Poissonverteilung |
18.05.2011, 13:17 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Poissonverteilung Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit Parameter . (1) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit entweder nicht-wachsend in i ist oder in i erst wächst und dann wieder fällt. Für welches i erreicht sein Maximum? (2) Zeigen Sie, dass P(X ist gerade)=. (3) Bestimmen Sie für gegebenes (fixes) das Maximum von in . Meine Ideen: Ich habe keine so wirklichen Ideen. Zu (1): Was man jetzt zeigen soll (und wie), weiß ich schon nicht mehr. Zu (2): Das muss man jetzt sicherlich irgendwie umformen... Kann mir jemand helfen? |
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18.05.2011, 14:26 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung 1)Du kannst dur zur Steigung überlegen, um welchen Faktor sich und unterscheiden und so das Maximum bestimmen. 2)Du musst hier betrachten: und dann da irgendwelche Reihen betrachten |
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18.05.2011, 14:36 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Danke, ich versteh noch nicht ganz, wieso, aber ich mache das einfach mal, weil Deine Tipps bisher immer spitze waren. Zu (1): Stimmt das? Und wie kann ich nun daraus zeigen, dass es entweder nicht-wachsend oder erst wachsend und dann fallend ist? Wenn der Zähler kleiner ist als , so kommt da etwas kleiner 1 heraus und dann ist das wohl wachsend. Wenn der Zähler größer ist , dann fallend. Und wenn der Zähler gleich ist, ist es konstant. [Liegt dann hier das Maximum?] |
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18.05.2011, 15:21 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Zeichen es dir mal für ein paar Parameter, dann "siehst" du das Maximum auch. PS: Danke für die Blumen |
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18.05.2011, 15:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Ich weiß doch tatsächlich gerade nicht, wie Du das meinst bzw., wie ich jetzt konkret das Maximum bestimmen kann. Mit verschiedenen Parametern meinst Du vermutlich verschiedene Lambdas. Ich habe jetzt gedacht: Das Maximum liegt bei . |
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18.05.2011, 16:12 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Du hattest es doch schon fast: Du kannst dir das ganz einfach rekursiv herleiten: Es ist und für ... Für fallen die Werte, für steigen sie. |
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18.05.2011, 17:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Somit liegt das Maximum bei . Diese rekursive Darstellung, da wäre ich dann doch nicht drauf gekommen, deswegen vielen Dank dafür. Jetzt muss ich mich noch um (2) und (3) kümmern. Bei (2) hattest Du mir den Hinweis gegeben, dass ich betrachten sollte. Da habe ich noch nicht verstanden, wieso bzw., worauf das hinausführt. Vielleicht könntest Du da noch kurz einhaken? |
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18.05.2011, 18:04 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Es sollte lauten:: Also du summierst über alle geraden Zahlen auf. Das wird dann wohl auf irgendeine Reihe hinauslaufen, habe es mir aber noch nicht so genau angesehen |
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18.05.2011, 18:04 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Nicht ganz. i ist ganzzahlig, aber muss nicht ganzzahlig sein.
Da war sicher gemeint, was ja gleich ist. Meine Idee dazu wäre: |
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18.05.2011, 18:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Hm, das stimmt natürlich. Was ist denn dann das Maximum?
Mal schauen, ob ich das gleich verstehe, vielen Dank! |
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18.05.2011, 18:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Wenn nicht ganzzahlig ist, muss i der nächst kleinere odere größere ganzzahlige Wert sein. Es ist leicht zu überlegen, welcher von beiden.
Durch (1) und (2) erhält man eine einfache DGL für die in (2) rechts stehende Summe. |
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18.05.2011, 18:44 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Lach mich bitte nicht aus, aber das verstehe ich schon wieder nicht. Wenn z.B. ist, so läge das Maximum eigentlich bei diesem Punkt, da aber die i nur ganzzahlig sind, muss man gucken, ob bei i=1 oder bei i=2 ein größerer Wert angenommen wird. Das ist wohl die Grundüberlegung. Aber woher weiß man denn, ob i=1 oder i=2 zu wählen ist?
Also (1) verstehe ich, das ist einfach die Gegenwahrscheinlichkeit. Aber (2) verstehe ich nicht, wie du darauf kommst und was das mit der Ableitung soll. Tut mir leid! |
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18.05.2011, 19:17 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Du hast doch gezeigt, dass die Werte wieder fallen, sobald wird. Wenn also i das erste mal größer als wird, ist dieser Wert kleiner als der vorige. Das Maximum ergibt sich also bei dem größten ganzzahligen i, das kleiner oder gleich ist.
Du kannst doch einfach nachprüfen, dass die Formel stimmt. Ziel ist es, die Summe zu berechnen. Mittels (1) führe ich die Summe auf eine Summe über die ungeraden Indizes zurück und mittels (2) dann wieder auf die geraden Indizes. Aus der DGL bekommt man dann den Summenwert. Es geht auch anders. Du kannst dir die Summe auch direkt aus den Taylorreihen von und zusammenbasteln. |
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19.05.2011, 15:30 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Ich gebe mal wieder mein Bestes und versuche den Tipp umzusetzen: Zunächst: Zu (1): Nach (2) folgt: Doch wie gehts nun weiter? Irgendwie soll es ja jetzt eine Differentialgleichung werden, oder? Ich würde umformen: Aber wie löst man sowas bloß?! |
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19.05.2011, 17:47 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Wenn man die Summe mal nennt, lautet die DGL nach leichter Umstellung: Hast du jetzt noch immer Probleme, die DGL zu lösen? |
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19.05.2011, 17:51 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Kann man das nicht auch irgendwie einfacher zeigen?? |
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19.05.2011, 18:02 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Man kann es jedenfall auch anders zeigen. Ich gab dir ja schon den Tipp mit den Taylorreihen. Man findet sicher noch weitere Möglichkeiten. Was man als einfacher empfindet, hängt vom Kenntnisstand ab. Die einfachste Lösung ist, in einer Formelsammlung zu suchen, bis man auf die Reihe stößt und dann zu schreiben, bekanntlich ist die Reihe gleich .... |
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19.05.2011, 18:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Ja, mein Kenntnisstand ist nicht groß und deswegen ist Dein Lösungsvorschlag bestimmt 1000 Mal eleganter, aber für mich zu schwer. Ich habe an die Exponentialreihe gedacht, aber das haut irgendwie nicht hin. |
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19.05.2011, 18:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Wenn du die Exponentialreihe (Taylorreihe) von und nebeneinander schreibst, fällt die Lösung doch geradezu ins Auge. Mach das mal. |
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19.05.2011, 18:16 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Hm, ich kenne diese Taylorreihe nicht. Mit welchem Entwicklungspunkt denn? Edit: Oder meinst Du: ? |
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19.05.2011, 18:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Du hast doch selbst von der Exponentialreihe gesprochen. Deshalb nahm ich an, sie ist dir bekannt. Entwicklungspunkt ist 0. Aber ich will dich nicht länger quälen: |
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19.05.2011, 18:26 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Ich sehe immer noch nicht, wie das jetzt in die obige Gleichungskette passt und sie beendet, sodass das Gewünschte herauskommt. Es tut mir wirklich leid, dass ich so dermaßen begriffsstutzig bin. |
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19.05.2011, 18:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Jetzt brauchst du keine Gleichungskette mehr. war doch die Summe mit den geraden Exponenten. Und es war: Das ergibt die in der Aufgabe genannte Lösung. Die Gleichungskette diente dazu, die Reihe mittels einer DGL zu berechnen. |
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19.05.2011, 18:43 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Ich verstehe das nicht. Wo kommt denn jetzt diese Funktion her und was ist sie. |
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19.05.2011, 18:49 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Anscheinend liest du meine Beiträge nicht. Ich hatte als Abkürzung definiert: |
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19.05.2011, 18:55 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Das meinst Du? Doch, das habe ich gelesen. Ich verstehe nur nicht, das ist so eine komische Lösung. Für mich komisch. Eine Funktion definieren und dann ist das die Lösung? Naja, ich möchte Deine geduldige Hilfe nicht überstrapazieren. Ich bin Dir sehr dankbar. Vielleicht werde ich eines Tages mal besser sein. |
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19.05.2011, 19:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Quatsch! Schau mal an der Stelle, wo ich das erste mal nenne. Da hattest du unmiitelbar vorher die Differentialgleichung mit der Summe hingeschrieben. Und um die Differentialgleichung übersichtlicher zu gestalten, hatte ich die Summe dort genannt. Und jetzt ist meine Geduld wirklich überstrapaziert. |
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19.05.2011, 19:30 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Entschuldige, ich hatte diesen Beitrag von Dir nicht gesehen. |
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19.05.2011, 19:52 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Jetzt fehlt mir noch (3). Gesucht ist das Maximum von für ein festes . Normalerweise würde ich jetzt mit der Ableitung kommen. Aber das geht wohl nicht, weil die Poissonverteilung ja diskret ist. Wie könnte man vorgehen? |
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19.05.2011, 20:25 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Ich erbarme mich noch einmal. Der Ausdruck, den man bezüglich maximieren soll, hängt doch stetig und sogar differenzierbar von dem Parameter ab. |
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19.05.2011, 20:36 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Danke füßr das Erbarmen. Welcher Ausdruck?.. [Du bereust Dein Erbarmen gleich wieder. ] |
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19.05.2011, 20:42 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Der für festes k zu maximierende Ausdruck Ich bereue es jetzt schon. |
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19.05.2011, 20:49 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Ich kanns nachfühlen. Also, er hängt stetig und sogar diff.bar von Lambda ab. Das verstehe ich jetzt. Die Frage ist für mich, was daraus folgt. Dass ich doch mit der Ableitung arbeiten kann? |
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19.05.2011, 20:53 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung
Genau das! |
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19.05.2011, 20:56 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Also ganz klassisch? Ableitung bilden... Nullstelle der Ableitung, in zweite Ableitung einsetzen.. wenn kleiner Null, dann Maximum? |
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19.05.2011, 20:59 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Ja. |
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19.05.2011, 21:08 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Danke Dir. Dann werde ich das morgen mal machen. Ich glaube für heute bin ich mir und vor allem Dir und allen lesenden genug auf den Geist gegangen.. |
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27.08.2011, 15:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Poissonverteilung Hallo, es ist eine ganze Weile her, daß ich diese Aufgabe hier gestellt habe. Damals hatte ich mich besonders bei Teilaufgabe (ii) sehr dumm angestellt. Jetzt beim Lernen habe ich mir das nochmals angesehen und glaube, es nun verstanden zu haben, was Huggy mir vorgeschlagen hatte. Zu zeigen war, daß . Als Tipp wurde mir von Huggy gegeben: (1) (2) [Huggy hatte das auf die andere Gleichungsseite geschrieben. Da hat er sich einfach verschrieben, denke ich.] Nun soll man ja berechnen. Hierfür muss man ja aber noch herausfinden, wie die hier auftauchende Summe eigentlich aussieht. Dafür kann man nun (1) und (2) verwenden, was ich damals nicht verstanden hatte: Es gilt nämlich nach (1) und (2): Zur Verbesserung der Übersicht kann man setzen und hat somit: bzw. . Multiplizieren mit liefert dann und schließlich . Diese Differenzialgleichung wird gelöst von der Funktion . |
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27.08.2011, 16:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso: (iii) fehlte ja noch. Zu bestimmen ist das Maximum von in für fixes . Es gilt: , , Nullstellen von sind: 1.) 0, wenn 2.) k Es gilt außerdem: Daraus folgt m.E., dass das Maximum bei k liegt. Liege ich richtig? |
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27.08.2011, 18:50 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Ergebnis stimmt, die Herleitung nicht so ganz. stimmt so nur für k > 0. Und das ergibt . Die Vertauschung von 1.) und 2.) ist wohl ein Schreibfehler. Die 2. Ableitung ist überflüssig, denn man hat ja für k > 0 Also muss es dazwischen ein Maximum geben. Wenn man nur einen Kandidatenpunkt hat, dann ist es der. Bei k = 0 hat die Ableitung gar keine Nullstelle. Das Maximum ist hier ein Randmaximum. Zu deinem vorigen Beitrag: Das kann man auf die linke oder die rechte Seite schreiben. Das kann man leicht mit der Reihe ausrechnen. Wenn man die Reihen kennt, steht links und rechts und es gilt bekanntlich |
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