MEnge aller Abbildungen, Halb/Gruppe/Monoid

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Donny Auf diesen Beitrag antworten »
MEnge aller Abbildungen, Halb/Gruppe/Monoid
Hallo.

Es handelt sich um folgende Aufgabe:

Sei

und



die Menge aller Abbildungen von nach .

a) Geben Sie alle Elemente von F (in Form ihrer Wertetabelle) an.

Was soll das hier für eine Wertetabelle werden? Normalerweise kenne ich das nur mit oder

Sind die beiden gemeint?

b) Die Verknüpfung von Abbildungen definiert eine Operation auf F. Bestimmen Sie die zugehörige Kompositionstafel.

Äh, was genau ist hier mit Kompositionstafel gemeint? Meint Komposition nicht verknüpfung? Damit ist dann die Tabelle von gemeint, oder?

Viele Grüße
Donny
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst für jede Funktion ihre Wertetabelle angeben. Sei z.B. definiert durch

.

Dann soll die Wertetabelle so aussehen:

.

Zitat:
Original von Donny
b) Die Verknüpfung von Abbildungen definiert eine Operation auf F. Bestimmen Sie die zugehörige Kompositionstafel.

Äh, was genau ist hier mit Kompositionstafel gemeint? Meint Komposition nicht verknüpfung? Damit ist dann die Tabelle von gemeint, oder?

Ja, Komposition heißt Verknüpfung. Aber es nicht die Verknüpfungstabelle von gemeint (was auch immer das in diesem Zshg. bedeuten soll), sondern die von .

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Und was gibt es noch für Möglichkeiten für die Funktion?

.

Gilt dann auch:

.

.

??

Zu b, ist das nicht einfach für f_1


.

Ist das so gemeint?

Viele Grüße
Donny
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auch und sind solche Funktionen!
Zu b): Nein, du sollst folgende Tafel bestimmen:



Dabei ist die Veknüpfung zweier Funktionen eben als Hintereinanderausführung dieser definiert.

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Nabend.

Gibt es bei a denn noch mehr Funktionen?

Und wie soll b) funktionieren?

Also

und

Oder wie berechne ich das? Etwa einzeln?

.


Gruß Donny
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst jede Verknüpfung direkt ausrechnen. Z.B. ist



und

,

also .

Gruß MSS
 
 
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Danke, das habe ich verstanden. Ich fasse noch einmal alles zusammen und habe die Wertetabelle:













Alles mit allem verknüpft habe ich die Tabelle:




Nun lautet die Aufgabe

Ist (F,\circ) eine Halbgruppe/Monoid/Gruppe? Gib gegebenfalls das neutrale Element sowie alle invertierbaren Elemente an.


Was genau muss ich hier machen? Also die Kriterien sind ja

Gruppe:

1) (a*b)*c = (a*b)*c
2) e*a=a
3) a'*a=e (a' ist das inverse)

evtl. heißt die Gruppe abelsch, wenn gilt a*b = b*a

Nur wie prüfe ich das jetzt? Setze ich z. B. für a Null (Überstrich) ein und für b eine Eins (Überstrich)? Ich glaube, das hilft mir nicht?

Halbgruppe:
1) e*a = a*e = a
2) b*a=a*b=e
mit

Monoid:
1) (a*b)*c = (a*b)*c
2) e*a=a

Wie prüfe ich das jetzt?
Eine Antwort wie Einsetzen bringt mich nicht weiter, ich weiss nicht, was da eingesetzt werden soll unglücklich

Viele Grüße
Donny
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da sollen wieder die Funktionen eingesetzt werden! An der Tabelle erkennt man alles auch sehr gut.

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.



Die Funktionen soll ich da einsetzen, z. B. f_1






(also das Mal-Zeichen ist nach meiner Betrachtung ein Verknüpfungskuller)

Oder für

f_2




Dann ist e=f_1

War das so gemeint?

Und bei

da sage ich dann z. B.




Und dann gucke ich an Hand der Tabelle, ob das zutrifft?

Und beim Inversen?
3) a'*a=e (a' ist das inverse)

wenn a= f_1 ist

a' * f_1 = e

Was ist dann e und was ist a'? Und e kenne ich ja auch nicht?!
Achso, ist f_2 das inverse? Weil da sind die Null und Eins ja vertauscht.

Aber f_2 * f_1 waere dann ja f_2

Das ist komisch?!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Viel zu konfus. unglücklich
Du sollst eine Funktion von den vier Funktionen finden, sodass



gilt. Guck dir mal die zweite Zeile und die zweite Spalte deiner Tabelle an. Welche Funktion könnte das wohl sein?

Zitat:
Original von Donny
Und bei

da sage ich dann z. B.




Und dann gucke ich an Hand der Tabelle, ob das zutrifft?

Das wäre viel zu kompliziert. Zeige einfach für drei beliebige Abbildungen :

.

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Servus.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Viel zu konfus. unglücklich
Du sollst eine Funktion von den vier Funktionen finden, sodass



gilt. Guck dir mal die zweite Spalte und die zweite Spalte deiner Tabelle an. Welche Funktion könnte das wohl sein?



!?

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Donny
Und bei

da sage ich dann z. B.




Und dann gucke ich an Hand der Tabelle, ob das zutrifft?

Das wäre viel zu kompliziert. Zeige einfach für drei beliebige Abbildungen :

.

Gruß MSS


Und wie genau definiere ich h und f und g? Als nichts weiter!? Quasi ist das schon Ergebnis, mehr muss ich nicht machen? ODer muss ich da noch etwas einsetzen oder wie?


Und was mache ich beim inversen? e= f_1 und a = f.

Und dann suche ich a'?
Was wäre denn dann a'? ?

Danke für deine fleißige Hilfe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, ist das neutrale Element. Zur Assoziativität:



und

.

Zum Inversen: Guck wieder in die Tabelle: Gibt es zu eine Funktion, die verknüpft mit wieder ergibt? Entsprechendes für die anderen Funktionen.

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zum Inversen: Guck wieder in die Tabelle: Gibt es zu eine Funktion, die verknüpft mit wieder ergibt? Entsprechendes für die anderen Funktionen.


Ja, die gibt es,

für
f_1 \circ f_1 = f_1
f_2 \circ f_2 = f_1
f_3 \circ f_3 = f_3
f_4 \circ f_4 = f_4

So war das aber wohl nicht gemeint?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Für z.B. soll der Satz heißen: Gibt es zu eine Funktion, die verknüpft mit dann ergibt?

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist f_2.

Und dasselbe muss ich dann auch für f_1 und f_3 und f_4 machen? Dass am Ende f_1 heraus kommt?
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Also weil gilt,




inverse Elemente

gilt aber nicht für




Somit handelt es sich um keine Gruppe?!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und und besitzen dann also Inverse, und jedoch nicht.
Aber was für eine Struktur ist es denn nicht? Eine Halbgruppe? Ein Monoid? Keins von beiden?

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also es ist keine Gruppe? Weil das mit dem Inversen nicht vollständig erfüllt ist (oder reicht da, dass man das f_1 nur für das f_1 und f_2 findet?)

Bei einer Halbgruppe hätte ich auch wieder das Definitionsproblem mit dem Inversen.

Es ist Monoid, weil wir doch schon die Axiome:

1) (a*b)*c = a*(b*c)
2) e*a=a

gezeigt haben.

Wobei ein Monoid ja eine Halbgruppe mit neutralem Element ist. Folglich müssten wir auch eine Halbgruppe haben. Und dann hätten wir auch wieder eine Gruppe, weil ich ja nur am Inversen am Zweifeln war.

Folglich haben wir Monoid, Gruppe und Halbgruppe geschockt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Donny
also es ist keine Gruppe? Weil das mit dem Inversen nicht vollständig erfüllt ist (oder reicht da, dass man das f_1 nur für das f_1 und f_2 findet?)

Richtig, es ist keine Gruppe, weil nicht zu jedem Element ein Inverses existiert!
Wie kommst du darauf, dass in einer Halbgruppe Inverse existieren müssten? Das ist schlichtweg falsch! Sieh dir die Definition einer Halbgruppe nochmal an! Als Ergebnis solltest du dann erhalten:

Es ist eine Monoid (also im speziellen auch eine Halbgruppe).

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag.

Also für eine Halbgruppe gilt nur das Kriterium:
(a*b)*c=a*(b*c)

Folglich haben wir Halbgruppe und Monoid. Habe ich es jetzt? Freude
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Freude

Gruß MSS
Donny Auf diesen Beitrag antworten »

Okay smile
Vielen Dank für deine 1000 Antworten, ich habe dabei richtig etwas gelernt Freude
Danke Dir.
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