Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe |
16.05.2011, 12:07 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe Bestimmen sie die ANzahl der Elemente, die Einheitengruppen, die Nullteiler, ale Unterringe und alle Ideale der Ringe Z/(4), Z/(103), Z/(25). Alsoo was ich bis jetzt habe: Z/(4) Anzahl der Elemente: da weiß ich jetzt nicht was gemeint ist ... vlllt {0,1,2,3} also 4 Elemente?! Einheitengruppen: [0] nein per Definition [1] ja, [1] * [1] = [1] [2] nein, denn ... 2*a = 1+4*k , da der linke Teil gerade und der rechte gerade keine Gleichheit --> widerspruch [3] ja, denn -- 3*a=1+4*k , ... siehe [2] Nullteiler:generell umgekehrt zu einheitengruppen [0] ja [1] nein [2] ja, [2] * [2] = [0] [3] nein Unterringe: Definition: S TEilmenge R, a) 1R ist aus S , für alle a,b aus S gilt a-b, a*b aus S b) S mit Verknüpfung von R Ring Wie wende ich das jetzt auf mein Problem an?! Ideale: Definition: Teilmenge I eines Ringes R, a) I Untergruppe von (R,+) b) r aus R, a aus I --> r*a aus I, a*r aus I Hier wüsste ich jetzt auch nicht wie cih das zum Beispiel auf Z/(4) anzuwenden hätte. Ich hoffe das was ich bis jetzt habe ist soweit richtig und das ihr durch meinen krams hier durchblicken könnt und mir vllt auf die Sprünge helfen könntet |
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16.05.2011, 12:59 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe Nullteiler sind die Elemente a,b ungleich null, für die gilt a*b=0. Die 0 selbst ist also kein Nullteiler. Die Einheiten sind die zu 4 teilerfremden Zahlen, also 1,3, richtig. Die Unterringe müssen nicht zwangsläufig die 1 enthalten, wohl aber die Null, also existiert zum Beispiel ein Unterring, der nur die 0 enthält (trivialer Weise). Ein weiterer enthält die 0 und die 2 (kann man leicht überprüfen). Jedes Ideal muss die 0 enthalten, damit existiert schon einmal das triviale Ideal, das nur die 0 enthält und das triviale Ideal, das gleich dem gesamten Ring ist. Du kannst dir ja einmal die Menge anschauen, die die 0 und die 2 enthält, was ist mit der Menge, die die 0 und die 1 enthält? Wenn R ein Ring ist, so ist I genau dann ein Primideal, wenn gilt R/I ist ein Integritätsbereich. I ist ein maximales Ideal, wenn R/I ein Körper ist, so kann man schon mal ein Ideal finden. |
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16.05.2011, 13:27 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ideale, Anzhl Elemente, Einheitengruppen, Nullteiler, Unterringe
Das ist falsch, betrachte beispielsweise die ganzen Zahlen |
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16.05.2011, 15:16 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay danke erstmal jetzt nochmal zu den unterringen meine axiome für einen unterring sind 1 element aus dem UNterring und a-b und a*b sind aus dem unterring sowie das der unterring mit der verknüpfung des ringes selber wieder einen ring ergibt. wie ist das jetzt genau mit dem 1 -element bei dem laut dir trivialen unterring 0 . warum muss die 1 nicht enthalten sein, obwohl dies die definition besagt? |
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16.05.2011, 15:33 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achja und sind dann die ideale sozusagen die nicht nullteiler? weil ein integritätsbereich muss ja nullteilerfrei sein? |
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16.05.2011, 17:44 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ihr einen Ring in der Vorlesung so kennen gelernt habt (definiert habt), dass er immer ein 1 Element enthält, dann muss natürlich ein Unterring auch die 1 enthalten. |
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16.05.2011, 19:04 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok und wie sieht das mit den idealen aus da steig ich noch nicht so ganz durch könnte ich jetzt bei Z/(4) sagen das die ideale [0] und [2] sind oder wie macht man das? |
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16.05.2011, 19:20 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2 erzeugt zum Beispiel ein Haupideal, denn für alle r aus R ist r*2 in dem von 2 erzeugten Ideal, die Null liegt drin, denn 0*2=0 und eine Gerade Zahl mit irgendwas multipliziert ist entweder 2 mod 4 oder 0 mod 4. Das von 1 erzeugte Ideal ist der Ring selbst. Das von 0 erzeugte Ideal ist nur die 0 selbst (triviales Ideal). Ein von einer Anzahl an Elementen erzeugtes Ideal ist die Menge . Das von einem Element erzeugte Ideal ist also . Nun schauen, welche Elemente erst einmal die Hauptideale erzeugen, also die von einem Element erzeugten Ideale. Was ist mit der 3, erzeugt sie ein Ideal? |
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