lineare unabhängigkeit cos(nx)

20.05.2011, 19:07

wurzelzwei

lineare unabhängigkeit cos(nx)

Meine Frage:
Also hier erstmal was zu tun ist:
Es sei
$\begin{eqnarray*} V=Abb(\mathbb R ,\mathbb R ):={f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R } \end{eqnarray*}$ und zu $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f_n:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R ,x\Rightarrow cos(nx) \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass { $\begin{eqnarray*} f_n:n\in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$ } linear unabhängig ist in V.

Meine Ideen:
also zu zeigen ist ja, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n*cos(nx) = 0 \end{eqnarray*}$
nur gilt wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_n = 0 \end{eqnarray*}$ oder?

ich weiß nicht wie ich das zeigen kann da x ja unendlich viele werte annehmen kann bzw. alle ganzzahligen vielfachen von $\begin{eqnarray*} [0;\pi ] \end{eqnarray*}$

20.05.2011, 19:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von wurzelzwei
ich weiß nicht wie ich das zeigen kann da x ja unendlich viele werte annehmen kann bzw. alle ganzzahligen vielfachen von $\begin{eqnarray*} [0;\pi ] \end{eqnarray*}$

Nicht nur die: Das muss für alle reellen Werte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten!

Zitat:

Original von wurzelzwei
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n*cos(nx) = 0 \end{eqnarray*}$

Multipliziere die linke Seite mit $\begin{eqnarray*} \cos(kx) \end{eqnarray*}$ und integriere das ganze dann über $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ , dann muss das ganze ja immer noch Null ergeben.

20.05.2011, 21:47

wurzelzwei

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hmm du meinst cos(nx) oder? warum macht man das? verwirrt

21.05.2011, 07:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von wurzelzwei
hmm du meinst cos(nx) oder?

Nein, ich meine schon ein festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus dem Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq N \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Summationsindex ist.

Zitat:

Original von wurzelzwei
warum macht man das? verwirrt

Die Vereinfachung der linken Seite der entstehenden Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n \cdot \int\limits_0^{2\pi} \cos(nx)\cos(kx) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$

ermöglich direkt den Schluss $\begin{eqnarray*} \lambda_k=0 \end{eqnarray*}$ , und das ist ja schließlich das, was du wolltest, oder? Keine weiteren Fragen, rechne einfach!

21.05.2011, 11:32

gonnabphd

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Zitat:

Original von wurzelzwei
warum macht man das? verwirrt

Gute Frage. Das macht man, wenn man schon mal was von Fourierreihen gehört hat. Man versucht dort periodische Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ durch eine geeignete Linearkombination von Sinus- und Cosinusfunktionen darzustellen, also in der Form

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_n a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx) \end{eqnarray*}$

zu schreiben. Es stellt sich heraus, dass - wenn dies für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ möglich ist - dann gelten muss

$\begin{eqnarray*} a_n =\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n =\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

(ist nicht schwer zu beweisen)
Daher kommt der Tipp von HAL 9000.

Zitat:

Original von HAL 9000
Keine weiteren Fragen, rechne einfach!

....

23.05.2011, 15:57

wurzelzwei

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wow, danke, das ist einleuchtend. dann werd ich mich mal dran machen das integral zu lösen, könnte ja etwas dauern smile

25.05.2011, 17:49

aeiou

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muss die aufgabe auch gerade lösen. bei mir kommt bei dem integral allerdings null raus.

habe die funktion integriert:

$\begin{eqnarray*} (k sin (kx) cos(nx) - n cos (kx) sin (nx))/(k^2-n^2) \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 2pi.

da sin (0)=o und sin (n2pi)=0 ist das ganze integral gleich null, oder was ist mein fehler?

25.05.2011, 19:57

gonnabphd

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Hi,

Deine Aussage ist zwar ziemlich schwer zu interpretieren, da du nicht sagst was du überhaupt ausrechnen willst und was nun wo rauskommt, aber ich vermute, dass folgendes hilft:

Dein Ausdruck ist für k=n gar nicht definiert! Mache also eine Fallunterscheidung.

25.05.2011, 20:26

aeiou

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hi gonnabphd,

ich habe versucht, das integral aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n \cdot \int\limits_0^{2\pi} \cos(nx)\cos(kx) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$ zu lösen. dadurch kam ich zu diesem term: $\begin{eqnarray*} \left[(k sin (kx) cos(nx) - n cos (kx) sin (nx))/(k^2-n^2)\right]_{0}^{2pi} \end{eqnarray*}$ , der für $\begin{eqnarray*} k\neq n \end{eqnarray*}$ gleich null und für k=n nicht definiert ist. (?)

aber eigentlich will ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_k=0 \end{eqnarray*}$ . wie hilft mir dabei das von HAL vorgeschlagene integral? verwirrt

25.05.2011, 21:51

guest001

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würd mich jetzt auch mal interresieren

26.05.2011, 00:01

gonnabphd

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Zitat:

Mache also eine Fallunterscheidung.

Unterscheide zwischen k ungleich n und k gleich n... (d.h. du musst den zweiten Fall extra ausrechnen.)

26.05.2011, 09:33

aeiou

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Fallunterscheidung:

1) Für $\begin{eqnarray*} k\neq n \end{eqnarray*}$ ist das Intervall nicht definiert.

2) Für $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ ergibt das Intervall $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n \cdot \int\limits_0^{2\pi} \cos(nx)\cos(kx) ~ \dd x = \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n \left[(k sin (kx) cos(nx) - n cos (kx) sin (nx))/(k^2-n^2)\right]_{0}^{2pi} = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \left[(k sin (kx) cos(nx) - n cos (kx) sin (nx))/(k^2-n^2)\right]_{0}^{2\pi} = (k sin (k2\pi ) cos(n2\pi) - n cos (k2\pi) sin (n2\pi))-(k sin (k0) cos(n0) - n cos (k0) sin (n0))/(k^2-n^2)=0-0/(k^2-n^2)=0 \end{eqnarray*}$

damit ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^N \lambda _n \end{eqnarray*}$

beliebig.

26.05.2011, 10:16

gonnabphd

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Also erstens heisst das Ding Integral und zweitens, was ist denn (Fall k=n)

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \cos^2(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

?? Nicht definiert ist das wohl kaum...

26.05.2011, 11:37

aeiou

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Dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} \pi /2 \end{eqnarray*}$ . Also ist für k=n:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \pi /2=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lambda _{n} =0 \end{eqnarray*}$

Da ich beliebige k zwischen 0 und N einsetzen kann, sind dann alle $\begin{eqnarray*} \lambda _{n} =0 \end{eqnarray*}$ ??

26.05.2011, 13:24

gonnabphd

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Ja!

Edit: Allerdings ist der Wert des Integrals in Wahrheit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \pi /2 \end{eqnarray*}$
Wink

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