Primzahl Matrizen

17.05.2011, 14:22

NikoRT

Primzahl Matrizen

Meine Frage:
Für eine Primzahl p sei $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{p} \end{eqnarray*}$ der endliche Körper mit p Elementen.Bezeichne

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Matrix A $\begin{eqnarray*} \in M_{2}(\mathbb F _{p}) \end{eqnarray*}$ .

In dieser Aufgabe wird schrittweise $\begin{eqnarray*} | GL_{2}(\mathbb F _{p} ) | \end{eqnarray*}$ berechnet.

Was ist die Anzahl der Elemente A $\begin{eqnarray*} \in M_{2}(\mathbb F _{p}) \end{eqnarray*}$ mit ad=bc=0 für p=5

a.)64
b.)81
c.)121
d.)Keine davon

Meine Ideen:
ich brauche dringend hilfe bei der aufgabe
hab leider keinen einzigen ansatz,wie ich die aufgabe berechnen kann.
wäre sehr dankbar für hilfe

17.05.2011, 15:04

René Gruber

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Was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} a d=0 \end{eqnarray*}$ für die einzelnen Faktoren $\begin{eqnarray*} a,d \end{eqnarray*}$ , wenn wir uns in einem Körper befinden?

17.05.2011, 19:48

NikoRT

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dass a=0 oder d=0 sein muss

17.05.2011, 19:52

René Gruber

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Genau! D.h., sämtliche Paare $\begin{eqnarray*} (0,t) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (t,0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb F _{p} \end{eqnarray*}$ lösen diese Gleichung. Wieviele sind das insgesamt?

18.05.2011, 12:34

NikoRT

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das wären dann doch
(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0) und (0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)

18.05.2011, 13:12

René Gruber

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb F _5 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 5=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. deine beiden Paare $\begin{eqnarray*} (5,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,5) \end{eqnarray*}$ sind in Wahrheit nur eins, nämlich $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ .

Macht insgesamt 9 Paare, allgemein $\begin{eqnarray*} (2p-1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F _p \end{eqnarray*}$ .

Dasselbe gilt jetzt für die Anzahl der Paare $\begin{eqnarray*} (b,c) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b c=0 \end{eqnarray*}$ , auch 9. Damit sollte die richtige Antwort unter den Möglichkeiten a) bis d) klar sein, oder? Augenzwinkern

18.05.2011, 13:15

NikoRT

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wenn es 9 paare sind,müsste die antwort 81 elemente sein

18.05.2011, 13:16

René Gruber

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Ja.

18.05.2011, 13:25

NikoRT

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ok vielen dank für deine hilfe

wenn ich jetzt ad=bc=2 habe und p=5,dann ist für ad=2 entweder a=2 oder d=2,dann besitze ich die paare (t,2) und (2,t)
also

(0,2),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2) und (2,0), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)
das wären dann
10 paare ?

18.05.2011, 13:32

René Gruber

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Zitat:

Original von NikoRT
dann ist für ad=2 entweder a=2 oder d=2

Einfach 0 durch 2 ersetzen, kann ziemlich schiefgehen ... Denk nochmal genauer drüber nach, bevor du hier unbedachte Analogien anstellen willst. Augenzwinkern

18.05.2011, 13:38

NikoRT

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aus ad=2 kann man folgern,dass 1/2a=d
wäre diese überlegung ein richtiger ansatz?

18.05.2011, 13:54

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ ist ein Körper. Was bedeutet das für die Lösbarkeit der Gleichung $\begin{eqnarray*} a d = 2 \end{eqnarray*}$ hinsichtlich $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bei fest vorgegebenen Wert $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ? Also sagen wir z.B. mal $\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ , wieviel Lösungen besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3d = 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ ?

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