Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe

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fikus Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe
Folgende Aufgabe:

Bestimmen sie die ANzahl der Elemente, die Einheitengruppen, die Nullteiler, ale Unterringe und alle Ideale der Ringe Z/(4), Z/(103), Z/(25).

Alsoo was ich bis jetzt habe:

Z/(4)

Anzahl der Elemente:
da weiß ich jetzt nicht was gemeint ist ... vlllt {0,1,2,3} also 4 Elemente?!

Einheitengruppen:
[0] nein per Definition
[1] ja, [1] * [1] = [1]
[2] nein, denn ... 2*a = 1+4*k , da der linke Teil gerade und der rechte gerade keine Gleichheit --> widerspruch
[3] ja, denn -- 3*a=1+4*k , ... siehe [2]

Nullteiler:generell umgekehrt zu einheitengruppen
[0] ja
[1] nein
[2] ja, [2] * [2] = [0]
[3] nein

Unterringe:
Definition: S TEilmenge R, a) 1R ist aus S , für alle a,b aus S gilt a-b, a*b aus S
b) S mit Verknüpfung von R Ring
Wie wende ich das jetzt auf mein Problem an?!

Ideale:
Definition: Teilmenge I eines Ringes R, a) I Untergruppe von (R,+)
b) r aus R, a aus I --> r*a aus I, a*r aus I

Hier wüsste ich jetzt auch nicht wie cih das zum Beispiel auf Z/(4) anzuwenden hätte.

Ich hoffe das was ich bis jetzt habe ist soweit richtig und das ihr durch meinen krams hier durchblicken könnt und mir vllt auf die Sprünge helfen könntetsmile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe
Nullteiler sind die Elemente a,b ungleich null, für die gilt a*b=0. Die 0 selbst ist also kein Nullteiler.
Die Einheiten sind die zu 4 teilerfremden Zahlen, also 1,3, richtig.

Die Unterringe müssen nicht zwangsläufig die 1 enthalten, wohl aber die Null, also existiert zum Beispiel ein Unterring, der nur die 0 enthält (trivialer Weise). Ein weiterer enthält die 0 und die 2 (kann man leicht überprüfen).

Jedes Ideal muss die 0 enthalten, damit existiert schon einmal das triviale Ideal, das nur die 0 enthält und das triviale Ideal, das gleich dem gesamten Ring ist.

Du kannst dir ja einmal die Menge anschauen, die die 0 und die 2 enthält, was ist mit der Menge, die die 0 und die 1 enthält?

Wenn R ein Ring ist, so ist I genau dann ein Primideal, wenn gilt R/I ist ein Integritätsbereich.

I ist ein maximales Ideal, wenn R/I ein Körper ist, so kann man schon mal ein Ideal finden.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe
Zitat:
Original von fikus
Nullteiler:generell umgekehrt zu einheitengruppen

Das ist falsch, betrachte beispielsweise die ganzen Zahlen
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke erstmal

jetzt nochmal zu den unterringen meine axiome für einen unterring sind 1 element aus dem UNterring und a-b und a*b sind aus dem unterring
sowie das der unterring mit der verknüpfung des ringes selber wieder einen ring ergibt.

wie ist das jetzt genau mit dem 1 -element bei dem laut dir trivialen unterring 0 . warum muss die 1 nicht enthalten sein, obwohl dies die definition besagt?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

achja und sind dann die ideale sozusagen die nicht nullteiler? weil ein integritätsbereich muss ja nullteilerfrei sein?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr einen Ring in der Vorlesung so kennen gelernt habt (definiert habt), dass er immer ein 1 Element enthält, dann muss natürlich ein Unterring auch die 1 enthalten.
 
 
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

ok und wie sieht das mit den idealen aus da steig ich noch nicht so ganz durch könnte ich jetzt bei Z/(4) sagen das die ideale [0] und [2] sind oder wie macht man das?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

2 erzeugt zum Beispiel ein Haupideal, denn für alle r aus R ist r*2 in dem von 2 erzeugten Ideal, die Null liegt drin, denn 0*2=0 und eine Gerade Zahl mit irgendwas multipliziert ist entweder 2 mod 4 oder 0 mod 4.

Das von 1 erzeugte Ideal ist der Ring selbst.

Das von 0 erzeugte Ideal ist nur die 0 selbst (triviales Ideal).

Ein von einer Anzahl an Elementen erzeugtes Ideal ist die Menge .

Das von einem Element erzeugte Ideal ist also .

Nun schauen, welche Elemente erst einmal die Hauptideale erzeugen, also die von einem Element erzeugten Ideale.

Was ist mit der 3, erzeugt sie ein Ideal?
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