Inkreisgleichung

15.05.2011, 13:45

alcardaalanda

Inkreisgleichung

Hallo zusammen.

Ich stehe vor einem Problem: Ich habe hier einen Text vor mir liegen, in dem plötzlich eine Inkreisgleichung eines Dreiecks auftaucht, die ich nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen?

Ausgangslage:
Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein Dreieck mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Berührungspunkte des Inkreises. (respektive auf den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Dann ergeben sich für die Berührungspunkte die baryzentrischen Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} D = (0, (a+b-c), (a-b+c)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = ((a+b-c), 0, (-a+b+c) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} F = ((a-b+c), (-a+b+c), 0) \end{eqnarray*}$ .

Der Inkreis berührt natürlich (auf die baryzentrischen Koordinaten bezogen) die Gerade $\begin{eqnarray*} X = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} F. \end{eqnarray*}$

Dann wird hier folgende Inkreisgleichung aufgestellt, die ich jedoch nicht verstehe:

$\begin{eqnarray*} (-a+b+c)²X²+(a-b+c)²Y²+(a+b-c)Z²<br /> -2(-a+b+c)(a-b+c)XY-2(a-b+c)(a+b-c)YZ-2(a+b-c)(-a+b+c)ZX=0 \end{eqnarray*}$

Natürlich erkenne ich die baryzentrischen Koordinaten als Vorfaktoren wieder, dennoch übersteigt diese Gleichung irgendwie mein Verständnis, vor allem, da sie in dem Text plötzlich aus heiterem Himmel fällt. Ich habe mich auch schon mit meinem Professor darüber unterhalten und er verunsichert mich noch zusätzlich, da er Probleme hat, das überhaupt als Kreisgleichung anzusehen, da er meinte, das würde nach einer Ellipsengleichung aussehen.

Die Gleichung stimmt aber, da mit Hilfe dieser Gleichung noch an mehreren Punkten überprüft wird, ob sie auf dem Kreis liegen.

Wie gesagt - es hapert einfach am Verständnis dieser Gleichung. Vielleicht kann mir einer von euch die Logik ja ein bisschen näher bringen?

Grüße
alcardaalana

16.05.2011, 18:23

Leopold

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Das ist schon die Gleichung des Inkreises. Wenn nämlich $\begin{eqnarray*} W,\varrho \end{eqnarray*}$ Inkreismittelpunkt und -radius sind, dann liegt ein Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann und nur dann auf dem Inkreis, wenn

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WP}^{\, 2} = \varrho^2 \end{eqnarray*}$

gilt (links steht das Skalarprodukt von Vektoren). Sind nun $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X+Y+Z=1 \end{eqnarray*}$ die baryzentrischen Koordinaten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WP} = X \cdot \overrightarrow{WA} + Y \cdot \overrightarrow{WB} + Z \cdot \overrightarrow{WC} \end{eqnarray*}$

Das setzt man oben ein und erhält, wenn man ausquadriert und sortiert:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ X^2 \, \overrightarrow{WA}^{\, 2} + Y^2 \, \overrightarrow{WB}^{\, 2} + Z^2 \, \overrightarrow{WC}^{\, 2} - \varrho^2 + 2XY \, \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WB} + 2XZ \, \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WC} + 2YZ \, \overrightarrow{WB} \cdot \overrightarrow{WC} = 0 \end{eqnarray*}$

Mit dem Satz des Pythagoras erkennt man die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WA}^{\, 2} = \varrho^2 + \frac{1}{4} (-a+b+c)^2 \, , \ \ \overrightarrow{WB}^{\, 2} = \varrho^2 + \frac{1}{4} (a-b+c)^2 \, , \ \ \overrightarrow{WC}^2 = \varrho^2 + \frac{1}{4} (a+b-c)^2 \end{eqnarray*}$

Damit geht man in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ , multipliziert aus und faßt die Glieder neu zusammen:

$\begin{eqnarray*} \text{(**)} \ \ \frac{1}{4} (-a+b+c)^2 X^2 + \frac{1}{4} (a-b+c)^2 Y^2 + \frac{1}{4} (a+b-c)^2 Z^2 + \varrho^2 \left( X^2 + Y^2 + Z^2 - 1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2XY \, \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WB} + 2XZ \, \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WC} + 2YZ \, \overrightarrow{WB} \cdot \overrightarrow{WC} = 0 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} X+Y+Z=1 \end{eqnarray*}$ folgt durch Quadrieren $\begin{eqnarray*} X^2 + Y^2 + Z^2 = 1 - 2XY - 2XZ - 2 YZ \end{eqnarray*}$ . Das verwendet man in $\begin{eqnarray*} \text{(**)} \end{eqnarray*}$ für die Klammer bei $\begin{eqnarray*} \varrho^2 \end{eqnarray*}$ , multipliziert wieder aus und erhält

$\begin{eqnarray*} \text{(***)} \ \ \frac{1}{4} (-a+b+c)^2 X^2 + \frac{1}{4} (a-b+c)^2 Y^2 + \frac{1}{4} (a+b-c)^2 Z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2 \left( \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WB} - \varrho^2 \right) XY + 2 \left( \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WC} - \varrho^2 \right) XZ + 2 \left( \overrightarrow{WB} \cdot \overrightarrow{WC} - \varrho^2 \right) YZ = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist man kurz vorm Ziel. Es gilt nämlich, weil der Inkreisradius senkrecht auf der Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ steht:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WB} = \left( \overrightarrow{WF} + \overrightarrow{FA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{WF} + \overrightarrow{FB} \right) = \overrightarrow{WF}^{\, 2} + \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} \end{eqnarray*}$

Hier ist einerseits $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WF}^{\, 2} = \varrho^2 \end{eqnarray*}$ und andererseits

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = \frac{1}{2} (-a+b+c) \cdot \frac{1}{2} (a-b+c) \cdot \cos \pi = - \frac{1}{4} (-a+b+c)(a-b+c) \end{eqnarray*}$

Und zusammen gibt das

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WB} = \varrho^2 - \frac{1}{4} (-a+b+c)(a-b+c) \end{eqnarray*}$

Analog berechnet man die anderen Skalarprodukte. Und jetzt vergleiche mit den Klammern in $\begin{eqnarray*} \text{(***)} \end{eqnarray*}$ .

16.05.2011, 18:55

alcardaalanda

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Wow! Vielen herzlichen Dank für diese sehr gute und ausführliche Erklärung! Das hat mir sehr weitergeholfen.

Eine kleine Frage hätte ich allerdings noch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WA} \cdot \overrightarrow{WB} = \left( \overrightarrow{WF} + \overrightarrow{FA} \right) \cdot \left( \overrightarrow{WF} + \overrightarrow{FB} \right) = \overrightarrow{WF}^{\, 2} + \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} \end{eqnarray*}$

Wieso kürzen sich hier $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WF} \cdot \overrightarrow{FB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WF} \cdot \overrightarrow{FA} \end{eqnarray*}$ gegenseitig weg? Das würde doch bedeuten, dass der Inkreis die Seite c genau in der Mitte berührt, beziehungsweise dass der Inkreismittelpunkt die gleiche Entfernung zu den Eckpunkten A und B hat oder habe ich da noch einen Denkfehler drin?

Edit: Hat sich schon erübrigt. Wie schon von dir erwähnt, steht der Radius ja senkrecht auf der Seite. Dementsprechend ist natürlich das Skalarprodukt von

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WF} \cdot \overrightarrow{FB} = 0 = \overrightarrow{WF} \cdot \overrightarrow{FA} \end{eqnarray*}$

16.05.2011, 19:34

HAL 9000

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(hat sich erledigt)

17.05.2011, 00:20

alcardaalanda

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Okay, eine kleine Sache ist da doch noch:

Zitat:

Sind nun $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X+Y+Z=1 \end{eqnarray*}$ die baryzentrischen Koordinaten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WP} = X \cdot \overrightarrow{WA} + Y \cdot \overrightarrow{WB} + Z \cdot \overrightarrow{WC} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz. Hier wird doch die Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{WP} \end{eqnarray*}$ berechnet, wenn ich mich nicht irre... ?

Wieso verträgt sich das denn hier mit den orientierten Dreiecksflächen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ?

Habe versucht, das mal an einem selbst konstruierten Dreieck nachzuvollziehen, aber irgendwie passt das mit den Werten gar nicht.

17.05.2011, 01:05

alcardaalanda

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Nein, ich habe in meiner Zeichnung einen Fehler gehabt. Es ist anscheinend wirklich so, dass ich, wenn ich von M aus starte und diesen Vektorzug baue, genau beim Punkt P lande. Aber die Frage, warum das nun gerade so ist, konnte ich mir dadurch leider noch nicht beantworten.

Inwieweit spielen da die orientierten Dreiecksflächen mit ein und weshalb verhalten sie sich in dieser Rechnung so "gutartig?".

17.05.2011, 07:26

Leopold

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Das ist eine grundlegende Eigenschaft der baryzentrischen Koordinaten: Wenn $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ irgendein Punkt ist und $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ die baryzentrischen Koordinaten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sind, dann gilt immer

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \overrightarrow{OP} = X \, \overrightarrow{OA} + Y \, \overrightarrow{OB} + Z \, \overrightarrow{OC} \end{eqnarray*}$

und zwar völlig unabhängig, von welchem $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ man ausgeht. Im vorliegenden Fall habe ich konkret $\begin{eqnarray*} O=W \end{eqnarray*}$ genommen (natürlich um auf die gesuchte Gleichung zu kommen). Man kann für $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ auch einen anderen Punkt wählen und bekommt damit andere Zusammenhänge. So liefert in einem kartesischen Koordinatensystem $\begin{eqnarray*} O = \text{Ursprung} \end{eqnarray*}$ die kartesischen Koordinaten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ (Begriff des Ortsvektors).

Um zu sehen, daß $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ in der Darstellung $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ durch jeden anderen Punkt $\begin{eqnarray*} O' \end{eqnarray*}$ ersetzt werden kann, addiere auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{O'O} \end{eqnarray*}$ und verwende dann auf der rechten Seite, daß man wegen $\begin{eqnarray*} X+Y+Z=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{O'O} = X \, \overrightarrow{O'O} + Y \, \overrightarrow{O'O} + Z \, \overrightarrow{O'O} \end{eqnarray*}$ schreiben kann.

Was hat das nun mit dem anderen Zugang über die orientierten Dreiecksflächen zu tun?

Nehmen wir die Hessesche Normalform der Geraden $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ Normaleneinheitsvektor von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Ein Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegt also dann und nur dann auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , wenn

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Wir wählen die Orientierung von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ so, daß die Höhe

$\begin{eqnarray*} h_c = \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ positiv ausfällt.

Ist nun $\begin{eqnarray*} d_c \end{eqnarray*}$ der orientierte Abstand eines Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , also positiv gerechnet, wenn $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf derselben Seite von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ liegt, und negativ gerechnet, wenn $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ liegt, so gilt

$\begin{eqnarray*} d_c = \vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} \end{eqnarray*}$

Jetzt verwenden wir die Darstellung $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ speziell für $\begin{eqnarray*} O=A \end{eqnarray*}$ und erhalten

$\begin{eqnarray*} d_c = \vec{n} \cdot \left( Y \, \overrightarrow{AB} + Z \, \overrightarrow{AC} \right) = Y \, \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} + Z \, \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = Z \cdot h_c \end{eqnarray*}$
Definiert man $\begin{eqnarray*} d_a,h_a,d_b,h_b \end{eqnarray*}$ entsprechend, so erkennt man

$\begin{eqnarray*} X = \frac{d_a}{h_a} \, , \ \ Y = \frac{d_b}{h_b} \, , \ \ Z = \frac{d_c}{h_c} \end{eqnarray*}$

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