Poissonverteilung

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung
Meine Frage:
Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit Parameter .

(1) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit entweder nicht-wachsend in i ist oder in i erst wächst und dann wieder fällt. Für welches i erreicht sein Maximum?

(2) Zeigen Sie, dass P(X ist gerade)=.

(3) Bestimmen Sie für gegebenes (fixes) das Maximum von in .

Meine Ideen:
Ich habe keine so wirklichen Ideen.

Zu (1):



Was man jetzt zeigen soll (und wie), weiß ich schon nicht mehr.

Zu (2):



Das muss man jetzt sicherlich irgendwie umformen...
Kann mir jemand helfen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
1)Du kannst dur zur Steigung überlegen, um welchen Faktor sich und unterscheiden und so das Maximum bestimmen.

2)Du musst hier betrachten:

und dann da irgendwelche Reihen betrachten
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Danke, ich versteh noch nicht ganz, wieso, aber ich mache das einfach mal, weil Deine Tipps bisher immer spitze waren.

Zu (1):



Stimmt das?
Und wie kann ich nun daraus zeigen, dass es entweder nicht-wachsend oder erst wachsend und dann fallend ist?


Wenn der Zähler kleiner ist als , so kommt da etwas kleiner 1 heraus und dann ist das wohl wachsend.

Wenn der Zähler größer ist , dann fallend.

Und wenn der Zähler gleich ist, ist es konstant.
[Liegt dann hier das Maximum?]
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Dennis2010
Wenn der Zähler kleiner ist als , so kommt da etwas kleiner 1 heraus und dann ist das wohl wachsend.

Wenn der Zähler größer ist , dann fallend.

Und wenn der Zähler gleich ist, ist es konstant.
[Liegt dann hier das Maximum?]
Ja, darauf wollte ich auch hinaus smile
Zeichen es dir mal für ein paar Parameter, dann "siehst" du das Maximum auch.

PS: Danke für die Blumen smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Math1986

Zeichen es dir mal für ein paar Parameter, dann "siehst" du das Maximum auch.



Ich weiß doch tatsächlich gerade nicht, wie Du das meinst bzw., wie ich jetzt konkret das Maximum bestimmen kann.

Mit verschiedenen Parametern meinst Du vermutlich verschiedene Lambdas.

Ich habe jetzt gedacht: Das Maximum liegt bei .
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Du hattest es doch schon fast:

Du kannst dir das ganz einfach rekursiv herleiten:

Es ist und für ...

Für fallen die Werte, für steigen sie.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Somit liegt das Maximum bei .

Diese rekursive Darstellung, da wäre ich dann doch nicht drauf gekommen, deswegen vielen Dank dafür.


Jetzt muss ich mich noch um (2) und (3) kümmern.

Bei (2) hattest Du mir den Hinweis gegeben, dass ich

betrachten sollte.

Da habe ich noch nicht verstanden, wieso bzw., worauf das hinausführt.

Vielleicht könntest Du da noch kurz einhaken?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Dennis2010

Bei (2) hattest Du mir den Hinweis gegeben, dass ich

betrachten sollte.

Da habe ich noch nicht verstanden, wieso bzw., worauf das hinausführt.

Vielleicht könntest Du da noch kurz einhaken?
Sorry, da war ein Fehler drin:

Es sollte lauten::

Also du summierst über alle geraden Zahlen auf.

Das wird dann wohl auf irgendeine Reihe hinauslaufen, habe es mir aber noch nicht so genau angesehen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Dennis2010
Somit liegt das Maximum bei .

Nicht ganz.
i ist ganzzahlig, aber muss nicht ganzzahlig sein.

Zitat:
Bei (2) hattest Du mir den Hinweis gegeben, dass ich

betrachten sollte.

Da war sicher



gemeint, was ja gleich ist. Meine Idee dazu wäre:



Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Dennis2010
Somit liegt das Maximum bei .

Nicht ganz.
i ist ganzzahlig, aber muss nicht ganzzahlig sein.


Hm, das stimmt natürlich.

Was ist denn dann das Maximum?

Zitat:
Bei (2) hattest Du mir den Hinweis gegeben, dass ich

betrachten sollte.
Da war sicher



gemeint, was ja gleich ist. Meine Idee dazu wäre:





Mal schauen, ob ich das gleich verstehe, vielen Dank!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Dennis2010
Was ist denn dann das Maximum?

Wenn nicht ganzzahlig ist, muss i der nächst kleinere odere größere ganzzahlige Wert sein. Es ist leicht zu überlegen, welcher von beiden.

Zitat:
Mal schauen, ob ich das gleich verstehe, vielen Dank!

Durch (1) und (2) erhält man eine einfache DGL für die in (2) rechts stehende Summe.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Dennis2010
Was ist denn dann das Maximum?

Wenn nicht ganzzahlig ist, muss i der nächst kleinere odere größere ganzzahlige Wert sein. Es ist leicht zu überlegen, welcher von beiden.


Lach mich bitte nicht aus, aber das verstehe ich schon wieder nicht.
Wenn z.B. ist, so läge das Maximum eigentlich bei diesem Punkt, da aber die i nur ganzzahlig sind, muss man gucken, ob bei i=1 oder bei i=2 ein größerer Wert angenommen wird. Das ist wohl die Grundüberlegung.

Aber woher weiß man denn, ob i=1 oder i=2 zu wählen ist?

Zitat:

Durch (1) und (2) erhält man eine einfache DGL für die in (2) rechts stehende Summe.


Also (1) verstehe ich, das ist einfach die Gegenwahrscheinlichkeit.

Aber (2) verstehe ich nicht, wie du darauf kommst und was das mit der Ableitung soll.


Tut mir leid!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Dennis2010
Lach mich bitte nicht aus, aber das verstehe ich schon wieder nicht.

Du hast doch gezeigt, dass die Werte wieder fallen, sobald wird. Wenn also i das erste mal größer als wird, ist dieser Wert kleiner als der vorige. Das Maximum ergibt sich also bei dem größten ganzzahligen i, das kleiner oder gleich ist.

Zitat:
Aber (2) verstehe ich nicht, wie du darauf kommst und was das mit der Ableitung soll.

Du kannst doch einfach nachprüfen, dass die Formel stimmt. Ziel ist es, die Summe



zu berechnen. Mittels (1) führe ich die Summe auf eine Summe über die ungeraden Indizes zurück und mittels (2) dann wieder auf die geraden Indizes. Aus der DGL bekommt man dann den Summenwert.

Es geht auch anders. Du kannst dir die Summe auch direkt aus den Taylorreihen von und zusammenbasteln.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Huggy
Meine Idee dazu wäre:





Ich gebe mal wieder mein Bestes und versuche den Tipp umzusetzen:

Zunächst:

Zu (1):



Nach (2) folgt:



Doch wie gehts nun weiter?

Irgendwie soll es ja jetzt eine Differentialgleichung werden, oder?

Ich würde umformen:



Aber wie löst man sowas bloß?!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Wenn man die Summe mal nennt, lautet die DGL nach leichter Umstellung:



Hast du jetzt noch immer Probleme, die DGL zu lösen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Kann man das nicht auch irgendwie einfacher zeigen??

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Man kann es jedenfall auch anders zeigen. Ich gab dir ja schon den Tipp mit den Taylorreihen. Man findet sicher noch weitere Möglichkeiten. Was man als einfacher empfindet, hängt vom Kenntnisstand ab.

Die einfachste Lösung ist, in einer Formelsammlung zu suchen, bis man auf die Reihe stößt und dann zu schreiben, bekanntlich ist die Reihe gleich ....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Ja, mein Kenntnisstand ist nicht groß und deswegen ist Dein Lösungsvorschlag bestimmt 1000 Mal eleganter, aber für mich zu schwer.

Ich habe an die Exponentialreihe gedacht, aber das haut irgendwie nicht hin.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Wenn du die Exponentialreihe (Taylorreihe) von und nebeneinander schreibst, fällt die Lösung doch geradezu ins Auge. Mach das mal.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Hm, ich kenne diese Taylorreihe nicht.

Mit welchem Entwicklungspunkt denn?


Edit:

Oder meinst Du:





?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Du hast doch selbst von der Exponentialreihe gesprochen. Deshalb nahm ich an, sie ist dir bekannt. Entwicklungspunkt ist 0. Aber ich will dich nicht länger quälen:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Ich sehe immer noch nicht, wie das jetzt in die obige Gleichungskette passt und sie beendet, sodass das Gewünschte herauskommt.

Es tut mir wirklich leid, dass ich so dermaßen begriffsstutzig bin.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Jetzt brauchst du keine Gleichungskette mehr. war doch die Summe mit den geraden Exponenten. Und es war:



Das ergibt die in der Aufgabe genannte Lösung. Die Gleichungskette diente dazu, die Reihe mittels einer DGL zu berechnen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Ich verstehe das nicht. traurig

Wo kommt denn jetzt diese Funktion her und was ist sie.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Anscheinend liest du meine Beiträge nicht. unglücklich Ich hatte als Abkürzung definiert:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Huggy



Das meinst Du?

Doch, das habe ich gelesen.

Ich verstehe nur nicht, das ist so eine komische Lösung.

Für mich komisch. Eine Funktion definieren und dann ist das die Lösung?



Naja, ich möchte Deine geduldige Hilfe nicht überstrapazieren.
Ich bin Dir sehr dankbar.

Vielleicht werde ich eines Tages mal besser sein.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Quatsch!

Schau mal an der Stelle, wo ich das erste mal nenne. Da hattest du unmiitelbar vorher die Differentialgleichung mit der Summe hingeschrieben. Und um die Differentialgleichung übersichtlicher zu gestalten, hatte ich die Summe dort genannt.

Und jetzt ist meine Geduld wirklich überstrapaziert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Entschuldige, ich hatte diesen Beitrag von Dir nicht gesehen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Jetzt fehlt mir noch (3).

Gesucht ist das Maximum von für ein festes .


Normalerweise würde ich jetzt mit der Ableitung kommen.
Aber das geht wohl nicht, weil die Poissonverteilung ja diskret ist.


Wie könnte man vorgehen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Ich erbarme mich noch einmal.

Der Ausdruck, den man bezüglich maximieren soll, hängt doch stetig und sogar differenzierbar von dem Parameter ab.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Danke füßr das Erbarmen.

Welcher Ausdruck?..


[Du bereust Dein Erbarmen gleich wieder. geschockt ]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Der für festes k zu maximierende Ausdruck




Ich bereue es jetzt schon. Big Laugh
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Ich kanns nachfühlen.

Also, er hängt stetig und sogar diff.bar von Lambda ab.

Das verstehe ich jetzt. Die Frage ist für mich, was daraus folgt.


Dass ich doch mit der Ableitung arbeiten kann?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von Dennis2010
Die Frage ist für mich, was daraus folgt.

Dass ich doch mit der Ableitung arbeiten kann?

Genau das!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Also ganz klassisch?

Ableitung bilden...
Nullstelle der Ableitung, in zweite Ableitung einsetzen.. wenn kleiner Null, dann Maximum?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Danke Dir.

Dann werde ich das morgen mal machen.

Ich glaube für heute bin ich mir und vor allem Dir und allen lesenden genug auf den Geist gegangen..
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Hallo, es ist eine ganze Weile her, daß ich diese Aufgabe hier gestellt habe.
Damals hatte ich mich besonders bei Teilaufgabe (ii) sehr dumm angestellt.
Jetzt beim Lernen habe ich mir das nochmals angesehen und glaube, es nun verstanden zu haben, was Huggy mir vorgeschlagen hatte.

Zu zeigen war, daß .

Als Tipp wurde mir von Huggy gegeben:

(1)

(2)

[Huggy hatte das auf die andere Gleichungsseite geschrieben. Da hat er sich einfach verschrieben, denke ich.]

Nun soll man ja

berechnen. Hierfür muss man ja aber noch herausfinden, wie die hier auftauchende Summe eigentlich aussieht.

Dafür kann man nun (1) und (2) verwenden, was ich damals nicht verstanden hatte:

Es gilt nämlich nach (1) und (2):



Zur Verbesserung der Übersicht kann man setzen

und hat somit:

bzw.

.

Multiplizieren mit liefert dann

und schließlich

.


Diese Differenzialgleichung wird gelöst von der Funktion

.

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso: (iii) fehlte ja noch.

Zu bestimmen ist das Maximum von in für fixes .


Es gilt:

,

,




Nullstellen von sind:

1.) 0, wenn

2.) k


Es gilt außerdem:






Daraus folgt m.E., dass das Maximum bei k liegt.

Liege ich richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt, die Herleitung nicht so ganz.

stimmt so nur für k > 0. Und das ergibt . Die Vertauschung von 1.) und 2.) ist wohl ein Schreibfehler. Die 2. Ableitung ist überflüssig, denn man hat ja für k > 0



Also muss es dazwischen ein Maximum geben. Wenn man nur einen Kandidatenpunkt hat, dann ist es der.

Bei k = 0 hat die Ableitung gar keine Nullstelle. Das Maximum ist hier ein Randmaximum.


Zu deinem vorigen Beitrag: Das kann man auf die linke oder die rechte Seite schreiben. Das kann man leicht mit der Reihe ausrechnen. Wenn man die Reihen kennt, steht links und rechts und es gilt bekanntlich

Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »