Jordanbasis bestimmen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Jordanbasis bestimmen
Meine Frage:
Hallo Leute,

Also ich habe ein Abbildung f: S^2 -> S^2 mit

f(X)= X + X

wobei S^2 ={X element R^(2x2) | X=X^T} ist.

Ich soll nun eine Basis (Jordanbasis) von S^2 bestimmen, sodass die Abbildungsmatrix M in Jordannormalform ist.

Hinweis (stand dabei): Das char. Polynom von f ist: s^3 -9s^2 +26s -24

Meine Ideen:
Ich dachte mir das wiefolgt:

Also ich habe erstmal eine kanonische Basis gewählt, und mir davon die Abbildungsmatrix erzeugt. Davon habe ich das char. Polynom bestimmt, welches auch mit dem angegebenen Polynom übereinstimmt. Dann habe ich mir die Eigenwerte errechnet, alle habe die algebraische Vielfachheit 1. s1=2, s2=3, s3=4. Anschließend habe ich mir Basen der Haupträume bestimmt welche alle Dimension 1 hatten. Die 3 Basisvektoren der Haupträume habe ich zu der Matrix B zusammengefasst. Dann habe ich B^(-1)MB bestimmt, was dann folgende Form hatte:

B^(-1)MB =

So das sieht doch toll aus oder? Zählt die Diagonalform einer Matrix eigentlich auch zur Jordannormalform???

Ich dachte ich könnte jetzt vielleicht von hinten kommen, und mit dieser Matrix die Basis von S^2 bestimmen, so dass die Matrix M gleich die Form hat...

Könnte das funktionieren?? Oder muss ich da anders ran??

Danke für die Hilfe!!!
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Ich hab noch ein bisschen rumprobiert, aber es will nicht,

also die Jordannormalform der Abbildungsmatrix sieht ja bestimmt so aus:

M=

kann ich mit dieser Matrix jetzt auf meine Basis rückschließen???
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Wie soll den diese Basis überhaupt aussehen???

Ich dachte jetzt die Basis B besteht aus genau 3 2x2Matrizen und wenn ich dann mit diesen Versuche die Abbildungsmatrix aufzustellen, dann müsste diese gleich JNF haben. Stimmt das so???

Wenn im Netz nach Jordanbasis suche, dann kommen immer Transformationsmatrizen für die dann T^(-1)MT eben JNF hat...

Was ist jetzt die Jordanbasis in meinem Fall?? Diese Transformatiosmatrizen kann ja nicht sein, die sind ja 3x3 und in der Aufgabe steht ich soll eine Basis von S^2 finden und der Raum besteht ja nur aus 2x2 Matrizen...

HILFE Hammer
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Hi stevie,
Zitat:
Anschließend habe ich mir Basen der Haupträume bestimmt welche alle Dimension 1 hatten. Die 3 Basisvektoren der Haupträume habe ich zu der Matrix B zusammengefasst. Dann habe ich B^(-1)MB bestimmt, was dann folgende Form hatte:

B^(-1)MB =

So das sieht doch toll aus oder? Zählt die Diagonalform einer Matrix eigentlich auch zur Jordannormalform???

Eigentlich hast Du hier doch schon alles gemacht, was zu tun ist.

Eine Diagonalmatrix ist natürlich in JNF. Deine andere Variante dagegen nicht, da bei einzelnen Jordanblöcken auch immer der gleiche Wert auf der Diagonalen stehen muss. Die Größe eines Jordanblocks ist also durch die algebraische Vielfachheit beschränkt und diese ist hier ja für jeden Eigenwert 1. Also kann es nur eine Diagonalmatrix sein.

Gruß,
Reksilat.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
okay jetzt ist es mir auch klar, dass das eine keine JNF war!

Ich muss doch in der Aufgabe eine Basis von S^2 bestimmen, und diese auch explizit angeben. Der S^2 enthält ja nur 2x2 Matrizen mit X = X^T.

Ich hab ja bislang zwar die JNF bestimmt auch 2 Transformationsmatrizen, aber was ist jetzt meine Basis?

Mein B was für die Transformation benutzt wurde ist ja eine 3x3 Matrix, da auch die Abbildungsmatrix eine 3x3 Matrix ist.

Ich brauch also noch irgendwas um auf die 3 2x2 Matrizen zu kommen, die dann meine Basis vom S^2 bilden, bezüglich welcher dann M die Diagonalform hat.

Kann ich mit der Matrix B, die ich zur Transformation der Abbildungsmatrix verwendet habe auch meine zu erst gewählte kanonische Basis transformieren? So dass ich dann meine Jordanbasis bekomme?

Danke für die Hilfe!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Zitat:
Mein B was für die Transformation benutzt wurde ist ja eine 3x3 Matrix

Eine Basis ist keine Matrix, sondern ein Menge von Vektoren.

Und oben hast Du doch auch geschrieben, dass Du eine Basis hast, bezüglich der die Abbildung Jordanform (also Diagonalgestalt) hat. Das ist eben Deine Jordanbasis.
Die Elemente der Basis sind dann natürlich Elemente des Vektorraums , also symmetrische 2x2-Matrizen. Bezüglich der kanonischen Basis dieses Vektorraums (die Du ja oben schon erwähnt hast) haben sie eben drei Koeffizienten.

Gruß,
Reksilat.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Hey nochmals danke, für die Hilfe!

Also ich hab eigentlich noch keine Basis gefunden, bezüglich welcher die Abbildungsmatrix Jordanform hat.

Ich habe mit die Kanonische Basis gewählt (e2*e2^T, ...) eben für den S^2. Dann hatte die Abbildungsmatrix aber noch keine Diagonalgestalt, eher eine "beliebige".
Die Diagonalform bekam ich erst durch die Matrix B und B^(-1)*M*B.

Ich brauch ja aber dann noch eine explizite Basis, die Basis die ich habe kann es nicht sein, denn so bekomme ich keine Diagonalform!!!

Oder bin ich gerade blind?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Ja, aber die Spalten Deiner Trafomatrix (also die errechneten Eigenvektoren) sind doch gerade die Koeffizienten, die Deine Basisvektoren als Linearkombination der kanonischen Basis haben.
Wenn zum Beispiel ist, und Deine Basis des , so ist Dein erster Vektor der Jordanbasis.

Im Allgemeinen schadet es übrigens nicht, hier ein paar Werte zu posten. Dann muss ich nämlich nicht alles so umständlich umschreiben oder mir selber Zahlenwerte ausdenken. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja jetzt deine Transformierte Darstellungsmatrix in JNF, dann musst du nur noch die Schritte rückwärts gehen. Also du suchst eine Basis B, die multipliziert mit deiner ersten Spalte von deiner neuen Darstellungsmatrix, das gleiche liefert, wie wenn du deine erste unbekannte Basismatrix einsetzt. Die einzelnen Einträge deiner unbekannten Matrix bekommst du dann sicher alleine raus.
Ich hab als dritte Basismatrix übrigens
Eine andere Frage: Könnte man anders ansetzen und direkt aus dem Char. Poly., was ja gegeben ist, rauslesen wir die Darstellungsmatrix aussehen muss? Immerhin kann man doch anhand der Vielfachheit rauslesen, wie die einzelnen Jordanblöcke aussehen müssen oder? Vielleicht wäre der Weg kürzer...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die JNF kann man direkt aus dem charakteristischen Polynom ablesen.
Die zugehörige Jordanbasis B hat stevie ja auch schon gefunden - jedenfalls habe ich versucht, ihm das klarzumachen.

Was ich nicht verstanden habe ist, wie Du eine Basis (also eine Menge von Vektoren) mit einer Matrixspalte multiplizieren willst. verwirrt

Gruß,
Reksilat.
gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ja klar... aus dem Char. Poly. kann ma ja die eigenwerte ablesen und wenn das teil in LKs zerfällt ist die Matrix ja nur eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerte auf der Diagonalen Hammer . Dann hat man ja seine JNF... Verdammt... damit kann man sich Zeit sparen haha.
Ja also Basis mit Vektor mulplizieren ist falsch ausgedrückt. was ich sagen wollte ist, dass man mit den Vektoren der Basis, versuchen muss, f(B1)= B1+ B1 darzustellen, und zwar so, dass die Komponenten der Spalten der Darstellungsmatrix die Koeffizienten einer LK der Basis sind. B1 ist dabei eine Matrix in meiner Basis, bzw das Produkt eines Vektors und einer Zeile. Hoffentlich war das jetzt verständlich^^.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gigakloputzer
was ich sagen wollte ist, dass man mit den Vektoren der Basis, versuchen muss, f(B1)= B1+ B1 darzustellen, und zwar so, dass die Komponenten der Spalten der Darstellungsmatrix die Koeffizienten einer LK der Basis sind. B1 ist dabei eine Matrix in meiner Basis, bzw das Produkt eines Vektors und einer Zeile. Hoffentlich war das jetzt verständlich^^.

Ich versteh Dich noch immer nicht. Vor allem verstehe ich gerade nicht, worum es Dir gerade eigentlich geht. verwirrt
Meiner Meinung nach geht es in dieser Aufgabe darum, die JNF zu finden und dann eine zugehörige Jordanbasis zu finden, bezgüglich der die Abbildung diese JNF hat.
Die JNF haben wir nun gefunden.
Also geht es doch jetzt nur noch darum, die Jordanbasis zu finden. Nun schreibst Du aber:
"...dass man mit den Vektoren der Basis..."
"...dass... die Koeffizienten einer LK der Basis sind..."

Und ich weiß nicht, was Du hier mit "der Basis" meinst, da Du zuvor keine Basis erwähnt hast.
Auch eine Strategie oder ein Ziel kann ich aus Deinen Ausführungen nicht herauslesen.

Zum Auffinden der Jordanbasis hat stevie eigentlich im Eröffnungsbeitrag alles wichtige geschrieben. Das ist auch ein ziemlich naheliegender Weg, der allgemein bei solchen Aufgaben zum Erfolg führen wird.

Alternativ kannst Du hier auch einfach eine Matrix ansetzen und dann jeweils die Systeme , und lösen. Damit findest Du dann Matrizen, die Eigenvektoren zu Deiner Abbildung sind und somit automatisch die passende Jordanbasis bilden.
gigakloputzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch genau was ich gemeint habe.... Das Ziel ist es doch eine Basis zu finden, mit der ich eine Darstellungsmatrix von f bekomme, die dann JNF hat. Mein B1 war ja gerade so eine unbekannte Matrix.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ich lese weder eine Idee zur Lösungsfindung bei Dir heraus, noch kann ich irgendwo eine Frage erkennen. Das verwirrt mich eben.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich poste jetzt mal alles was ich habe, aber ganz fertig bin ich leider immer noch nicht!

Ich habe mir die kanonische Basis

K=

gewählt.

Dann habe ich jeweils mein f(k1), f(k2), f(k3) (gleiche Reihenfolge) wie folgt bestimmt:

f(B) =

dann habe ich die Abbidlugnsmatrix über die Gleichung f(K) = K*M (M ist die Abbildungsmatrix) bestimmt, sieht so aus:

M=

dann habe ich mir die Transformationsmatrix aus den Kernvektoren der einzelnen Haupträume gebildet:

mit




Die Spalten der Matrix T sind also gerade meine Kernvektoren für die einzelnen Haupträume...

Der nächste Schritt sah wie folgt aus:



So bekam ich die JNF meiner Abbildungsmatrix!

Jetzt habe ich versucht, so wie du es mir gesagt hast, meine Jordanbasis zu bilden:
Also:

Laut deiner Erklärung müssten doch meine Jordanbasisvektoren wie folgt gebildet werden:







die Koeffizienten für die jeweilige LK habe ich aus der Matrix T entnommen.

Wenn ich nun aber mit dieser Basis erneut die Darstellungsmatrix aufzustellen, das heißt über die

Gleichung: f(JB) = JB*M

dann bekomme ich keine Diagnoal - bzw Jordannormalform hin.

Habe ich irgendwo einen Fehler drin?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Zitat:
Original von Reksilat
Ja, aber die Spalten Deiner Trafomatrix (also die errechneten Eigenvektoren) sind doch gerade die Koeffizienten, die Deine Basisvektoren als Linearkombination der kanonischen Basis haben.

Und Du hast eben die Zeilen genommen.
Erste Spalte:

Und für diese Matrix gilt eben

Gruß,
Reksilat.

PS: Exponenten mit mehr als einem Zeichen solltest Du in geschweifte Klammern setzen. D.h. schreibt man mit T^{-1}.
Wenn Du hier mit der Maus auf irgendeine Formel gehst, solltest in der Statuszeile bzw. als eingeblendetes Textfeld den Code sehen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Okay jetzt habe ich es endlich!!!

Aber irgendwie finde ich es komisch, dass ich da die Spalten nehmen muss für die LK, denn wenn ich eine Matrix mit einem Vektor multipliziere, dann habe ich das immer so gemacht:

Av=

bei mir ist ja jetzt einfach v1 = b1 und v2 = b2 und v3 = b3 und die Matrix A wäre T.

Warum kann ich dann hier nicht die Koeffizienten für die LK aus den Zeilen lesen, sondern muss jetzt hier die Spalten nehmen???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Deine Trafomatrix ist
Diese transformiert Vektoren aus der Darstellung bezüglich der Basis in die Darstellung bezüglich der Standardbasis.

Wenn Du den Vektor nimmst, so hat dieser bezüglich die Darstellung: .
Die Darstellung bezüglich der Standardbasis erhältst Du, indem Du mit diesem Vektor multiplizierst.
Mach das mal, dann siehst Du, was es mit den Spalten auf sich hat.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordanbasis bestimmen
Alles klar!!! Danke
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