Stetigkeit |
10.12.2006, 20:03 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stetigkeit Es sei : [0,1] --> {0,1} die Dirichlet Funktion. Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen f : [0,1] --> für die g : [0,1] --> , stetig ist. Ich weiß, dass , falls x irrational und falls x rational Aber was genau muss ich jetzt machen? Wie löst man diese aufgabe? Wär echt super wenn ihr mir hier helfen könntet. |
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10.12.2006, 20:18 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für jedes gibt es eine Folge , sodass ist. Da stetig sein soll, muss gelten. Kannst du damit was anfangen? Gruß MSS |
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10.12.2006, 20:24 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe, was du schreibst, aber weiß nicht wie ich das in die lösung der aufgabe einbauen kann. |
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10.12.2006, 20:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da auch stetig sein soll, folgt für alle : . Gruß MSS |
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10.12.2006, 20:50 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und daraus folgt f(x)(x-1) = 0 und da diese Gleichung für alle gelten muss, muss f(x)=0 sein, also die Nullabbildung. Ist das richtig? |
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10.12.2006, 20:55 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, zunächst folgt nur für alle . Da aber stetig sein soll, muss das zusätzlich auch noch für gelten. In der Tat muss also die Nullfunktion sein. Gruß MSS |
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10.12.2006, 20:57 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
war's das dann jetzt schon? ist die aufgabe schon fertig? |
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10.12.2006, 21:06 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Gruß MSS |
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11.12.2006, 21:21 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
irgendwie verstehe ich nach erneutem überdenken der Aufgabe nicht folgede Zeile, die du schreibst: "Da f aber stetig sein soll, muss das zusätzlich noch für x gelten." Für mich würde es nur sinn machen wenn man sagt, dass wenn g(x) in jedem x aus den rationalen Zahlen aus [0,1] stetig sein soll, ja obige Gleichung für alle x aus [0,1] erfüllt sein muss und daher f(x) = 0 sein muss. Wär nett wenn du zu dem hier nochmal was schreiben könntest. danke dir schonmal |
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11.12.2006, 21:27 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben doch hergeleitet, dass für alle gilt: . Für alle folgt daraus . Für bedeutet die Gleichung nur: . Über können wir aber keine Aussage machen. Da aber stetig sein soll, muss zusätzlich noch gelten. Gruß MSS |
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11.12.2006, 21:30 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, bis auf den letzten Satz. WARUM muss f(1)=0 sein, wenn f stetig ist. das ist ganau das, was ich nicht verstehe. |
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11.12.2006, 21:44 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sollte doch anschaulich ganz klar sein. Angenommen, es wäre . Ist dann im Punkt stetig? Gruß MSS |
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11.12.2006, 21:57 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man weiß doch jetzt dann aber eigentlich nur, dass f(x)=0 für alle rationalen x, denn x ist ja nach annahme rational. muss man nicht noch zeigen, dass das auch für die irrationalen Zahlen gilt? |
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11.12.2006, 22:36 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit gilt die Gleichung f(x)(x-1) doch nur für rationale x oder ? Muss man denn nun nichts dazu sagen, was ist, wenn x irrational ist? oder versteh ich hier grad alles ein wenig falsch? |
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11.12.2006, 22:39 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, nichts falsch verstanden. Ich hab nur den Faden etwas verloren, sorry. Also, wir wissen, dass für alle rationalen gilt: . Sei beliebig und aber irrational. Dann gibt es eine Folge von rationalen Zahlen , sodass ist. Daraus folgt dann wegen der Stetigkeit von was für ? Und zu . Nimm dir die Folge . Wogegen geht ? Wogegen geht ? Was ist damit ? Gruß MSS |
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11.12.2006, 23:01 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
geht gegen 1 und geht gegen 0, da ja f() = 0 für alle n, da rational und in [0,1) .... Also muss f(x) an der Stelle 1 ebenfalls Null sein, wenn f stetig sein soll. Richtig? Aber was gilt für die Folgen von rationalen Zahlen, die einen irrationalen Grenzwert haben? Das weiß ich nicht so wirklich. Doch dasselbe wie oben oder? |
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11.12.2006, 23:08 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja und ja. Wegen und für alle folgt . Gruß MSS |
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12.12.2006, 20:21 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hierzu hätt ich mal ne frage. warum gibt es zu jeder rationalen zahl x eine folge irrationaler zahlen, die gegen x konvergiert? kann mir das mal einer ein bisschen begründen? |
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12.12.2006, 20:27 | Franzi06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nee, das ist mir doch klar. ich wollte wissen warum es zu jeder irrationalem zahle x eine folge rationaler zahlen gibt, die gegen x konvergiert? |
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12.12.2006, 21:20 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jede reelle Zahl lässt sich als Dezimalbruch schreiben. Betrachte die Folge der Dezimalbrüche, wobei du das -te Glied erhältst, indem du den Dezimalbruch von einfach nach der -ten Stelle nach dem Komma abbrichst. Dann erhältst du eine Folge rationaler Zahlen, die gegen konvergiert. Gruß MSS |
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