aufgabe vor uns!

Es geht darum den Isomorphismus zwischen Z6 und Z7* zu bestimmen.

Genauer gesagt, lautet die Aufgabe:
Bestimmen Sie eine Zahl n ? N mit <Z6 +6> isomorph zu < Z/nZ* , *n> und geben Sie den zugehörigen
Isomorphismus an.

Meine Ideen:
Also bei einer Sache bin ich mir ziemlich sicher: es muss wegen den Kardinalitäten <Z/7Z , *7> sein..
Hab mir dann mal eine Wertetabelle in einem Grafikprogramm aufgebaut und die Zeilen rumgeschoben..
irgendwann ist mir aufgefallen, dass die Menge der neutralen Elemente nicht übereinstimmt.

Aber eigentlich müsste ich doch in einem Isomorphismus die Werte eindeutig zuordnen können..
Na ja und da hänge ich jetzt und frag mich ob es da überhaubt einen Isomorphismus gibt um ganz ehrlich zu sein.

gibt es noch eine Möglichkeit, wie man vorgehen kann, um eindeutig zu beweisen, dass einen, bzw. keinen gibt? Außer mit rumprobieren?

13.05.2011, 16:59

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
sorry, hab gerade gesehen, dass einer genau das gleiche Problem hat..
ich schau erstmal da!

13.05.2011, 17:21

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Diese Aufgabe ist hier auch schon etliche Male vollständig besprochen worden, die Boardsuche wird dir helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2011, 19:13

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*

Zitat:

Original von lgrizu
Hier ist es schon fast schwer, keine Komplettlösung zu liefern.

Du hast richtig erkannt, dass gelten muss f(0)=1, nun ist f(1)=f(0+1)=f(0)*f(1) nach Homomorphiebedingung, nun musst du ein geeignetes f(1) bestimmen, so dass die resultierende Abbildung dann bijektiv wird.

Ich hab gerade mal ein Zitat aus dem anderen thread geklaut
Ich würd dir gerne Fragen dazu stellen:

wenn ich die Wertetabelle von
z*5 verändere :

° 1 2 4 3
------------------
1 1 2 4 3
2 2 4 3 1
4 4 3 1 2
3 3 1 2 4

und die Wertetabelle von z4 daneben stelle sehe ich,
dass jeder Wert aus z4 genau einem Wert aus Z*5 zugeordnet ist.

Was ist denn genau der Grund dafür , dass ich erst mal das neutrale Element
auf das andere neutrale Element abbilden muss,
damit das ganze funktioniert? ( also bei z6 auf z*7 )

kann man als Begründung sagen: das neutrale Element ist in beiden Fällen zu sich selbst invers also können wir sagen, das eine bijektive Beziehung zwischen den neutralen Elementen der beiden Gruppen besteht?

der zweite schritt macht mir etwas kopfzerbrechen..
es scheint ja zunächst egal zu sein, welchen wert ich z.B. der 1 aus z5
zuordne.. wenn ich nur diese Werte betrachte ( also {0 1} in z4 und {1 5} in z*5 ) hab ich ja zunächst eine bijektive Abbildung..

0 -> 1
1 -> 5

..kannst du mir was zur Vorgehensweise sagen?

13.05.2011, 19:45

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Also erst einmal ist das die Eigenschaft eines Homomorphismus, die neutralen Elemente aufeinander abzubilden.

Eine Abbildung, die das nicht tut kann kein Homomorphismus sein, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(a+_1b)=f(a)+_2f(b) \end{eqnarray*}$

Das ist auch schnell gezeigt.

Es ist auch nicht egal, welchen Wert du auf welchen Abbildest, eine bijektive Zuordnung ist schnell gefunden, so lange die Mengen gleichmächtig sind, bei zyklischen Gruppen ist es jedoch sinnvoll, oder besser gesagt unausweichlich, die Erzeuger der Gruppe aufeinander abzubilden.

Nicht jede Bijektion ist auch ein Isomorphismus.

13.05.2011, 20:15

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
danke für die Antwort,

das klingt sehr aufschlussreich. Was passiert denn, wenn die Gruppe kein erzeugendes Element hat, z.B. bei < Z*/8Z , *8 > ?

also mit anderen Worten Z7 -> Z8*

gibts dann deinen keinen Isomorphismus?

Anzeige

13.05.2011, 20:28

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Die beiden Gruppen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^* \end{eqnarray*}$ haben nicht einmal gleich viele Elemente, sind also nicht bijektiv zueinander.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^*=\left\{1,3,7 \right\} \end{eqnarray*}$ , die Verknüpfung ist *.

13.05.2011, 20:41

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Forum Kloppe

Forum Kloppe

hätte ich vor dem post besser mal nachgedacht smile

smile

danke

13.05.2011, 20:43

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Okay, hast du noch Fragen diesbezüglich oder alles so weit klar?

13.05.2011, 21:14

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
dann frag ich natürlich noch was:

du bildest Erzeuger auf Erzeuger ab, das leuchtet ein.
heisst das jetzt im Umkehrschluss, dass es keinen Isomorphismus gibt,
wenn es in der multipl. Gruppe keinen Erzeuger gibt?

wenn das mit dem neutralen Element und dem Erzeuger geklärt ist,
wie mach ich dann weiter? kann ich dann sowas sagen,

3^2 mod 7 = 2 -> kann man sagen, dass das dann das zweite
element im Zyklus ist?

Deswegen 2 -> 2 ?

usw.? das wäre ja ganz nett smile

smile

13.05.2011, 22:43

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*

Zitat:

Original von Spass an Mathe
dann frag ich natürlich noch was:

du bildest Erzeuger auf Erzeuger ab, das leuchtet ein.
heisst das jetzt im Umkehrschluss, dass es keinen Isomorphismus gibt,
wenn es in der multipl. Gruppe keinen Erzeuger gibt?

Einen Isomorphismus von wo nach wo? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Spass an Mathe
wenn das mit dem neutralen Element und dem Erzeuger geklärt ist,
wie mach ich dann weiter? kann ich dann sowas sagen,

3^2 mod 7 = 2 -> kann man sagen, dass das dann das zweite
element im Zyklus ist?

Deswegen 2 -> 2 ?

Du hast nun das Beispiel 3² mod 7 =2 gebracht, du möchtest also die Einheitengruppe von Z_7 betrachten, oder?

Hier ist 3 ein Erzeuger, es ist

$\begin{eqnarray*} 3^1 \equiv 3 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^2 \equiv 2 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^3 \equiv 6 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^4 \equiv 4 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^5 \equiv 5 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^6 \equiv 1 \mod 7 \end{eqnarray*}$ .

Die drei erzeugt also jedes Element der Gruppe.

Für die Homomorphismen gilt:

Sind G und H Gruppen, g ist der Erzeuger von G und h der Erzeuger von H, f sei ein Homomorphismus von G auf H, dann ist mit

$\begin{eqnarray*} f(g)=h \Rightarrow f(g^i)=f(g)^i=h^i \end{eqnarray*}$ f ein Isomorphismus.

Wenn ich ehrlich bion weiß ich jedoch nicht genau, was du meinst mit "...im Zyklus liegen..." und "..es gibt keinen Isomorphismus...".

Man kann zum Beispiel zeigen, dass die Kleinsche Vierergruppe (sie ist nicht zyklisch) nicht isomorph ist zur Gruppe Z_4 (diese ist zyklisch).

14.05.2011, 13:41

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*

Zitat:

Hier ist 3 ein Erzeuger, es ist

$\begin{eqnarray*} 3^1 \equiv 3 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^2 \equiv 2 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^3 \equiv 6 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^4 \equiv 4 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^5 \equiv 5 \mod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^6 \equiv 1 \mod 7 \end{eqnarray*}$ .

Die drei erzeugt also jedes Element der Gruppe.

wer ausser drei ist denn noch erzeuger?
hatte es mal mit den anderen Elementen probiert,,
aber bin zu keinem Ergebnis gekommen..

Zitat:

Für die Homomorphismen gilt:

Sind G und H Gruppen, g ist der Erzeuger von G und h der Erzeuger von H, f sei ein Homomorphismus von G auf H, dann ist mit

$\begin{eqnarray*} f(g)=h \Rightarrow f(g^i)=f(g)^i=h^i \end{eqnarray*}$ f ein Isomorphismus.

wenn der Erzeuger in Z6 die 1 ist, wie muss ich dann ^i verstehen?
dennoch kann man nach der Formel oben ja trotzdem festhalten, dass du
dann die 2 ( 1+1 ) aus Z6 auf 2 (3^2 mod 7 ) aus Z*7 abbildest

3 (1+1+1) -> ( 3^3 mod 7 = 6 )

u.s.w.

nach dem anderen thread zu urteilen würde das ja passen, oder?

mit "im Zyklus liegen" meinte ich einfach nur eine Potenz des Erzeugers.
Aber ich glaub das kannst du getrost vergessen.. Wink

Wink

15.05.2011, 11:16

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*

Zitat:

Original von Spass an Mathe

wer ausser drei ist denn noch erzeuger?
hatte es mal mit den anderen Elementen probiert,,
aber bin zu keinem Ergebnis gekommen..

Es gibt auch Gruppen mit mehreren Erzuegern, so hat die Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung + die beiden Erzeuger 1 und -1.

Zitat:

Original von Spass an Mathe

wenn der Erzeuger in Z6 die 1 ist, wie muss ich dann ^i verstehen?

Hier wäre dann ^i äquivalent zu *i, da die Verknüpfung + ist und wir die i-fache Addition des Erzeugers mit sich selbst betrachten.

Auf der einen Seite steht die Verknüpfung aus der einen Gruppe und auf der rechten Seite die Verknüpfung der anderen Gruppe.

15.05.2011, 11:27

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
ok, dann wäre die korrekte schreibweise

f: homomorphismus

f(g) = h => f(g*i) = f(g)^i = h^i

.. ist für Nicht-Mathematiker etwas verwirrend, wann
man da wie die Notation verändern kann
smile

smile

15.05.2011, 11:36

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Es ist üblich, für Gruppen, egal wie die Verknüpfung ausschaut, die multiplikative Schreibweise zu benutzen.

16.05.2011, 13:44

Spass an Mathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphismus zwischen Z6 und Z7*
Alles klar, vielen dank. Aus der Aufgabe hab ich mit deiner Hilfe einiges gelernt.

Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »