Hauptidealring Erzeuger eines Ideals bestimmen

13.05.2011, 21:56	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptidealring Erzeuger eines Ideals bestimmen Hallo, habe diese Aufgabenstellung bekommen: $\begin{eqnarray} f_{1}:=t^3+27 ; f_{2}:=t^2-t-6 \in \mathbb Q[t]. \end{eqnarray}$ Man zeige, dass $\begin{eqnarray} (f_{1},f_{2}):=\{g_{1}f_{1}+g_{2}f_{2}\|g_{i} \in \mathbb Q[t] \} \end{eqnarray}$ ein Ideal ist. Man finde ein $\begin{eqnarray} g \in \mathbb Q[t] \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} (g)=(f_{1},f_{2}). \end{eqnarray}$ Zu zeigen, dass es sich um ein Ideal handelt war nicht so schwer. Mein Problem ist jetzt aber folgendes: Wie finde ich einen Erzeuger $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ für mein Ideal? Dachte mir, ich wähle zwei beliebige Elemente aus dem Ideal, z.B. $\begin{eqnarray} f_{1},f_{2} \end{eqnarray}$ zerlege die dann in Faktoren und seh mal ob sie da was gemeinsam haben. Was jetzt aber mein Problem war, beide Polynome haben als einzigen Faktor die 1 gleich und die ist, soweit ich es sehe, nicht im Ideal enthalten, denn sonst wäre ja der ganze Polynomring mein Ideal. Wenn ich die Definition meines Erzeugers richtig verstanden hab, ist das ein Polynom mit minimalem Grad, das normiert ist und alle anderen Polynome aus dem Ideal erzeugt. Würde sagen, der kleinste Grad im Ideal ist 2. Sehe nicht, wie ich einen kleineren Grad schaffen soll. Das aber heißt ja, dass $\begin{eqnarray} f_{2} \end{eqnarray}$ bis auf ein Vielfaches mit dem Erzeuger übereinstimmen muss. Ich finde aber kein Element $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q[t] \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} x \cdot g=f_{1} \end{eqnarray}$ . Hab ich irgendwo einen gravierenden Denkfehler? Denn dass ein Ideal vorliegt hab ich bewiesen (es sei denn ich hab mich hier vertan, aber der Beweis ist ja wirklich recht simpel). Dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q[t] \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring ist auch. Das heißt es muss ja einen Erzeuger geben, ich find ihn wohl nur nicht. Würde mich über Hilfe bzw. Anregungen freuen
13.05.2011, 22:17	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptidealring Erzeuger eines Ideals bestimmen Bestimme einmal den ggT von f_1 und f_2.
13.05.2011, 22:38	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptidealring Erzeuger eines Ideals bestimmen Soll ich den über den euklidischen Algorithmus berechnen? Versuch das nämlich grade und ich bekomm schiefe Werte und dreh mich im Kreis...
13.05.2011, 22:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptidealring Erzeuger eines Ideals bestimmen Euklid ist immer gut um nen ggT zu berechnen.
13.05.2011, 22:42	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
So hab das jetzt mal fertig berechnet und hier steht -3 was aber sehr komisch aussieht. Bin mir an sich auch recht sicher mich nicht groß verrechnet zu haben. Hatten den Algorithmus noch nicht in der Uni, hab ihn deswegen nach Wikipedia Anweisung verwendet.
14.05.2011, 13:48	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt nochmal die Faktorzerlegung der zwei Polynome gemacht und bekomme Folgendes: $\begin{eqnarray} f_{1}=(t+3)(t^2-3t+9) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{2}=(t-3)(t+2) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (t^2-3t+9) \end{eqnarray}$ besitzt keine Nullstelle mehr in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , d.h. es zerfällt nicht weiter in Linearfaktoren. Wenn ich mich nicht schwer täusche ist hieraus doch ersichtlich, dass beide Polynome als ggT 1 haben, denn gäbe es ein Polynom mit Grad größer gleich 1, dann müsste das bei der Faktorisierung in beiden Polynomen auftauchen, oder? Dass 1 aber mein Ideal erzeugt ist nicht möglich, da: a) 1 nicht im Ideal enthalten ist (sehe zumindest nicht, dass es so wäre) b) das Ideal nicht ganz $\begin{eqnarray} \mathbb Q[t] \end{eqnarray}$ ist, was ja der Fall wäre, wenn gelten würde $\begin{eqnarray} (1)=(f_{1},f_{2}) \end{eqnarray}$
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »