Ähnliche Matrizen

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20.05.2011, 14:48	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnliche Matrizen Meine Frage: Hey also ich soll zeigen, dass wenn A element C^(nxn) ähnlich zu A^k mit k>2 ist, dann gilt: A und A^k haben das gleiche char. Polynom... Meine Ideen: Ich weiß ja, dass ähnliche Matrizen immer das selbe char.Polynom besitzen, aber das muss ich ja wohl jetzt erstmal noch beweisen! Wie gehe ich davor???
20.05.2011, 14:57	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen Also ich habe mir den Beweis so überlegt: sei Xa das char. Polynom von A und Xak das char.Polynom von A^k da A ähnlich zu A^k gilt: A = T^(-1)A^kT dann gilt: Xa = det(A - Is) = det(T^(-1)A^kT - Is) = det(T^(-1)(A^k - Is)T)= det(T^(-1))det(A^k - Is)det(T) = det(A^k - Is) = Xak dann haben A und A^k das selbe char. Polynom
20.05.2011, 15:08	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen Es soll dann auch gezeigt werden, dass ker(A) = ker(A^2) gilt! also A und A^2 sind ebenfalls ähnlich, => A = S^(-1)A^2S es gilt auch: rg(A) = rg(A^2), da ähnliche Matrizen die selbe SAT-Normalform haben, Dann weiß ich aber nur, dass die Dimension der beiden Kerne gleich ist, aber noch nicht das die Kerne gleich sind, also dim(ker(A)) = dim (ker(A^2)) kleiner Tipp vielleicht?
20.05.2011, 15:16	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen Nun weiß ich auch dass ich nur zeigen muss, dass ker(A^2) $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ ker(A) ist, denn die andere Inklusion ist trivial und gilt immer!
21.05.2011, 17:29	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen kann sich das mal jemand ansehen???
22.05.2011, 12:44	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen Hi stevie, Die erste Aufgabe ist wirklich etwas merkwürdig, da es hier ja keine Rolle spielt, dass die eine Matrix eine Potenz der anderen ist. Ähnliche Matrizen haben immer das gleiche char. Polynom und der Beweis ist korrekt. Bei den Kernen: Du weißt, dass $\begin{eqnarray} {\rm Ker}(A)\subseteq {\rm Ker}(A^2) \end{eqnarray}$ ist und zudem gilt $\begin{eqnarray} \dim {\rm Ker}(A)=\dim {\rm Ker}(A^2) \end{eqnarray}$ . Damit bist Du aber fertig, denn wenn ein Unterraum in einem anderen liegt und beide die gleiche Dimension haben, so müssen sie gleich sein. Gruß, Reksilat. PS: Du bist jetzt schon so lange mit dabei, dass Du Dich eigentlich mal ein wenig mehr mit der LaTeX-Funktion hier beschäftigen könntest. $\begin{eqnarray} A = S^{-1}A^2S \end{eqnarray}$ ist nun mal viel besser lesbar als A = S^(-1)A^2S und auch nicht mehr Tippaufwand. Siehe dazu auch meine Signatur
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22.05.2011, 15:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen Super Danke!!! Ich werde mir bei meinem nächsten Post etwas mehr Mühe geben!!! Ich muss nun auch noch zeigen, dass die Rückrichtung der Aussagen jeweils nicht gilt, ich mach mir mal Gedanken und schreib dann wieder!!! stevie
23.05.2011, 15:28	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Matrizen Also da die Aussage nicht gilt, könnte man es ja einfach mit einem Gegenbeispiel zeigen. Bei diesem Gegenbeispiel müsste dann aber eine Matrix A verwendet werden die ihrer Potenz nicht ähnlich ist, die aber das selbe char. Polynom besitzt wie ihre Potenz, und die Kerne müssten gleich sein... Oder würde es reichen, wenn ich zeige, dass es Matrizen gibt, die zwar das gleiche char. Polynom haben, aber nicht ählich sind? Also allgemein? Danke für die Tipps
23.05.2011, 15:40	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich bin gerade an der gleichen Aufgabe, und für mich sieht es eher so aus, dass man zeigen muss, dass wenn die charakteristischen Polynome und Kerne gleich sind, auch die Matrizen ähnlich sind. Außerdem vermute ich, dass es in der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray} ker(A^k) \end{eqnarray}$ heißen müsste. Gruß Heike
23.05.2011, 15:47	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich denke schon, dass man im ersten Schritt der Aufgabe von der Ähnlichkeit der Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ ausgehen muss und dann eben auf die Aussage a: gleiches char. Polynom und die Aussage b: gleiche Kerne kommen muss. Die beweise hierfür stehen ja bereits im Beitrag Die Rückrichtung gilt im allgemeinen nicht, also für Matrizen A und B die gleiche char. Polynom haben gilt nicht dass sie sich ähnlich sind! Die Frage ist, ob es hier wegen der Selbstähnlichkeit von A und dem Zusatz mit dem Kern einen Unterschied macht?? Grüße Stevie
23.05.2011, 15:54	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, klar stimmt dein erster Schritt. Ich denke nur, dass man im zweiten Schritt eben mit beiden Bedingungen zusammen arbeiten muss, und dann zeigen kann, dass die Matrizen ähnlich sind. Gruß Heike
24.05.2011, 11:31	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt Ihr Euch inzwischen auf eine Aufgabenstellung geeinigt? Es existiert übrigens eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \chi_A=\chi_{A^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2) \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ nicht ähnlich sind. Gruß, Reksilat.
24.05.2011, 15:02	stha2	Auf diesen Beitrag antworten »
Die da wäre...?
24.05.2011, 15:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne ja nicht die korrekte Aufgabenstellung, aber oben meinte stevie, dass er wohl ein Gegenbeispiel finden solle. Da werde ich das gewiss nicht einfach aufschreiben. Ich wollte nur einen Hinweis geben, damit keiner zu lange in die falsche Richtung denkt. Gruß, Reksilat. PS: Als Grundkörper für ein Beispiel empfehle ich $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$
24.05.2011, 17:12	stha2	Auf diesen Beitrag antworten »
naja aber es soll ja laut Aufgabenstellung eine Matrix in $\begin{eqnarray} C^{n \times n} \end{eqnarray}$ sein...
24.05.2011, 18:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, stimmt ja. Ein Gegenbeispiel gibt's aber trotzdem. Sinnvoll ist es hier natürlich, das A gleich in JNF zu schreiben.
25.05.2011, 10:53	Bane	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich versuch mich gerade an der selben Aufgabe, kann aber leider kein Gegenbeispiel finden, obwohl ich es mit zig Matrizen versucht habe. Aber vielleicht steh ich irgendwie auch total auf dem Schlauch.
25.05.2011, 11:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ja nicht mal, ob das was ich mir ausgedacht habe überhaupt zur Aufgabe passt, da über die Fragestellung oben noch Unklarheit herrschte. Für ein wenig Aufklärung wäre ich dankbar. Die Bedingung mit dem Kern finde ich zum Beispiel ziemlich komisch, da sie hier eigentlich keine besondere Einschränkung darstellt. Wie gesagt: Bei meinem Beispiel hat $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ JNF, ist also insbesondere eine Dreiecksmatrix. Aus den gewünschten Eigenschaften kann man nun zum Beispiel notwendige Bedingungen für die Einträge auf der Diagonale ablesen. Letztlich habe ich auch keine Lust hier viel zu erzählen, denn irgendwie finde ich es nicht so toll, wenn zwei Leute zusätzlich reinkommen, die zwar keine Ideen einbringen, aber trotzdem eine Lösung haben wollen.
25.05.2011, 11:50	Bane	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab mir gedacht, dass auf der Diagonalen eigentlich 1en stehen müssten, da sich ja ansonsten das charakteristische Polynom beim quadrieren verändert. Aber ansonsten weiß ich leider nicht weiter
25.05.2011, 12:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es könnten auch Nullen da stehen, aber dann wäre der Kern nicht mehr trivial und letztlich ist es am einfachsten, wenn wir Ker(A)={0} anstreben, da wir dann automatisch Ker(A)=Ker(A²) haben. Wenn Du auf der Diagonalen nur 1en hast, dann kannst Du Dir ja mal die möglichen JNF (es reichen dabei ja einzelne Blöcke) angucken und wirst sehen, dass die Potenzen immer zueinander ähnlich sind. Du kannst aber noch nichttriviale Einheitswurzeln auf die Diagonale schreiben.
25.05.2011, 12:31	Bane	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, wahrscheinlich lag da mein Fehler, das werde ich mal versuchen

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