Lösungsmenge von det(A)=0

15.05.2011, 18:59

Elian

Lösungsmenge von det(A)=0

Meine Frage:
Hallo,

folgende Matrize mit den Variablen x, y liegt vor und ich soll berechnen, für welche x, y die Determinante 0 ist.

Die Matrix ist aus dem Raum R^4x4 (4 Kreuz 4)

Als Ergebnis erhalte ich eine quadratische Form, die mir bekannt vorkommt, und auf die ich irgendwie bestrebt bin die PQ-Formel anzuwenden.

Meine Ideen:
Berechne und skizziere die Menge aller (x, y) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ für die gilt:
$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ 17 & 4 & -1 & 1 \\ 45 & 6 & -3 & 1 \\ 41 & 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Laplace'sche Entwicklung nach 1. Zeile am sinnvollsten (denke ich):

=>

$\begin{eqnarray*} -8x^{2} - 8y^{2} + 64x - 48y - 168 = 0 \end{eqnarray*}$

15.05.2011, 22:04

lordofcard98

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hatte zwar sowas noch nicht,aber wenn du einfach die gleichung durch -8 teilst und dann PQ Formel anwendest müsste es doch gehen,wobei du den rest also auch die Zahlen mit y als "eine" zahl ansiehst also als q...,denn x^2+px+q=0...wie gesagt hatte es noch nicht,aber müsste doch theoretisch funktionieren

15.05.2011, 22:11

Elian

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Danke, bin im Moment ziemlich fertig und werde am Montag nochmal dran sitzen.
Ich habe schon einen Tipp bekommen, quadratische Ergänzung und Quadrikeln, aber damit kann ich irgendwie nichts anfangen.
Morgen sehe ichw eiter.

15.05.2011, 22:17

Dopap

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gut, vereinfacht zu

$\begin{eqnarray*} x^2 +y^2 -8x+6y=-21 \end{eqnarray*}$

mit quadratischer Ergänzung wäre evtl. ein Kreis möglich...

15.05.2011, 22:37

Elian

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Sorry, aber ich bin im Moment ziemlich am Ende mit meinem Latein und muss um 4 aufstehen. Werde mich morgen nochmal intensiv an die Arbeit damit machen und möglichst am frühen Abend meine Ergebnisse und Fragen hier vortragen.

16.05.2011, 19:54

Elian

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Leider komme ich mit der quadratischen Ergänzung nicht zurecht.
Habe mir sagen lassen, dass es in die Form der Kreisgleichung mit r=2 gebracht werden kann, aber ich scheitere schon an dem Binom.

Soweit bin ich noch immer bei:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-8x+6y+21=0 \end{eqnarray*}$
Soll aber die auf die Kreisgleichung mit r=2 kommen:
$\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=2^2 \end{eqnarray*}$

Laut Plotter ergibt das ganze eine art Ei, das mit einer Spitze von oben in die Ebene die durch y=0 dargestellt wird, eintaucht.
Dadurch ergibt sich natürlich eine Lösungsmenge für Y=0 die durch einen Kreis dargestellt wird.

17.05.2011, 11:39

Elian

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Mit der quadratischen Ergänzung kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} (x-4)^{2}+(y+3)^{2}=4 \end{eqnarray*}$
mit r=2 (Angabe aus der Aufgabe) ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} (x-4)^{2}+(y+3)^{2}=2^{2} \end{eqnarray*}$
Dies ist die besagte Kreisgleichung, deren Mittelpunkt dargestellt wird durch die Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} x_0=-4, y_0=3, => M(-4, 3) \end{eqnarray*}$

Die geforderte Lösungsmenge liegt auf dem Kreis, der mit dem Radius r=2 um den Kreismittelpunkt auf der Ebene y=0 rotiert.

Am Donnerstag weiß ich sogar, ob das überhaupt richtig ist. Big Laugh

17.05.2011, 15:56

juffo-wup

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Zitat:

Original von Elian
Am Donnerstag weiß ich sogar, ob das überhaupt richtig ist. Big Laugh

Es ist, bis auf einen Vorzeichenfehler. Der Mittelpunkt des Kreises ist $\begin{eqnarray*} (4,-3). \end{eqnarray*}$
Außerdem ist es ein bisschen seltsam zu sagen, dass der Kreis rotiert. Es geht ja nur um den Kreis als Bestandteil der x-y-Ebene.

17.05.2011, 19:02

Elian

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Zitat:

Original von juffo-wup
Es ist, bis auf einen Vorzeichenfehler. Der Mittelpunkt des Kreises ist $\begin{eqnarray*} (4,-3). \end{eqnarray*}$
Außerdem ist es ein bisschen seltsam zu sagen, dass der Kreis rotiert. Es geht ja nur um den Kreis als Bestandteil der x-y-Ebene.

Oh, da habe ich wohl nicht darauf geachtet, dass durch die Kreisgleichung die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_0 \end{eqnarray*}$ natürlich umgekehrt werden müssen, will man die Koordinaten erhalten.

Das ist natürlich falsch, ich meinte , dass die Lösungsmenge alle Zahlen sind, (wie in der Aufgabe gefordert, in R) die auf diesem Kreisumfang liegen.

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