Gleichheit von Eigenräumen

Neue Frage »

18.05.2011, 19:15	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Eigenräumen Meine Frage: hallo mathematiker ich sitze an folgender aufgabe und komme nich weiter aufg: man hat eine normale Matrix $\begin{eqnarray} A\in Mat_{\mathbb C}(n,n) \end{eqnarray}$ und dazu noch EW'e $\begin{eqnarray} \lambda ,\mu \in S_A \end{eqnarray}$ dann soll gelten $\begin{eqnarray} Eig(A,\lambda )=Eig(A^H,\overline{\lambda }) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich weis das für normale matrizen folgende gleichung gilt $\begin{eqnarray} AA^H=A^HA \end{eqnarray}$ aber ich weis nich wie man das nun einsetzt kann mir da wer helfen ??
19.05.2011, 11:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Eigenräumen Hallo El Rey, Es ist $\begin{eqnarray} v\neq 0 \end{eqnarray}$ genau dann ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \langle Av-\lambda v, Av-\lambda v\rangle=0 \end{eqnarray}$ ist. Zeige, dass nun auch $\begin{eqnarray} \langle A^Hv-\overline\lambda v, A^Hv-\overline\lambda v\rangle=0 \end{eqnarray}$ ist. Gruß, Reksilat.
19.05.2011, 13:12	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
aber das heißt doch nich das die räume gleich sind oder doch ??
19.05.2011, 15:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die eine Inklusion: Wenn $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist, so ist es auch ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A^H \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \overline \lambda \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} Eig(A,\lambda )\subseteq Eig(A^H,\overline{\lambda }) \end{eqnarray}$ Die anderer Inklusion erfolgt aber völlig analog.
19.05.2011, 15:41	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
is das nich genau die aussage die man zeigen soll ?? das der EV gleich is ?? oder versteh ich das grad i-wie nich ??
19.05.2011, 15:45	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, na klar ist das die Aussage, die man zeigen soll. Darum geht es doch hier. In meinem ersten Beitrag habe ich das Vorgehen beschrieben, wie man die eine Inklusion zeigen kann. Im zweiten habe ich nur noch mal grob zusammengefasst.
Anzeige

19.05.2011, 15:55	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann man beide skalarprodukte gleichsetzen und umformen bis auf beiden seiten das gleiche steht ??
19.05.2011, 16:02	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Beweis würde ich so was nicht akzeptieren, da man ja auch aus einer wahren Aussage durch Umformen etwas falsches folgern kann, aber zur Beweisfindung kann das ganz hilfreich sein. Im Übrigen beschäftigst Du Dich ja wohl nicht erst seit gestern mit Mathematik. Eigentlich solltest Du wissen, wie man eine Gleichheit zeigen kann. Gruß, Reksilat.
19.05.2011, 16:21	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich steh i-wie aufem schlauch wie soll man das denn dann machen ??
19.05.2011, 16:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Na nimm Dir $\begin{eqnarray} \langle Av-\lambda v, Av-\lambda v\rangle \end{eqnarray}$ vor und fange an, das umzuformen. Wie immer bei Skalarprodukten (insbesondere wenn Summen darin auftauchen) ist hier sinnvoll, die Linearität auszunutzen.
19.05.2011, 17:43	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
soll man daraus dann das andere herleiten ??
19.05.2011, 19:04	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wenn Du eine Gleichheit zeigen willst, dann ist es sinnvoll, eine Seite der Gleichung zu nehmen und sie so lange umzuformen, bis Du die andere Seite erhältst.
19.05.2011, 19:13	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
oki ich hoffe mal das mein weg auch richtig is und ich auch alles beachtet habe $\begin{eqnarray} <Av-\lambda v,Av-\lambda v> <br /> = <Av-Av,Av-A v> <br /> = <AA^Hv-AA^Hv,AA^Hv-AA^Hv> <br /> = <A^Hv-A^H v,A^Hv-A^Hv><br /> = <A^Hv-\overline{\lambda} v,A^Hv-\overline{\lambda} v> \end{eqnarray}$ kann man das so machen ??
19.05.2011, 22:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht richtig. Wenn Du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray} A^Hv=\overline\lambda v \end{eqnarray}$ ist, dann solltest Du das vor allem nicht im Beweis verwenden. Auch die ersten beiden Schritte finde ich nicht sehr zielführend und der dritte Schritt ist falsch, da Du nicht einfach das $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ weglassen kannst. Wie gesagt: benutze die Linearität des Skalarprodukts: $\begin{eqnarray} \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle \lambda x, y\rangle= \bar \lambda\langle x,y\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle x, \lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Gleichheit von Eigenräumen

Verwandte Themen