Beweis Funktion gleich 0 Lamdba-fast überall

18.05.2011, 16:10

Shortstop

Beweis Funktion gleich 0 Lamdba-fast überall

Hi Leute!

Ich soll Folgendes zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ die Spur-sigma-Algebra der Borel-sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das Lebesgue-Maß auf $\begin{eqnarray*} ([0,1], B_{[0,1]}) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \phi : [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ integrierbar mit $\begin{eqnarray*} \int \phi 1_{[a,b]} d\lambda = 0 \ \ \forall [a,b] \subseteq [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} \phi = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fast überall.

Als Tipp hab ich noch, dass man ein geeignetes Dynkin-System betrachten soll.

So, das ist jetzt erstmal ein Haufen Voraussetzungen und ich krieg einfach den Anfang nicht. Mir fehlt jegliche Idee zu einem passenden Dynkin-System. Kann mir mal jemand sagen, wie ich am Besten da rangehe?

VG Wink

18.05.2011, 17:06

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist sicher so gemeint: Du definierst

$\begin{eqnarray*} \mathcal{D} := \left\{ D\in B_{[0,1]} \bigm| \int \phi\cdot 1_D ~ \dd \lambda = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann zeigst du (u.a. mit der Linearität des Integraloperators), dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ ein Dynkin-System über der Grundmenge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist. Da dein Erzeuger $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}:=\{ [a,b] \bigm| 0\leq a\leq b\leq 1 \} \end{eqnarray*}$ dieses Dynkin-Systems durchschnittsstabil ist, folgt ...

18.05.2011, 17:19

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke erstmal für deine Antwort. Ich überlege grade, wie ich zeige, dass

$\begin{eqnarray*} \int \phi 1_{A^c} d\lambda = \int \phi d \lambda - \int \phi 1_{A} d \lambda = \int \phi d\lambda \end{eqnarray*}$

in D liegt?

Ist $\begin{eqnarray*} \int \phi d\lambda = \int \phi 1_{[0,1]} d\lambda \end{eqnarray*}$

in diesem Fall?

18.05.2011, 17:21

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kvnb
Ist $\begin{eqnarray*} \int \phi d\lambda = \int \phi 1_{[0,1]} d\lambda \end{eqnarray*}$

in diesem Fall?

Ja klar, bei deinem Grundraum $\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$ .

18.05.2011, 17:33

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist $\begin{eqnarray*} \int \phi d\lambda = \int \phi 1_{[0,1]} d\lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Aber habe ich damit nicht schon gezeigt dass $\begin{eqnarray*} \phi = 0 \end{eqnarray*}$ Lambda-f.ü. ? Da das Integral über Phi Null ist?

Okay, ich habe also gezeigt dass D ein Dynkin-System ist. Da der Erzeuger Durchschnittsstabil ist, ist D auch eine Sigma-Algebra. Die Frage ist, was muss ich jetzt eigentlich zeigen um die Behauptung zu beweisen? (Wenn nicht das obige)

edit: Moment, ich glaube aber damit ist doch $\begin{eqnarray*} D = B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2011, 18:05

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kvnb
Aber habe ich damit nicht schon gezeigt dass $\begin{eqnarray*} \phi = 0 \end{eqnarray*}$ Lambda-f.ü. ? Da das Integral über Phi Null ist?

Das stimmt - falls $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ als nichtnegativ vorausgesetzt wird. Das ist hier aber nicht der Fall. Augenzwinkern

Zitat:

Original von kvnb
Okay, ich habe also gezeigt dass D ein Dynkin-System ist. Da der Erzeuger Durchschnittsstabil ist, ist D auch eine Sigma-Algebra.

Nicht nur irgendeine Sigma-Algebra, sondern die von $\begin{eqnarray*} \mathcal{E} \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra! Und das ist nichts weiter als $\begin{eqnarray*} B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ , d.h. wir haben nun die Aussage, dass für jede Borelmessbare Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ unseres Messraumes $\begin{eqnarray*} \int \phi\cdot 1_D ~ \dd \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Nun kann man ja mit Hilfe der messbaren Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ da mal gewisse spezielle $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sich zurechtbasteln...

18.05.2011, 18:09

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaah okay, dachte schon ich hätte da was völlig falsches in Erinnerung.

Was sagst du zu meinem Schluss, dass D der Borel-sigma-Algebra auf [0,1] entspricht?

18.05.2011, 18:11

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Da haben sich unsere Beiträge/Edits überkreuzt... Augenzwinkern

18.05.2011, 18:15

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber

Nicht nur irgendeine Sigma-Algebra, sondern die von $\begin{eqnarray*} \mathcal{E} \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra!

Genau dies versuche ich grade zu zeigen. Ich habe ja schon $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal(E)) = \delta(\mathcal(E)) \subseteq \delta(D) = D \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt einfach sage, dass offensichtlich $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal(E)) = B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ bin ich wegen $\begin{eqnarray*} D \subseteq B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ fertig. Hoffe die Übungsleiter glauben mir dies ohne Beweis.

Ich würd mir die Intervalle jetzt so zurechtbasteln, dass ich zum einen eine Vereinigung von Intervallen hab, auf denen Phi positiv ist und solche, auf denen Phi negativ ist. Dann könnte ich ja wie oben argumentieren. Ich versuchs mal...

18.05.2011, 18:18

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp, die Zielflagge ist deutlich im Blickfeld. smile

Du musst dich nur noch von konkreten Vorstellungen wie "Vereinigung von Intervallen" lösen, denn derartige Betrachtungen sind nach all der Vorarbeit gar nicht mehr nötig.

18.05.2011, 18:29

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber

Du musst dich nur noch von konkreten Vorstellungen wie "Vereinigung von Intervallen" lösen, denn derartige Betrachtungen sind nach all der Vorarbeit gar nicht mehr nötig.

Ich glaube genau das ist noch das Problem.
Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} M:= \left( x \in [0,1] : \phi (x) \ge 0 \right) \end{eqnarray*}$ betrachte muss ich ja argumentieren, warum $\begin{eqnarray*} M \in B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ gilt. Brauche ich da noch Stetigkeit von Phi (so dass Umgebungen von x auch immer noch in M liegen und ich nicht aus Borelmengen rausrutsche) oder seh ich jetzt den Wald vor Bäumen nicht? Wink

18.05.2011, 18:32

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kvnb
Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} M:= \left( x \in [0,1] : \phi (x) \ge 0 \right) \end{eqnarray*}$ betrachte muss ich ja argumentieren, warum $\begin{eqnarray*} M \in B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ gilt.

Und das ist kein Problem: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist als integrierbar vorausgesetzt. Integrierbarkeit setzt Messbarkeit dieser Funktion voraus! Und damit ist $\begin{eqnarray*} M = \phi^{-1}([0,\infty)) \in B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ eine messbare Menge.

18.05.2011, 18:38

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
Und das ist kein Problem: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist als integrierbar vorausgesetzt. Integrierbarkeit setzt Messbarkeit dieser Funktion voraus! Und damit ist $\begin{eqnarray*} M = \phi^{-1}([0,\infty)) \in B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ eine messbare Menge.

Das ist einfach genial! Und irgendwann komm' ich auch mal selbst auf sowas =)

Gut, und jetzt folgt die Beh. automatisch daraus, dass die beiden Integrale über $\begin{eqnarray*} \phi^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^- \end{eqnarray*}$ gleich Null sind, nehme ich an.

edit: ...da dann die Menge der Punkte, bei denen $\begin{eqnarray*} \phi^+ \end{eqnarray*}$ ungleich Null ist, eine Nullmenge bildet, genauso für $\begin{eqnarray*} \phi^- \end{eqnarray*}$ und damit für ganz $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ als Vereinigung zweier Nullmengen ebenso eine Nullmenge ist.

18.05.2011, 18:40

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

"Genial" ist es nicht: Es braucht vielleicht nur eine gewisse Vertrautheit, Sicherheit im Umgang mit diesen Begriffen wie Messbarkeit usw.

18.05.2011, 18:45

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen vielen Dank, find's immer wieder klasse wenn ich am Ende alles nachvollziehen kann. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Funktion gleich 0 Lamdba-fast überall

Verwandte Themen