äquivalenzrelation überprüfen

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
äquivalenzrelation überprüfen
hallo nochmal,
ich hänge hier gerade an so einer aufgabe, die eigentlich nicht schwer sein dürfte.

also wir haben und ist multiplikativ abgeschlossen und nicht leer. Dann haben wir eine Äquivalenzrelation
und zwar: .

also reflexiv:
gilt ja, da und das kann dann einfach frei gewählt werden, es stimmt dann immer.

so jetzt sitz ich an der Symmetrie:
wenn , dann weiß ich, es gibt ein mit . Jetzt muss ich ja daraus folgern, dass es auch ein gibt mit .
Mein Problem ist jetzt, wie kann ich das folgern?

Also mein kann nicht 0 sein, weil die 0 nicht enthält. Aber keiner sagt, dass das ganze nullteilerfrei ist, also muss ja nicht unbedingt gelten, dass ist. Aber wie soll ich sonst folgern?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mein Problem ist jetzt, wie kann ich das folgern?


Offensichtlich ist



Rest machst Du Augenzwinkern
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
danke für die antwort. hatte mir jetzt sowas gedacht

da bin ich mir aber net sicher ob ich einfach ausmultiplizieren darf?

oder mit deinem ansatz: könnte man dann durch -1 teilen, aber ist das im prinzip nicht auch wieder ausmultiplizieren? Es ist ja nur eine bel. teilmenge und woher weiß man, ob das distributivgesetz gilt?

bei der transitivität bin ich leider komplett am verzweifeln -.-
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da bin ich mir aber net sicher ob ich einfach ausmultiplizieren darf?


Du hast eine relle Teilmenge, daher geht das in Ordnung.

Zitat:
Es ist ja nur eine bel. teilmenge und woher weiß man, ob das distributivgesetz gilt?


Der selbe Grund, du betrachtest eine reelle Teilmenge.

Zur Transitivität : Schreib erstmal exakt hin, was es für diese Relation bedeutet!

p.s : Zu meinem weg :

Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi
leider betrachte ich keine reelle teilmenge, sonst hätte ich ja geschrieben. Leider ist unser auch nicht definiert. Aber wir haben in letzter Zeit nur mit Ringen zu tun, vielleicht soll es auch diesmal einer sein, würde das helfen?

edit: zur transitivität:
Es gilt, dass und und daraus muss ich folgern, dass dann auch gilt. Aber ich weiß nicht, wie ich aus dem ersten z.bsp sowas wie erreichen kann.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Hamsterchen,

nach Voraussetzung existieren mit . Was ist denn der einfachste Rechenschritt, um aus ein Produkt zu machen, das von geteilt wird?

Die Konstruktion nennt sich übrigens Lokalisierung und die Äquivalenzrelation ist eine Verallgemeinerung der "Kürzungsregel" für rationale Brüche.

Edit: Formulierung verbessert.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man dazu multipliziert?

was ist denn jetzt mit meiner frage ob man das distributivgesetz anwenden darf???
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
wenn man dazu multipliziert?


Genau, das ist der richtige Ansatz. Probiere mal aus, welches Produkt Du zu multiplizieren kannst, sodass Du nach Ausklammern und erhälst.

Zitat:
Original von Hamsterchen
was ist denn jetzt mit meiner frage ob man das distributivgesetz anwenden darf???


Ja, sicher, wir sind doch in einem Ring.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja das nehme ich an dass R bei uns ein Ring sein soll, es steht aber leider nix dabei, einfach nur ein R ^^ aber sonst geht es wahrscheinlich nicht oder?

Ich versuche mich dann mal an deinem Ansatz, danke schonmal

LG
Hamsterchen
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist nicht besonders gut von den Aufgabenstellern, so etwas nicht zu spezifizieren. Der Ring muss sogar kommutativ sein.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also der prof meinte vor 2 wochen oder so, dass wir ab jetzt erstmal nur kommutative ringe mit 1 betrachten. ich war mir jetzt nur nicht sicher, ob jedes R, das auf einem Blatt auftaucht, auch diese eigenschaften haben muss.

also zur aufgabe: Ich hatte heute morgen auch schon etwas rumgerechnet, aber iwie kommt da nix dabei raus, habe jetzt:

. Weiter weiß ich jetzt nicht -.- kannst du mir nochmal helfen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente sind nicht notwendigerweise Einheiten, daher kannst Du nicht so einfach teilen. Aber Deine Idee geht in die richtige Richtung. Denk dran, dass wir hinterher aus beiden Termen einen gemeinsamen Faktor ausklammern wollen.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

was hat das mit einheiten zu tun? Ich dachte, die Elemente aus S können ja nicht 0 sein, also darf man dann durch teilen... oder?

Leider fällt mir grad nix anderes ein, was ich da rummultiplizieren könnte, damit was anständiges rauskommt. gibst du mir noch einen hinweis?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Ring gibt es im allgemeinen viel mehr nichtinvertierbare Elemente als nur die 0, stichwort Nullteiler.

Wenn wir den Term betrachten hast Du ja schon richtig gesagt, dass wir hier mit multiplizieren sollten. Allerdings wollen wir ja nachher noch ausklammern, da im zweiten Term vorkommt. Was bietet sich also an? Analog kannst Du dann mit dem zweiten Term vorgehen. Was ergibt sich am Ende?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja hatte gar nicht mehr an die nullteiler gedacht ^^

also ich hab jetzt das, aber komme immer noch nicht weiter -.-

und


und dann:
hmmmm???

bin voll verwirrt was ich hier eigentlich machen darf und was nicht und im rumrechnen bin ich eh schlecht xD
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
und



Das sieht doch gut aus. Freude Am Ende wollen wir etwas in der Form bekommen. Es steht doch nun schon fast da. Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich könnte ja einfach mal das eine in das andere einsetzen ^^ daran hab ich noch gar nicht gedacht ^^
dann ist und da S multiplikativ abgeschlossen ist, ist .
man hab ich jetzt aber lange gebraucht.
leider gehn die aufgaben noch weiter -.- hättest du evtl. interesse mir da noch weiter zu helfen???

damit du weißt worum es gehen würde in der nächsten aufgabe:

mit der Relation von eben. Wir sollen zeigen, dass diese Menge mit den Verknüpfungen (wobei die Brüche die Nebenklasse von einem Element bezeichnen) und einen kommutativen Ring mit Eins bilden.

Da bin ich mir jetzt noch nicht so sicher, was man alles zeigen muss und ob einige Dinge schon "klar" sind.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
ja ich könnte ja einfach mal das eine in das andere einsetzen ^^ daran hab ich noch gar nicht gedacht ^^

Was meinst Du genau mit "einsetzen"? Du hast eher die beiden Terme (beide ) addiert.

Zitat:
Original von Hamsterchen
dann ist und da S multiplikativ abgeschlossen ist, ist .

Genau. smile

Zitat:
Original von Hamsterchen
mit der Relation von eben. Wir sollen zeigen, dass diese Menge mit den Verknüpfungen (wobei die Brüche die Nebenklasse von einem Element bezeichnen) und einen kommutativen Ring mit Eins bilden.

Mit "Nebenklasse" meinst Du Äquivalenzklasse? Erstmal wäre zu zeigen, dass die Verknüpfungen mit der Äquivalenzrelation verträglich sind d.h. , analog für die Addition.

Wie sehen denn die neutralen und inversen Elemente bezüglich aus, bzw. welche kann man überhaupt multiplikativ invertieren?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
danke für deine antwort. das mit der verträglichkeit müsstest du nochmal kurz erläutern ^^

zum neutralen add. element dachte ich mir , weil ,
neutr. mult element: .

beim add. inversen bin ich mir noch nicht so sicher (falls das neutrale element stimmt), es muss ja gelten, dass , also und damit dann , aber man weiß doch nicht, ob immer existiert und mit dem b kann man sich ja auch net sicher sein oder?

assoziativgesetz mult.:
und dann wieder genauso die klammern auf die andere seite bringen.

ass. addition:
dann wieder rückwärts.

stimmt davon was?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die von mir beschriebene Verträglichkeit bedeutet, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. A priori ist das ja nicht klar, da wir sie über konkrete Brüche, d.h. Vertretern von Äquivalenzrelationen definiert haben. Die von mir beschriebene Implikation lässt sich auch so ausdrücken:

Zitat:
Original von Hamsterchen
zum neutralen add. element dachte ich mir , weil


Hier hast Du Dich an einer Stelle vertippt.

Zitat:
Original von Hamsterchen
neutr. mult element: .


Stimmt.

Zitat:
Original von Hamsterchen
beim add. inversen bin ich mir noch nicht so sicher (falls das neutrale element stimmt), es muss ja gelten, dass , also und damit dann , aber man weiß doch nicht, ob immer existiert und mit dem b kann man sich ja auch net sicher sein oder?


Was willst Du mir hier denn sagen? Ich glaube, Du hast gerade stellenweise die konzeptionelle Übersicht verloren. Augenzwinkern Was bedeutet denn überhaupt die ganze Äquivalenzrelation , wenn wir sie auf betrachten?

Die Beweise zu den Assoziativgesetzen stimmen. Es fehlt aber auch noch die Distributivität.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
ja da sollte ein + und kein * stehen, und ich hatte mich nochmal vertan xD

also was ich eig. sagen wollte ist: wenn gegeben ist, dann suche ich ein mit dann muss und sein, oder?

und das selbe wollte ich mit dem additiven inversen machen.

stimmt das mit dem assoziativgesetz denn? edit: hab deinen letzen satz übersehen ^^

nochmal edit: ich muss jetzt zur krankengymnastik, komme nachher wieder. danke für deine mühe und geduld =)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
also was ich eig. sagen wollte ist: wenn gegeben ist, dann suche ich ein mit dann muss und sein, oder?


Ja, das stimmt. smile
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

so bin wieder da
ok also wenn das stimmt, woher weiß ich denn dann dass es das gibt???
und beim additiven inversen hab ich das:
gegeben: gesucht: mit , d.h. muss wieder sein und es muss gelten: und das sieht ja noch schlimmer aus ^^ also wieso ist das Element immer vorhanden???

Und nochmal wegen der Wohldefiniertheit, da musst du mal bitte anfangen das zu zeigen, ich verstehs immer noch nicht so wirklich -.-

wenn ich das alles hab, was ausser das distributivgesetz fehlt dann noch?

lg
hamsterchen
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Um mal etwas Licht ins formale Dunkel zu bringen:

Was ist denn für einen rationalen Bruch das multiplikative (wenn ) und das additive Inverse?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist ja dann:

und meinst du das?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meine ich. Wie können wir das auf die Aufgabe übertragen?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm also das mult. Inverse sollte doch dann genauso funktionieren???
Beim additiven Inversen störts mich, dass im Nenner dann keine 1 steht, aber theoretisch kann man 0 ja immer als 0/1 oder 0/50 oder was auch immer schreiben, oder???
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
Beim additiven Inversen störts mich, dass im Nenner dann keine 1 steht [...]


Wieso stört dich das? Außerdem siehe unten. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Hamsterchen
theoretisch kann man 0 ja immer als 0/1 oder 0/50 oder was auch immer schreiben, oder???

Ja, kann man sinngemäß für beliebige Ringelemente (Warum?).

Wie Du richtig erkannt hast, kann man diese Formeln für die Inversen eins zu eins übertragen. Ich hatte auch schon früher Hinweise darauf gegeben, z.B., dass Du Dir vor dem Rechnen erstmal überlegen musst, was im Falle von herauskommt.

Was ist denn Deiner Meinung nach das Essentielle, was diese Äquivalenzrelation tut?

Edit: Ich kann heute keine Formeln schreiben.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

naja sie macht ja irgendwie aus einer Menge etwas, für das mehr axiome gelten (oder so ähnlich). das ganze soll ja laut blatt etwas mit dem quotientenkörper zu tun haben.

könntest du nochmal was zur wohldefiniertheit sagen?

mir grauts übrigens schon vor den nächsten teilaufgaben -.- diese beiden aufgaben geben gerade mal 2 von 22 punkten auf dem blatt geschockt

waren das jetzt eigentlich alle axiome? also assoziativ mit + und *, add. und mult. inverses sowie neutrales element, kommutativität brauch ich noch und distributivgesetz oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
naja sie macht ja irgendwie aus einer Menge etwas, für das mehr axiome gelten (oder so ähnlich). das ganze soll ja laut blatt etwas mit dem quotientenkörper zu tun haben.


Das ist eine sehr unkonkrete Antwort. Ich gebe Dir mal einen Hinweis:
Zitat:
Original von Hamsterchen
ok also wenn das stimmt, woher weiß ich denn dann dass es das gibt???


Zitat:
Original von Hamsterchen
könntest du nochmal was zur wohldefiniertheit sagen?

Was ist Dir noch unklar? Ich habe in zwei synonymen Varianten erklärt, was zu tun ist und warum.


Zitat:
Original von Hamsterchen
waren das jetzt eigentlich alle axiome? also assoziativ mit + und *, add. und mult. inverses sowie neutrales element, kommutativität brauch ich noch und distributivgesetz oder?

Ja und überhaupt Abgeschlossenheit von gegenüber den Operationen, aber das ist mehr Schreib- als Denkarbeit.

Edit: Meine Nachfrage bei der Wohldefiniertheit habe ich vom Tonfall vielleicht etwas missverständlich formuliert, wie mir gerade auffällt. Sie
ist nicht als Vorwurf gemeint. Ich wollte nur nochmal auf meine bereits erbrachten Erklärungen verweisen und mich dann wiederum erkundigen, worüber konkret Du noch grübelst. smile
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

kein problem wegen deinem "tonfall" ^^
also irgendwie versteh ich es mit der wohldefiniertheit, aber irgendwie auch nicht ^^ also ich weiß nicht genau, wie man das zeigen soll, ich kann doch einfach schreiben:
oder?????

noch eine frage zur kommutativität: also wenn ich ab hab, dann ist das ja auch =ba, aber wieso genau? das a ist zwar aus einem kommutativen ring, aber das b ist doch aus unserem anfänglichen S, was nur ne teilmenge von dem R war.
und sind diese ganzen axiome nicht eig körperaxiome?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
ich kann doch einfach schreiben:
oder?????


Das ist ziemlich genau das, was *am Ende* herauskommen soll. Du musst das hier zeigen:

Bei einer solchen Aufgabe kommst Du nicht drum herum, nochmal die Definition der Äquivalenzrelation explizit anzuwenden.

Zitat:
Original von Hamsterchen
noch eine frage zur kommutativität: also wenn ich ab hab, dann ist das ja auch =ba, aber wieso genau? das a ist zwar aus einem kommutativen ring, aber das b ist doch aus unserem anfänglichen S, was nur ne teilmenge von dem R war.

Überleg' Dir mal in Ruhe, ob auf einer kommutativen Struktur die Kommutativität auch auf den Teilstrukturen gilt.


Zitat:
Original von Hamsterchen
[...] und sind diese ganzen axiome nicht eig körperaxiome?

Nein. Und um zu sehen, was genau den Unterschied ausmachst, geh' doch bitte mal auf meine Frage ein, was überhaupt so toll an dieser Konstruktion ist, außer, dass man sich furchtbar toll vorkommt, andere Leute mit Ihr zu verwirren (siehe Tipp meines vorigen Posts). smile
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok zur wohldefiniertheit:

hab so ähnlich rumgerechnet wie bei der transitivität und habe da jetzt stehen:

und und dann habe ich: kann das sein?
muss ich bei der addition dann zeigen, dass dann gilt?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
und und dann habe ich: kann das sein?

Sieht gut aus bis auf eine Stelle: Du müsstest auf kommen.

Zitat:
Original von Hamsterchen
muss ich bei der addition dann zeigen, dass dann gilt?

Ganz genau. smile

Edit: Wie gesagt, ich sollte das TeXen für heute bald sein lassen...
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi, sry für die späte antwort

ist die reihenfolge nicht egal? Also ich muss ja eh noch zeigen, dass es kommutativ ist.
Was mich auch wieder zu dieser Frage bringt.
Ich weiß leider noch nicht genau, was du meinst mit dem Tipp s^{-1} und so.

Vielleicht könntest du dazu noch was sagen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
ist die reihenfolge nicht egal?

Sicher, die Reihenfolge ist egal. Bloß, Du hattest im letzten Term der Klammer statt richtigerweise geschrieben.

Zitat:
Original von Hamsterchen
Was mich auch wieder zu dieser Frage bringt.
Ich weiß leider noch nicht genau, was du meinst mit dem Tipp s^{-1} und so.

Angenommen, ist keine Einheit. Wie sieht es mit aus?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

weiß leider nicht, was du meinst...
ich bin mittlerweile eh schon so verwirrt, weil ich seit heut morgen nur aufgaben mache, dass ich schon gar nix mehr weiß ^^
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Was kannst Du denn machen, wenn Du die ganze Zahl 3 invertieren willst?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

1 durch 3 rechnen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 lebt in den ganzen Zahlen und weiß nicht, was 1 durch 3 sein soll. Wie kann man es ihr beibringen?
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