Normalteiler |
15.05.2011, 16:56 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Normalteiler Sei (G,o) eine Gruppe, U eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G. Zeigen sie U geschnitten mit N ist ein Normalteiler von U. Meine Ideen: So habe jetzt gesagt das U geschnitten mit N = P ist um das zu vereinfachen. Da P nur aus Elementen besteht die auch Element von U sind ist P eine Teilmenge von U. Nun zeige ich das P eine gruppe ist: Assoziativität gegeben weil U schon assosiativ ist. Da U und N ein neutrales Element e enthalten ist dieses auch im Schnitt der beiden enthalten und somit auch in P. Da U und N zu jedem ihrere Elemente auch das inverse enthalten, da sie abgeschlossen sind bzgl. Mutliplikation und Addition, ist wenn x element von U und N im Schnitt liegt auch das Inverese zu x im Schnitt. Daher hat P sowohl das neutrale elemente als auch zu jedem seiner Elemente das Inervse. Somit ist P eine Untergruppe von U. Aber wie zeige ich nun das es auch ein normalteiler ist?! Wir haben den Normalteiler so definiert das wenn Linksnebenklasse= Rechtsnebenklasse ist dann ist es ein normalteiler. Wie zeige ich das nun?! Kann ich zeigen irgendwie das mein Schnitt also P abelsch ist und somit ein Normalteiler? |
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15.05.2011, 17:59 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte so angesetzt. Zu zeigen ist ja für . Das umgeschrieben: , denn sei , dann gilt doch , da abgeschlossen (Untergruppe) und , da Normalteiler. Ibn Batuta |
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15.05.2011, 18:29 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ALso erweiterst du mit u^-1? Und dann steht auf beiden seiten das gleiche und das ist der beweis?! |
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15.05.2011, 18:56 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, was ist denn die Definition eines Normalteilers? Ibn Batuta |
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15.05.2011, 19:34 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja eben g o U = U o g ist. in diesem fall : u o (U geschnnitten mit N) = (U geschnitten mit N) o u Eine andere definition hatten wir nicht. |
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15.05.2011, 20:00 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Allerdings verstehe ich nun nicht, was du
damit meinst? Weiter oben steht der Beweis schon ziemlich ausführlich. Ibn Batuta |
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15.05.2011, 20:04 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du erweiterst doch u o (U geschnitten mit N) mit u^-1 oder? Und erhälst dann (U geschnitten mit N) oder? |
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15.05.2011, 20:12 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das erhalte ich nicht automatisch - zumindest ist es auf den ersten Blick nicht offensichtlich. Das muß man aber erstmal begründen. Was gilt für ein ? Ibn Batuta |
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15.05.2011, 20:23 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja für v element (U geschnnitten mit N) gilt das u o v = v o u oder? |
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15.05.2011, 20:28 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sollst du ja zeigen... Ibn Batuta |
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15.05.2011, 20:43 | Leagil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja aber wie tue ich das?? Sorry versteh den Beweis oben nicht.. Auch nicht wie du auf u^-1 kommst... |
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15.05.2011, 20:52 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du zeigst es, so wie ich dir das oben schon geschildert habe. Ich mache das nun zum letzten Mal. Zu zeigen ist für . Das forme ich nun um: Nun picke ich mir ein Element in , meinetwegen , das ja offensichtlich in als auch in liegt. Dann gilt: . Zu begründen ist: Warum ist und warum ist ? Ibn Batuta |
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